人教版高中數(shù)學(xué)【選修2-1】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]_拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)_提高

1、設(shè)|kf|=p(p0)，那么焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(p精品文檔用心整理人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2理解拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)（范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率）3能用拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)解決與拋物線(xiàn)有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題4.進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、拋物線(xiàn)的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線(xiàn)l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)f）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)f叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)要點(diǎn)詮釋:(1)上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線(xiàn)；一個(gè)定值(2)定義中的隱含條件：焦點(diǎn)

2、f不在準(zhǔn)線(xiàn)l上，若f在l上，拋物線(xiàn)變?yōu)檫^(guò)f且垂直與l的一條直線(xiàn).(3)拋物線(xiàn)定義建立了拋物線(xiàn)上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線(xiàn)的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.要點(diǎn)二、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)f且垂直于l的直線(xiàn)為x軸,垂足為k.以f,k的中點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xoy.p,0)，準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-.22設(shè)點(diǎn)m（x,y）是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)m到l的距離為d.由拋物線(xiàn)的定義，拋物線(xiàn)就是集合p=m|mf|=d.|mf|=(x-pp)2+y2,d=|x+|,22(x-pp)2+y2=|x+|.2

3、2將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y2=2px(p0).資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理方程叫拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是(p2,0)它的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-p2.拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線(xiàn)方程的的四種形式y(tǒng)2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py(p0)。要點(diǎn)詮釋?zhuān)褐挥挟?dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線(xiàn)x2=-20y的一次項(xiàng)為-20y，故其焦點(diǎn)在y軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）拋物線(xiàn)

4、標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線(xiàn)x2=-20y的一次項(xiàng)-20y的系數(shù)為-20，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5)。一般情況歸納：方程圖象的開(kāi)口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)y2=kxx2=kyk0時(shí)開(kāi)口向右k0時(shí)開(kāi)口向上k0)的幾何性質(zhì)范圍：xx0，yyr，拋物線(xiàn)y2=2px（p0）在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足不等式x0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸。拋物線(xiàn)是無(wú)界資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理曲線(xiàn)。對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)y2=2px（p0）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸。拋

5、物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸。頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)拋物線(xiàn)y2=2px（p0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)。拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。離心率：e=1.拋物線(xiàn)y2=2px（p0）上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率。用e表示，e=1。拋物線(xiàn)的通徑通過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)所截得的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的通徑。因?yàn)橥ㄟ^(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p0）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為p,p，2,-p，所以?huà)佄锞€(xiàn)的通徑長(zhǎng)為2p。這就是拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的一種幾何意義。另一方面，由通徑p2的定義我們還可以看出，p刻畫(huà)了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小，p值越大，開(kāi)口越寬；p值越小，開(kāi)

6、口越窄拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）o（0，0）x2=2py（p0）范圍對(duì)稱(chēng)軸x0，yrx0，yrx軸y0，xry0，xry軸焦點(diǎn)pf,0f-,0f0,f0,-離心率2p2p2e=1p22x=準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-pp2y=-p2y=p2資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理2|mf|=2|mf|=y+焦半徑|mf|=x+p0p-x00p2|mf|=p2-y0要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）與橢圓、雙曲線(xiàn)不同，拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱(chēng)軸，一條準(zhǔn)線(xiàn)；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離；p0恰恰說(shuō)明定義中的

7、焦點(diǎn)f不在準(zhǔn)線(xiàn)l上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.【典型例題】類(lèi)型一：拋物線(xiàn)的定義例1.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（3，3），準(zhǔn)線(xiàn)為x軸，求拋物線(xiàn)的方程?！窘馕觥吭O(shè)m（x，y）為拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則由拋物線(xiàn)的定義，得(x-3)2+(y-3)2=|y|兩邊平方，整理得y=16x2-x+31所求拋物線(xiàn)的方程為y=x2-x+36.【總結(jié)升華】當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)不在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸不是坐標(biāo)軸時(shí)，我們只能根據(jù)定義求拋物線(xiàn)的方程舉一反三：【變式】求適合下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）過(guò)點(diǎn)(-2，3)；【答案】：x2=43y設(shè)y2=

8、2px，以(-2，3)代入，得2p=設(shè)x2=2py，以(-2，3)代入，得2p=y299=，y2=-x；x-22x244=，x2=y。y33（2）焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x-4y-12=0上；【答案】：若焦點(diǎn)為（4，0），則y2=16x若焦點(diǎn)為（0，-3），則x2=-12y（3）準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2，3)；【答案】：準(zhǔn)線(xiàn)為x=2，則y2=-8x準(zhǔn)線(xiàn)為y=3，則x2=-12y（4）焦點(diǎn)在y軸上，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)m(m,-3)到焦點(diǎn)的距離等于5?！敬鸢浮浚涸O(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=-2py（p0），則點(diǎn)m(m,-3)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為5，即p2資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用-(-3)=5，精品文檔用心整理p=4，x2=-8y例2.

