妙用因式分解巧斷幾何圖形的形狀

1、專題二十七 妙用因式分解巧斷幾何圖形的形狀因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中極其重要的恒等變形，它的應(yīng)用極為廣泛，一些數(shù)學(xué)問題，若巧用因式分解，不但能找到聯(lián)系已知與未知的解題方法，而且還能化繁為簡(jiǎn)、化難為易。現(xiàn)以近幾年各類數(shù)學(xué)賽題為例剖析妙用因式分解判斷幾何圖形的形狀。 例1. 已知三角形的三邊a、b、c滿足，試判斷此三角形的形狀。解：即故該三角形是以a為腰的等腰三角形。 例2. 已知的三邊a、b、c滿足。試判斷的形狀。分析：由于給出a、b、c的關(guān)系比較復(fù)雜，因此需要整理，利用因式分解，綜合運(yùn)用三角形的知識(shí)推理解答。解：在中，。去分母得，即設(shè)。則亦即，故此三角形是以b為腰的等腰三角形 例3. 已知的三邊a、

2、b、c滿足，試判斷的形狀。解：將已知式去分母并整理得。故是等邊三角形。 例4. 若的三邊a、b、c滿足等式，試判斷的形狀。解：將已知式進(jìn)行因式分解變形。故此三角形是等腰三角形或直角三角形。 例5. 若的三邊a、b、c滿足等式，試判斷的形狀。（第十三屆“希望杯”競(jìng)賽培訓(xùn)）解：因?yàn)椋?， 所以+得即 又得若，則。由得 由得 得即時(shí)，可推得。若，則代入得。 將代入中，。 由、知。即當(dāng)時(shí)，可推得。故是等邊三角形。 例6. 若的三邊a、b、c滿足，則是（ ）a. 鈍角三角形 b. 直角三角形c. 等腰直角三角形 d. 等邊三角形解：三式相加得配方得由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，故選d。 例7. 若四邊形的四邊a、b

3、、c、d滿足，試判斷四邊形的形狀。解：把已知等式變形并配方，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得故以a、b、c、d為邊的四邊形是菱形。 例8. 若四邊形的四邊a、b、c、d滿足。則此四邊形一定是_。（十一屆“希望杯”初二培訓(xùn)題）解：把題設(shè)條件變形，配方故此四邊形是菱形。 例9. 已知一個(gè)凸四邊形abcd的四條邊的長(zhǎng)順次是a、b、c、d，且，那么四邊形abcd是（ ）a. 平行四邊形 b. 矩形c. 菱形 d. 梯形（第十三屆“希望杯”初二培訓(xùn)題）解：由得，又由得。又。四邊形abcd是平行四邊形，故選a。 例10. 的三邊a、b、c滿足，試判斷的形狀。解：將已知等式變形并配方即，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得以上三式相加得上式變形、配方，即由非負(fù)數(shù)性質(zhì)得。此三角形是等邊三角形。 例11. 的三邊a、b、c滿足，試判斷的形狀。解：把兩邊平方得以代入上式得，就是變形配方得，故是等邊三角形。以下題目供大家練習(xí) 1. 的三邊a、b、c滿足，試判斷的形狀。 2. 的三邊a、b、c滿足試判斷的形狀。 3. 的三邊a、b、c滿足，試判斷的形狀。略解或提示 1. 故此三角形是等腰三角形或直角