彈塑性力學(xué)作業(yè)(含答案)(1)

1、第二章 應(yīng)力理論和應(yīng)變理論23試求圖示單元體斜截面上的 30 和 30（應(yīng)力單位為 MPa ）并說(shuō)明使用材料力學(xué)求斜截面應(yīng)力為公式應(yīng)用于彈性力學(xué)的應(yīng)力計(jì)算時(shí)，其符號(hào)及正負(fù)值應(yīng)作何修正。T4n解：在右圖示單元體上建立xoy 坐標(biāo)，則知2 x = -10y = -4 xy = -2 3030（以上應(yīng)力符號(hào)均按材力的規(guī)定）y30代入材力有關(guān)公式得：10Ox10x代入彈性力學(xué)的有關(guān)公式得：己知 x = -10 yxy= -4 xy = +2由以上計(jì)算知，材力與彈力在計(jì)算某一斜截面上的應(yīng)力時(shí)，所使用的公式是不同的，所得結(jié)果剪應(yīng)力y的正負(fù)值不同，但都反映了同一客觀實(shí)事。26. 懸掛的等直桿在自重W 作用下

2、（如圖所題1-3 圖示）。材料比重為彈性模量為E，橫截面面積為 A 。試求離固定端 z 處一點(diǎn) C的應(yīng)變 z 與桿的總伸長(zhǎng)量l。解：據(jù)題意選點(diǎn)如圖所示坐標(biāo)系xoz，在距下端（原點(diǎn)）為 z 處的 c 點(diǎn)取一截面考慮下半段桿的平衡得：c 截面的內(nèi)力： Nz= A z ；c 截面上的應(yīng)力： zNzA zAz ；A所以離下端為 z 處的任意一點(diǎn) c 的線應(yīng)變 z 為：zzz ；EE則距下端（原點(diǎn)）為z 的一段桿件在自重作用下，其伸長(zhǎng)量為：Vl zoz dlzzzzz2oz d zoEdzE o zdy2E ；顯然該桿件的總的伸長(zhǎng)量為（也即下端面的位移）：Vlol d ll 2A l lW l ；（ W

3、= Al ）2E2EA2EA50030080029.己知物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力張量為：ij =300030080030011002。應(yīng)力單位為 kgcm試確定外法線為 ni1 ，1 ，1（也即三個(gè)方向余弦都相等）的微分斜截333v面上的總應(yīng)力 Pn 、正應(yīng)力 n 及剪應(yīng)力 n 。v解：首先求出該斜截面上全應(yīng)力Pn 在 x、y、z 三個(gè)方向的三個(gè)分量： n=nx=ny=nz1Px=xxyxzPy=yxyyzn=53810 2103n =303102103Pz=zxyzzn=8所以知， 斜截面上的全 力Pn =n = n = 031110 2103vPn 及正 力 n 、剪 力 n 均 零，也即：215

4、.如 所示三角形截面水 材料的比重 ，水的比重 1。己求得 力解 ： x= ax+by ，y=cx+dy- y ， xy=-dx-ay ； 根據(jù)直 及斜 上的 界條件，確定常數(shù)、 、 、xOa b cd。解：首先列出 OA 、OB 兩 的 力 界條件：OA ： l 1=-1 ； l2=0 ；Tx= 1y ； Ty=0則 x=-1y ； xy=0n代入： x=ax+by ； xy=-dx-ay并 注意 此 時(shí) ：x=01y得 ： b=- 1； a=0；OB ： l1=cos ；l2=-sin，Tx=Ty=0則：x cosxy sin0yx cosy sin0BAy（ a）將己知條件： x= -

5、1y ； xy=-dx； y=cx+dy- y 代入（ a）式得：化 （ b）式得： d =1ctg2；3化 （ c）式得： c = 1ctgctg -21260217.己知一點(diǎn) 的 力 量 6100103 Pa000 求 點(diǎn)的最大主 力及其主方向。解：由 意知 點(diǎn) 于平面 力狀 ，且知： x=12103 y=10 103 xy=6103，且 點(diǎn)的主 力可由下式求得： 然：117.083103 Pa24.917103 Pa30 1 與 x 正向的 角 ：（按材力公式 算） 然 2 第象限角： 2=arctg（+6）=+80.5376 ： =+40.2688B 40 16或（ -13944）22

