完整版)切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理37508

1、實用標準文案切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關的比例線段學習目標1. 切線長概念“切線長”是切線上（PA 長）切線長是在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，一條線段的長，具有數量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2. 切線長定理（2）若已知兩條切對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3 ）經過圓外一點引圓的兩條切線，連結兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角 互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條

2、切線所夾的角。文檔3.弦切角:直線AB切OO于P, PC PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5. 弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質定理及切線長定理。7.與圓有關的比例線段 定理圖形相交弦定 理AXDC總已知O O中，AB CD為弦，交 PA- PB= PC- PD. 于P.結論證法連結AC BD證： APCDPB.相交弦定CO O中，AB為直徑，CDL pC= PA- PB.理的推論/AB于 P.（特殊情況）用相交弦定理O 0中，PT切O 0于T, 割線PB交O

3、 0于ApT2= PA- PBPBPD為O O的兩條割線，PA- PB= PC- PD 交O 0于A C連結 TA、TB,證： PTBPAT過P作PT切O O于T,用兩次切割線定理（記憶的方法方法）O 0中，割線PB交O 0于PC - PD = r2- 0P2延長P0交O 0于 M 延 A, CD為弦PA- PB= 0P- r2r為O0的半徑長0P交O 0于N,用相交 弦定理證；過P作切線用 切割線定理勾股定理證8.圓幕定理：過一定點P向O 0作任一直線，交O 0于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積 為常數L一廠| （ R為圓半徑），因為叫做點對于O 0的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為 圓幕定理

4、?！镜湫屠}】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長為1,以BC為直徑。在正方形內作半圓 0,過A作半圓切線，切 點為F,交CD于 E,求DE AE的值。圖1解：由切線長定理知： AF= AB= 1, EF= CE 設CE為x，在Rt ADE中，由勾股定理A1_ 3日15)5 = 1-恥二 1 + 二一4=44 43- = 3： 544cm。例2. O O中的兩條弦 AB與CD相交于 E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm 那么CE=解：由相交弦定理，得AE BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,DE=CD-CE =1-CE.6冥2=強(76

5、) ,即亡費+12 = 0/ CE= 3cm或 CE= 4cm。故應填3或4。點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則*小:AC2 = $氏解：/ P=Z P/ PAC=Z B, PACA PBAAB _ PB.疋二7Z,又 PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得M 二刃，F(xiàn)CAB2 _ 陽 _ FS _ 円花-麗 ?Bn A護:PC即，故應填PCo點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。例4.如圖3, P是O O外一點，PC切O O于點C, PAB是O O的割線，交O O于A B兩點，如果PA:PB=

6、1 : 4, PC= 12cm o O的半徑為10cm 則圓心 o到AB的距離是cm。解：/ PC是O O的切線，PAB是O O的割線，且 PA: PB= 1 : 4PB= 4PA又 PC= 12cm由切割線定理，得 ?，-： _.1，4R4.PB= 4 X 6= 24 (cm). AB= 24 6 = 18 (cm)設圓心O到AB距離為d cm,由勾股定理，得出二二應匈 故應填J。例5.如圖4, AB為OO的直徑，過 B點作O O的切線BC, OC交O O于點E, AE的延長線交 BC于點 D,( 1)求證：占JU ； (2)若AB= BC= 2厘米，求CE CD的長。點悟：要證證明：（1）

7、連結BE召U是0 0的切線=Zj4=乙亡血ZD坤角OA = OE ZA = ZOSA乙 OEA = 5ECHUEDS心EE = = 窗=CB * CDCD CS(2)膽是0沏線 應為直徑= 丄ABD = 90-血二2 n O呂二1 U g = 用門OS = A又-,厘米。例6.如圖5，AB為O O的直徑，弦E。點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。證明：連結BD,/ AE切O O于 A/ EAD=Z ABD/ AE AB,又 AB/ CD AE CD/ AB為O O的直徑/ ADB= 90/ E=Z ADB= 90 ADEA BADAD DE.-丄：.AD2 =

