《相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識講解(提高)

1、相似全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；2、通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】

2、要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等；2.相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段要點(diǎn)詮釋：

3、（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）（2）若a:b=b:c，則b2=ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）要點(diǎn)二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.判定方法（三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩

4、個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等（2）相似多邊形的周長比等于相似比（3）相

5、似多邊形的面積比等于相似比的平方要點(diǎn)三、位似1.位似圖形定義:如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心2.位似圖形的性質(zhì):（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；（2)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.要點(diǎn)詮釋：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.（2）位似變換中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.要點(diǎn)四、

6、黃金分割1.定義：如圖，將一條線段ab分割成大小兩條線段ap、pb，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即pbapapab（此時(shí)線段ap叫作線段pb、ab的比例中項(xiàng)），則p點(diǎn)就是線段ab的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割2.黃金三角形：頂角為36的等腰三角形，它的底角為72，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割要點(diǎn)五、射影定理在rtabc中，acb=90，cdab于d，abcacdcbd（“角角”）cdacbc222adbd；adab；bdab（射影定理）；acbcabcd（等積）【典型例題】類型一、相似三角形【高清課堂:

7、相似專題復(fù)習(xí)高清id號：394502關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1-2】1.已知：如圖，abc=cdb=90，ac=a，bc=b，當(dāng)bd與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？【答案與解析】ac=a，bc=b，ab=a2b2，當(dāng)abcbdc時(shí)，bdbcabac,ba2b2即bd.a當(dāng)abccdb時(shí)，bdbccbac，b2即bd.a【總結(jié)升華】相似三角形中未明確對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)邊時(shí)，要注意分類討論.舉一反三【變式】如圖，在矩形abcd中，ab=6，bc=8,沿直線mn對折，使a、c重合，直線mn交ac于o.（1）求證：comcba；（2）求線段om的長度.【答案】（1）證明：a與c關(guān)于直

8、線mn對稱，acmn，com=90，在矩形abcd中，b=90，com=b，又acb=acb，comcba，（2）在rtcba中，ab=6，bc=8，ac=10，oc=5，comcba，oc=ombcab，om=154.2.如圖，在abc中，c90，將abc沿直線mn翻折后，頂點(diǎn)c恰好落在ab邊上的點(diǎn)d處，已知mnab，mc6，nc23，則四邊形mabn的面積是（）a63b123c183d243cmnadb【答案】c；【解析】由mc6，nc23，c90得scmn=63，再由翻折前后cmndmn得對應(yīng)高相等；由mnab得cmncab且相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得scmn四邊形m

9、abn=1:3，故選c.【總結(jié)升華】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識點(diǎn).知識點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力.難度較大.類型二、相似三角形的綜合應(yīng)用3.（2015上海）已知，如圖，平行四邊形abcd的對角線相交于點(diǎn)o，點(diǎn)e在邊bc的延長線上，且oe=ob，連接de（1）求證：debe；（2）如果oecd，求證：bdce=cdde【答案與解析】證明：（1）四邊形abcd是平行四邊形，bo=bd，oe=ob，oe=bd，bed=90debe；（2）oecd，ceo+dce=cde+dce=

10、90ceo=cde，ob=oe，dbe=cde，bed=bed，bdedce，bdce=cdde【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵4.（2016杭州）如圖，在abc中，點(diǎn)d，e分別在邊ab，ac上，aed=b，射線ag分別交線段de，bc于點(diǎn)f，g，且（1）求證：adfacg；（2）若，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）欲證明adfacg，由可知，只要證明adf=c即可（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到=，由此即可證明【答案與解析】（1）證明：aed=b，dae=dae，adf=c，=，adfacg（2）解：adfacg，又=，=，=

11、，=1【總結(jié)升華】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型舉一反三：【變式】（2015湘潭）如圖，在rtabc中，c=90acd沿ad折疊，使得點(diǎn)c落在斜邊ab上的點(diǎn)e處（1）求證：bdebac；（2）已知ac=6，bc=8，求線段ad的長度【答案與解析】證明：（1）c=90acd沿ad折疊，c=aed=90deb=c=90b=b，bdebac；（2）由勾股定理得，ab=10由折疊的性質(zhì)知，ae=ac=6，de=cd，aed=c=90be=abae=106=4，在rtbde中，由勾股定理得，de2+be2=bd2，

12、即cd2+42=（8cd）2，解得：cd=3，在rtacd中，由勾股定理得ac2+cd2=ad2，即32+62=ad2，解得：ad=【高清課堂:相似專題復(fù)習(xí)高清id號：394502關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例7】5.如圖，已知在梯形abcd中，ad/bc，ad=2，bc=4，點(diǎn)m是ad的中點(diǎn)，mbc是等邊三角形（1）求證：梯形abcd是等腰梯形（2）動(dòng)點(diǎn)p、q分別在線段bc和mc上運(yùn)動(dòng)，且mpq=60保持不變設(shè)pc=x，mq=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式【答案與解析】（1）mbc是等邊三角形mbmc，mbcmcb60m是ad中點(diǎn)，ammd，adbc，ambmbc60，dmcambdmc，abd

13、c，梯形abcd是等腰梯形mcb60，（2）在等邊mbc中，mbmcbc4，mbc又mpq60，bmpbpmbpmqpc120，bmpqpc，bmpcqp，mcb60，pccqbmbp，pcx，mqybp4x，qc4y，x4y44x，1yx2x4.4【總結(jié)升華】利用相似三角形得到的比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求得函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識來解題.舉一反三【變式】如圖所示，在rtabc中，a=90，ab=8，ac=6若動(dòng)點(diǎn)d從點(diǎn)b出發(fā)，沿線段ba運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度過點(diǎn)d作debc交ac于點(diǎn)e，設(shè)動(dòng)點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，ae的長為y(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自

14、變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，bde的面積s有最大值，最大值為多少?【答案】(1)因?yàn)閐ebc，所以adeabc，所以.又因?yàn)閍b=8，ac=6，所以，即，自變量x的取值范圍為.(2)所以當(dāng).時(shí)，s有最大值，且最大值為6.類型三、黃金分割6.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片abcd，先折出bc的中點(diǎn)e，再折出線段ae，然后通過折疊使eb落到線段ea上，折出點(diǎn)b的新位置b，因而eb=eb類似地，在ab上折出點(diǎn)b使ab=ab這是b就是ab的黃金分割點(diǎn)請你證明這個(gè)結(jié)論【答案與解析】設(shè)正方形abcd的邊長為2，e為bc的中點(diǎn)，be=1ae=ab2be25，又be=be=1，ab=ae-be=5-1，ab=ab=5-1ab：ab=(5-1):2點(diǎn)b是線段ab的黃金分割點(diǎn)【總結(jié)升華】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道