6、19.己知 力分量 ： x= y= z= xy=0， zy=a， zx=b， 算出主 力 1、 2、 3 并求出 2 的主方向。解：由 2 11 算 果知 的三個(gè)主 力分 ：1a2b2 ；20 ；3a2b2 ；設(shè) 2 與三個(gè)坐 x、 y、 z 的方向余弦 ： l21、l 22、l23，于是將方向余弦和 2 代入下式即可求出 2 的主方向來(lái)。以及： l 212l222l 2321L L L4由（ 1）（ 2）得： l 23=0由（ 3）得： l21a ； l 22b ；l22b l 21a將以上 果代入（ 4）式分 得：l2111a；l222b2a2b211al 21l 2211b；2a2a2b

7、21l 211l 22bl 21a l22l22bab2b同理 l21ab2baa2a2b2a2于是主 力 2的一 方向余弦 ：（a， mb，0）；a2b2a2b2 3 的一 方向余弦 （2b，2a，2）；b22 a222 a2b2220. 明下列等式：（ 1）：J2=I 2+1 2；（ ）：I 21I13231 明（ 1）：等式的右端 ：2I 23I 11 2故左端 =右端 明（ 3）： I 21ii kkikik2iikkikik；1223313123右端 = 1ii kkik ik2u a0a1 x a2 y a3 z228： 一物體的各點(diǎn) 生如下的位移。v b0b1 x b2 y b3

8、 zw c0c1 x c2 y c3 z式中 a0、 a1 c1、c2 均 常數(shù)， 各點(diǎn)的 分量 常數(shù)。3證明：將己知位移分量函數(shù)式分別代入幾何方程得：xyzua1；v； zw；uva2 ；xyb2c3xyb1yzyxvwb3 ；uw；zc2zxya3 c1yx229：設(shè)己知下列位移，試求指定點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。u3x22010 2在（ 0， 2）點(diǎn)處；（ 1）：4 yx 10 2vu6x21510 2（ 2）： w3z22xy10 2在（ 1，3，4）點(diǎn)處v8zy 10 2解（ 1）： ux6x 10 2vy4x 10 2xyuv0 4 y 10 2xyyx在（ 0，2）點(diǎn)處，該點(diǎn)的應(yīng)變分量為 :

9、xy0 ； xy810 2 ；040寫(xiě)成張量形式則為：ij40010 2 ；000解（ 2）：將己知位移分量函數(shù)式代入幾何方程求出應(yīng)變分量函數(shù)式，然后將己知點(diǎn)坐標(biāo)（ 1，3，4）代入應(yīng)變分量函數(shù)式。求出設(shè)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)。xu12x10 21210 2 ；yv8z10 232 10 2xyzw6z10 22410 2 ；xyuv0zyxzxwu2 y 0 10 26 10 2 ；x z用張量形式表示則為：232：試說(shuō)明下列應(yīng)變狀態(tài)是否可能（式中a、b、c 均為常數(shù)）cx2y2cxy0(1): ijcxycy200004(2):(3):axy201ax2by22ij0ax2 y1az2by2112a

10、x2by2az2by2022cx2y2 zcxyz0ijcxyzcy 2 z0000解（ 1）：由 量 ij 知： xz =yz = zx= zy =z=0 而 x、 y、 xy 及yx 又都是 x、y 坐 的函數(shù)，所以 是一個(gè)平面 。將 x、 y、 xy 代入二 情況下， 分量所 足的 形 條件知：222cc知 足。xyxyy2x2x y也即： 2 +0=2所以 ， 狀 是可能的。解（ 2）：將己知各 分量代入空 所 足的 形 方程得：222xyxyy2x2xy222yyzzz2y2yz222zxzxx2z2z xxyyz2（ 1）zx2xxyzxy z2xyyzzx2yyzxyz xyzx

11、y2zx2zzxyzyx52ax2ay0000得：000不 足，因此 狀 是不可能的。0 02b 00 0解（ 3）：將己知 分量代入上（1）式得：2cz02cz00000不 足，因此 點(diǎn)的 狀 是不可能的。2cy2cy2cx0第三章： 性 形及其本構(gòu)方程3-5 依據(jù)物體三向受拉，體 不會(huì) 小的體 律，來(lái) 明泊松比 V 的上下限 0 V 1 ；2 明：當(dāng)材料 于各向等 的均勻拉伸 力狀 下 ，其 力分量 ：11 22 33 12 23 31=p=0如果我 定 材料的體 性模量 k， 然： k= p ， e 體 。e將上述 力分量的 代入廣 胡克定律：ij2G ij ij e得：p2G 1ep