8、 AB* DE/ CD/ ABc nAD=BC AD= BC,EC2 = AS* DS例7.如圖6, PA PC切O O于A、C, PDB為割線。求證： AD- BC= CD- AB圖6點悟：由結論 AD- BC= CD- AB得-，顯然要證厶 PADA PBAD PCSA PBC證明：/ PA切O O于A,/ PAD=Z PBA又/ APD=Z BPA PADA PBAM PD.I J 同理可證厶PCDA PBCCD PD/ PA PC分別切O O于A、C PA= PCM CD.I=1 AD- BC= DC- AB例8.如圖7,在直角三角形 ABC中，/ A= 90。，以AB邊為直徑作O O

9、,交斜邊BC于點D,過D點 作O O的切線交AC于 E。圖7求證：BC= 2O呂點悟：由要證結論易想到應證 。丘是厶ABC的中位線。而 OA= OB只須證AE= CE, 證明：連結ODAC丄AB, AB為直徑 AC為O O的切線，又DE切OO于D EA= ED, ODL DE/ OB= OD / B=Z ODB在 Rt ABC中，/ C= 90/ B/ ODE= 90.= 92 - ODBC=/ EDC ED= EC AE= EC。丘是厶ABC的中位線 BC=2OEC例9.如圖8,在正方形 ABCD中，AB= 1，弓是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點En是邊AD上的任意一點（點 E與

10、點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊 DC于點F，G 為切點。當/ DEF= 45時，求證點 G為線段EF的中點；解：由/ DEF= 45,得【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一、選擇題1.已知：PA PB切O O于點A、B,連結AB,若AB= 8，弦AB的弦心距3,則PA=（）20253C. 5B.D. 8A一eI）D0圖8/ DFE=Z DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因為AB是圓B的半徑，ADL AB,所以AD切圓B于點A;同理，CD切圓B于點G 又因為EF切圓B于點G 所以AE= EG FC= FG因此EG= FG,即點G為線段EF的中點。A. -2. 下列圖形

11、一定有內切圓的是（A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形A. 50B. 40D. 553. 已知：如圖1直線MN與O O相切于C, AB為直徑，/ CAB= 40，則/ MCA勺度數（4. 圓內兩弦相交，一弦長 8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1: 4,則另一弦長為（）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC邊上的點，AD2c, bd= 3cm, DC= 4cm,如果 E是AD的延長線與 ABC的外接圓的交點，那么 DE長等于（）A.C.B.弭去啊D.%民燒6. PT切O O于T, CT為直徑，D為0C上一點，直線 PD交O O于B和A B在線段P

12、D上，若 =2, AD= 3, BD= 4,貝U PB等于（）A. 20B. 10C. 5D.獸廠二、填空題7. AB 、CD是O 0切線，AB/ CD EF是O 0的切線，它和 AB CD分別交于 E、F,則/ EOF= 度。8. 已知：O O和不在O O上的一點 P,過P的直線交O O于 A、B兩點，若 PA- PB= 24, OP= 5,則OO的半徑長為。9. 若PA為O O的切線，A為切點，PBC割線交OO于B、C,若BC= 20,八 V ，貝UPC的長為。10. 正厶ABC內接于O O, M N分別為AB AC中點，延長 MN交O O于點D,連結BD交AC于P,PC _則刃 。三、解

13、答題11.如圖2, ABC中，AC= 2cm,周長為8cm, F、K、N是厶ABC與內切圓的切點， DE切O O于點 M 且 DE/ AC,求 DE的長。xAD/f0jF BE MC圖212. 如圖3，已知P為O O的直徑AB延長線上一點，PC切O O于C, CDL AB于D,求證：CB平分13.如圖4，已知AD為O O的直徑，AB是O O的切線，過 B的割線BMN交 AD的延長線于 C,且 BM= MN= NC若AB 2”氐喘，求O 0的半徑。A J圖4【試題答案】-、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空題7. 908. 19. 3010.三、解答題:11. 由切線長定理得厶 BDE周長為4,由厶BDEA BAG 得 DE= 1cm12. 證明：連結AC貝U AC丄CB/ CD! AB