9、平面上動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)f（1，0）的距離比p到y(tǒng)軸的距離大1，求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程。【解析】解法一：設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則有(x-1)2+y2=|x|+1，兩邊平方并化簡(jiǎn)得y2=2x+2|x|。y2=4x,0,x0,x0），過(guò)點(diǎn)(-3,2)，22=-2p(-3)，p=24，y2=-x，33資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口方向上時(shí)，設(shè)所求的拋物線(xiàn)方程為x2=2py（p0），過(guò)點(diǎn)(-3,2)，32=2p2，p=99，x2=y，4249所求的拋物線(xiàn)的方程為y2=-x或x2=32y，19對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是x=，y=-.38【總結(jié)升華】求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定拋物

10、線(xiàn)開(kāi)口方向，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，?zhǔn)確求出焦參數(shù)p.舉一反三：【變式1】已知拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(3,-23)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】x2=-32y.【變式2】拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)(5,25)到焦點(diǎn)的距離是6，則拋物線(xiàn)的方程為()ay22xcy22xby24xdy24x或y236x【答案】b類(lèi)型三：拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)【拋物線(xiàn)線(xiàn)的方程358821例1】例4.（1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)y=14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程；（2）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為f(0,-2),寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3，求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方

11、程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程.【解析】（1）拋物線(xiàn)y=為y=-1.14x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，因?yàn)?p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)方程（2）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且p2=2，所以p=4，從而所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y.33（3）由已知得p=3，所以所求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-.22p【總結(jié)升華】討論拋物線(xiàn)的方程和幾何性質(zhì)時(shí)要注意拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)軸和幾何量p,2p的區(qū)別與聯(lián)2資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理系.舉一反三：【變式】已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程3【答案】因?yàn)閜=3,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是

12、(,0)準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-232例5.求滿(mǎn)足下列條件的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程：（1）（2015聊城校級(jí)模擬改編）過(guò)點(diǎn)（3，2）的拋物線(xiàn)方程；（2）焦點(diǎn)在直線(xiàn)x2y4=0上【答案】（1）y2=4919x或x2=yx=-,y=-3238（2）y2=16x或x2=8yx=4，y=2（【思路點(diǎn)撥】1）設(shè)過(guò)點(diǎn)m（3,2）的拋物線(xiàn)是y2=2px或x2=2py，把點(diǎn)m的坐標(biāo)代入，求得p,p的值，可得結(jié)論。（2）焦點(diǎn)既在坐標(biāo)軸上又在所給直線(xiàn)上，所以分別令x=0得y,y=0得x,求得p?！窘馕觥浚?）設(shè)過(guò)點(diǎn)m（3,2）的拋物線(xiàn)方程是y2=2px或x2=2py若拋物線(xiàn)方程是y2=2px，把m（3

13、,2）代入可得4=2p4，求得p=23，可得拋物線(xiàn)方程是y2=43x?？傻脪佄锞€(xiàn)方程是x2=9若拋物線(xiàn)的方程為x2=2py，把m（3,2）代入可得9=2p2，求得p=49y。故拋物線(xiàn)方程是y2=x或x2=y。232（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，p=4，2p=8，此時(shí)拋物線(xiàn)方程y2=16x；94，焦點(diǎn)為（0，2）時(shí)，p2=2，p=4，此時(shí)拋物線(xiàn)方程為x2=8y所求的拋物線(xiàn)的方程為y2=16x或x2=8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)方程分別是x=4，y=2【總結(jié)升華】過(guò)拋物線(xiàn)y22px的焦點(diǎn)f的弦ab長(zhǎng)的最小值為2p設(shè)a(x1，y)，b(x2，

14、y2)是拋物線(xiàn)y22px上的兩點(diǎn)，則ab過(guò)f的充要條件是y1y2p2設(shè)a，b是拋物線(xiàn)y22px上的兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)，則oaob的充要條件是直線(xiàn)ab恒過(guò)定點(diǎn)(2p，0).資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理舉一反三：【變式1】已知拋物線(xiàn)y24x的內(nèi)接三角形oab的一個(gè)頂點(diǎn)o在原點(diǎn)，三邊上的高都過(guò)焦點(diǎn)，求三角形oab的外接圓的方程【答案】oab的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，且三條高都過(guò)焦點(diǎn)，abx軸，故a、b關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，44設(shè)a(y2y21,y)，則b(1,-y)，11又f(1,0)，由oabf得，解得y220，1a(5,25)，b(5，25)，因外接圓過(guò)原點(diǎn)，且圓心在x軸上，故可設(shè)方程為：x2y2dx0，把a(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)代入得d9，故所求圓的方程為x2y29x0.（【變式2】2015銅仁市模擬）如圖過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn)f的直線(xiàn)依次交拋物線(xiàn)及準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)a,b,c，若|bc|=2|bf|，且|af|=4，則拋物線(xiàn)的方程為（）a.y2=8xb.y2=4xc.y2=2xd.y2=x3=,p=2【解析】如圖分別過(guò)點(diǎn)a,b作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)e,d,設(shè)|bf|=a,則由已知得：|bc|=2a,由定義得：|bd|=2a，故bcd=30，在直角三角形ace中，|af|=4,|ac|=4+3a，2|ae|=|ac|4+3a=8，4從而得a=,3bd/fg