12、2G p 2G23e三式相加得： 3p32G ee將 p=ke 代入上式得： k1G2 G （1）3233由 性 能 u0 的正定性（也就是 在任何非零的 力 作用下，材料 形 ，其 性 能 是正的。 ）知 k 0， E 0，G0。因： u0 uor uod1 I 121 J21 ke2Geij eij18k2G2我 知道體 形e 與形狀 化部分， 兩部分可看成是相互獨(dú)立的，因此由 uo 的正定性可推知：k0，G 0。而又知：9kG所以： E 0。EG3k我 將（ 1）式 化 ：2G 1V （ 2）3 12V6由（ 2）式及 k 0， G 0 ，E 0 知： 1+V 0， 1-2V 0。解得：

13、 -1 V 1 。2但是由于到目前為止， 還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有 V0 的材料，而只發(fā)現(xiàn)有 V 值接近于其極限值 1 的材料（例如：橡膠、石臘）和V 值幾乎等于零的材料（例如：軟2木）。因此，一般認(rèn)為泊松比 V 的上、下限值為 1 和 0，所以得： 0 V 1或：0V 1 ；2223-10直徑為 D=40mm 的鋁圓柱體，緊密地放入厚度為2mm 的鋼套中，圓柱受軸向壓力 P=40KN 。若鋁的彈性常數(shù)據(jù)E1=70Gpa .V1=0.35,鋼的彈性常數(shù)E=210G pa 。試求筒內(nèi)的周向應(yīng)力。解：設(shè)鋁塊受壓qP12而 34010310014210 44則周向應(yīng)變Qq=2.8MN /m2鋁鋼DS1 = 2=

14、qqD鋼套28MN / m2rqv2tqrQ；0；Zrtz2trE1 ；14-14.試證明在彈性范圍內(nèi)剪應(yīng)力不產(chǎn)生體P積應(yīng)變，并由純剪狀態(tài)說(shuō)明v=0。11=2證明：在外力作用下，物體將產(chǎn)生變形，也即將產(chǎn)生體積的改變和形狀的改變。前者稱為體變，后者稱為形變。并且可將一點(diǎn)的應(yīng)力張量 ij 和應(yīng)變張量 ij 分解為，球應(yīng)力張量、球應(yīng)變張量和偏應(yīng)力張量、偏應(yīng)變張量。而球應(yīng)變張量只產(chǎn)生體變，偏應(yīng)變張量只引起形變。通過(guò)推導(dǎo)，我們?cè)谛∽冃蔚那疤嵯?，?duì)于各向同性的線彈體建立了用球應(yīng)力、球應(yīng)變分量和偏應(yīng)力分量，偏應(yīng)變分量表示的廣義胡克定律：(1) 式中： e 為體積應(yīng)變 e x y z 1 23I1由（ 1）式

15、可知，物體的體積應(yīng)變是由平均正力m 確定，由 eij 中的三個(gè)正應(yīng)力之和為令，以及（ 2）式知，應(yīng)變偏量只引起形變，而與體變無(wú)關(guān)。這說(shuō)明物體產(chǎn)生體變時(shí)，只能是平均正應(yīng)力 m 作用的結(jié)果，而與偏應(yīng)力張量無(wú)關(guān)進(jìn)一步說(shuō)就是與剪應(yīng)力無(wú)關(guān)。物體的體積變形只能是并且完全是由球應(yīng)力張量引起7的。由單位體積的應(yīng)變比能公式：uouovuod3m m1sij eij ；也可說(shuō)明物體22的體變只能是由球應(yīng)力分量引起的。當(dāng) 某 一 單 元 體 處 于 純 剪 切 應(yīng) 力 狀 態(tài) 時(shí) ： 其 彈 性 應(yīng) 變 比 能 為 ：uouov uod 012G2xy1 vE2xy由 uo 的正定性知： E0，1+v0.得： v-

16、1。由于到目前為止還沒(méi)有 v0。3-16給定單向拉伸曲線如圖所示， s、E、E均為已知，當(dāng)知道 B 點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?時(shí)，試求該點(diǎn)的塑性應(yīng)變。解：由該材料的 曲線圖可知，該種材料為線性強(qiáng)化彈塑性材料。由于 B 點(diǎn)的應(yīng)變已進(jìn)入彈塑性階段，故該點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)為： B=e+ p 故： p= -eE；s1E3-19已知藻壁圓筒承受拉應(yīng)力zs 及扭矩的作用，若使用Mises 條件，試2求屈服時(shí)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力應(yīng)為多大？并求出此時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎?。解：由于是藻壁圓筒，所可認(rèn)圓筒上各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是均勻分布的。據(jù)題意圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為： （采用柱坐標(biāo)表示）0 ， r0 ， zs ； r0 ， z； zr0 ；2于是據(jù)

17、 miess 屈服條件知，當(dāng)該藻壁圓筒在軸向拉力（固定不變）及扭矩 M（遂漸增大，直到材料產(chǎn)生屈服）的作用下，產(chǎn)生屈服時(shí)，有：解出 得：s；2 就是當(dāng)圓筒屈服時(shí)其橫截面上的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。任意一點(diǎn)的球應(yīng)力分量 m 為： mrzs36應(yīng) 力 偏 量 為 ：sms； srrms；66szzmsss ；263s rsrzrrz0 ； szzs ；2由增量理論知： d ijpsij d于是得： dpdss d； d rpd srs d； dzpdszs d ；663dpd s r0 ；pd srz0 ； d zpd szs drd rz2所以此時(shí)的塑性應(yīng)變?cè)隽康谋戎禐椋?dp ： d rp ：d zp ：

18、d pr ：d rzp ：d zps：s：s ：0：0： s6632也即： dp ： d rp ： d zp ： d pr ： d rzp ： d zp（-1）：（ -1）：2：0：0：6；3-20一藻壁圓筒平均半徑為 r，壁厚為 t，承受內(nèi)壓力 p 作用，且材料是不可壓縮的， v 1 ；討論下列三種情況：2（ 1）：管的兩端是自由的；（ 2）：管的兩端是固定的；（ 3）：管的兩端是封閉的；分別用 mises 和 Tresca 兩種屈服條件討論 p 多大時(shí)，管子開(kāi)始屈服，如已知單向拉伸試驗(yàn) r 值。解：由于是藻壁圓筒，若采用柱坐標(biāo)時(shí)， r 0，據(jù)題意首先分析三種情況下，圓筒內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

19、：（ 1）：pr1； rt（ 2）：pr1； rt（ 3）：pr1； rt0z23003； zvvprpr2；t2tpr03； z2；2t顯然知，若采用 Tresca 條件討論時(shí)，（ 1）、（ 2）、（3）三種情況所得結(jié)果相同，也即：maxk s132prs ；st ；22t2解出得： pr若采用 mises 屈服條件討論時(shí)，則（2）（ 3）兩種情況所得結(jié)論一樣。于是得：（ 1）： 2 s2222122331解出得： pst ；r22prprt2t（ 2）、（3）： 2 s2pr2pr22pr00prt2t2tt解出得： p2st ；3r3-22給出以下問(wèn)題的最大剪應(yīng)力條件與畸變能條件：（ 1

20、）：受內(nèi)壓作用的封閉藻壁圓管。設(shè)內(nèi)壓 q，平均半徑為 r ，壁厚為 t，材料為理想彈塑性。（ 2）：受拉力 p 和旁矩作用的桿。桿為矩形截面，面積 bh，材料為理想彈塑性。9解（ 1）：由于是藻壁圓管且t 1。所以可以認(rèn)為管壁上任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為r平面應(yīng)力狀態(tài)，即r=0,且應(yīng)力均勻分布。那么任意一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為：qr1；r03 ； zqr2；t2t若采用Tresca 屈服條件，則有：maxss13rqr；2222t故得： sqr ；或：sqr ；t2t若采用 mises 屈服條件，則有：222qrqrqrqr3q2 r2；t2t2tt2t 2故得：s3qr ； 或： s qr ；2t2t解

21、（ 2）：該桿內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，（受力如圖示）h且知，當(dāng)桿件產(chǎn)生屈服時(shí)，首先在桿件頂面各點(diǎn)屈服，故知y2得： 1xP6M；230bh2bh若采用 Tresca 屈服條件，則有：maxss13P6M1 ；22bhbh22故得：16M； 或：1P6M；sPhshbh2bh若采用 mises 屈服條件，則有：故得： s16M；或：Phsbh16M；Ph3bh一般以 s 為準(zhǔn)（拉伸討驗(yàn)）第五章平面問(wèn)題直角坐標(biāo)解答5-2：給出axy ；（1）：撿查是否可作為應(yīng)力函數(shù)。（2）：如以為應(yīng)力函數(shù)，求出應(yīng)力分量的表達(dá)式。（3）：指出在圖示矩形板邊界上對(duì)應(yīng)著什么樣的邊界力。（坐標(biāo)如圖所示）解：將

22、axy 代入40 式y(tǒng)22yz =-a得：0滿足。hxy =-a2oxh2l10故知axy 可作為應(yīng)力函數(shù)。求出相應(yīng)的應(yīng)力分量為：222xy20 ； yx20 ； xya ；x y上述應(yīng)力分量xy0 ； xya 在圖示矩形板的邊界上對(duì)應(yīng)著如圖所示邊界面力，該板處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。5-4：試分析下列應(yīng)力函數(shù)對(duì)一端固定的直桿可解出什么樣的平面問(wèn)題。3Fxyxy3q 2；ad4c3c2y2cP2x解：首先將函數(shù)式代入0 式知，滿足。故該函c數(shù)可做為應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量為：Fbc223F22x y q q3F3xy ； y22 0 ；ylxy4cc2cxxy23F1 y 212Fh2y2Fh2y2；x

23、 y4cc22h342J z4顯然上述應(yīng)力分量在 ad 邊界及 bc 邊界上對(duì)應(yīng)的面力分量均為零，而在ad 邊界上則切向面力分量呈對(duì)稱于原點(diǎn)o 的拋物線型分布，指向都朝下，法向面力為均布分布的載荷 q。顯然法向均布載荷 q 在該面上可合成為一軸向拉力p 且 p=2cq；而切向面力分量在該面上則可合成為一切向集中力：而 cd 邊界則為位移邊界條件要求，u=0，v=0，w=0 以及轉(zhuǎn)角條件。由以上分析可知，該應(yīng)力函數(shù)對(duì)于一端固定的直桿（坐標(biāo)系如圖示） ，可解決在自由端受軸向拉伸 （拉力為 p=2cq）和橫向集中力 F 作用下的彎曲問(wèn)題。（如圖示）5-6：已求得三角形壩體的應(yīng)力為：、 、其中為壩體的

24、材料容重，1為水的容重，試據(jù)邊界條件求出常數(shù)a bc、 d 的值。解：據(jù)圖示列出水壩 OA 邊界和 OB 邊界面上的應(yīng)力邊界條件：OB 邊： x=0 ,l=cos(180 )=-1， m=0 , Tx= y , Ty=0故得：xTx1 yL L L L L aTy0L L L L L L bxyOA 邊： x=ytg ， l=cos , m=cos (90+)=-sin , Tx=Ty=0故有：x cosxy sin0L LL L L Lcyx cosy sin0L LL L L Ld11將 x x0ax by by 代入（ a）式得： b1；將： xyx 0ay 代入（ b）式得：ay0得

25、a=0；將 x 、 xy 代入（ c）式得： d1ctg 2；將 y 、 yx 代入（ d）式得： cctg21ctg3；5-7：很長(zhǎng)的直角六面體，在均勻壓力q 的作用下，放置在絕對(duì)剛性和光滑和基礎(chǔ)上，不計(jì)體力。試確定其應(yīng)力分量和位移分量。解：由題意知，該問(wèn)題為一平面應(yīng)變問(wèn)題。由于不計(jì)體力所以平面應(yīng)力與平面應(yīng)變的變形協(xié)調(diào)方程是一樣的，故可取一單位長(zhǎng)度的直角六面體來(lái)研究其應(yīng)力狀態(tài)。當(dāng)求知應(yīng)力分量函數(shù)后，再由平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系求得應(yīng)變分量，進(jìn)一步積分再利用有關(guān)位移邊界條件確定積分常數(shù)后求得位移分量。這里我們采用逆解法，首先據(jù)題目設(shè)應(yīng)力函數(shù)ay2 顯然式滿足雙調(diào)和方程式40。相應(yīng)應(yīng)力分量為：x 2a

26、 ， y0 ， xy 0顯然直角六面體左右兩面的應(yīng)力邊界條件自動(dòng)滿足。對(duì)于項(xiàng)邊： y=h , l=1,m= 0,Txy則可定出：aq；=-q , T =02對(duì)于底邊： y=0 , l=-1,m=0,Txy同樣定出：aq；=q , T =02因此滿足該問(wèn)題所有應(yīng)力邊界條件的解為：xq ， y0 ， xyyx0應(yīng)這分量為：x1 v2x v21 q ， y1v v q ， xy0EEEuv21 qxf yAE積分得： v1v vf1xBqyw0E利用位移邊界條件確定積分常數(shù)：（1） 當(dāng) x=0 , y=0 時(shí)， u=0 則： A=0（2） 當(dāng) x=0 , y=0 時(shí)， v=0 則： B=0（3） 當(dāng)

27、 x=0 時(shí)， u=0 則： f (y)=0（4） 當(dāng) y=0 時(shí)， v=0 則： f1(x)=0因此知該問(wèn)題的位移分量為：21v vuv 1qx ；w 0vqy ；EE125-10: 中的三角形 臂梁只受重力作用。而梁的比重 p， 用 三次式：ax3bx2 y cxy2dy3 的 力函數(shù)求解 力分量 ?解 : 然式 足20 式 ,可做 力函數(shù) ,相 的 力分量 :x2cx6by2ypy6ax2bypy（ a）x2xy2bx2cyx y 界條件：ox ： y=0 , l=0 ,m=-1, F x=Fy=0 ： 2bx=0得： b=0-6ax=0得： a=0oa ： yxtg,lcos 90os

28、in; mcos;Fx Fy 0 ：2cx 6dxtgsin2cxtgcos0L L LL La2cxtgsinpxtgcos0L L L L L L Lb由（ c） 式得： cp ctg；2代入 (b)式得： dp ctg2；所以（ a）式 ：3第六章平面 的極坐 解6-3:在極坐 中取A ln rCr 2 , 式中 A與 C 都是常數(shù)。（i）： 是否可作 力函數(shù)？（ ii ）：寫(xiě)出 力分量表達(dá)式？（ iii ）：在 r=a和 r=b 的 界上 著怎 的 界條件？解：首先將式代入40 式，其中：A 11A2A2r2Cr ;r2C ;r 22C ;0,0.rrr 2r 2222故：411A2A

29、200;rrrr 22r 2Cr 2C故：式可作 力函數(shù)。 力分量 ： 于右 所示 ，上述 力分量 著如下 界條件：當(dāng) r=a （內(nèi) ）：（ l=-1, m=0.）當(dāng) r= b （外 ）：（l=1，m=0.）136-5：試確定應(yīng)力函數(shù)cr 2 cos2cos 2中的常數(shù) c 值。使?jié)M足題 6-5圖中的條件（：1）在面上 ,0rs;（2）在面上 ,0rs;并證明楔頂不有集中力與力偶作用。4解：首先將式代入0 式，知其滿足 ,故可做為應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為：邊界條件：當(dāng)時(shí)，0. rs; 則： 2c cos2cos20得 00.自動(dòng)滿足2c sin2s. 得 : cs;時(shí).0, rs;當(dāng)2c cos2cos20.2sin 2s因 coscos ,則00,2c sin 22c sin 2s 得 c; 故2 sin 2得：由（ e）式可知，該應(yīng)力函數(shù)在r=0處并不適用 ，所以（f ）式也不反映 o 點(diǎn)處的Ry應(yīng)力狀態(tài)。如果我們以 a 為半徑截取一部分物體為研究對(duì)象（見(jiàn)右圖示） ，并假設(shè)在 oRxo點(diǎn)處存在集中力 Rx、 Ry、 及集中力偶 M o,那M o么這部分物體在 Rx、 y、 o、以及 、r 和yR Msr 這一力系的作用下應(yīng)保持