數學確定性的喪失的再認識

1、數學確定性的喪失的再認識,2014.8 呼和浩特,張福保（東南大學）,“確定性的喪失”這一說法來自m克萊因的數學： 確定性的喪失。,二是數學體系的確定性。,一是數學原理的真理性，,所謂數學的確定性具有兩個層面的含義,數學體系確定性的喪失意味著我們將建立新體系的確定性或新意義下的確定性，這正是人類不斷追求真理的途徑。,這也正印證了數學的文化屬性,數學是人類精神的創(chuàng)造物。追求永恒的、絕對的的結果，是數學不斷發(fā)展的動力和方向，但假如終有一天數學系統(tǒng)達到完美，那只能意味著思考的終結、追求的終結，意味著數學之死。,一、 數學原理的真理性的建立,數學原理的真理性，即數學作為自然界甚至整個宇宙的構成方式，是

2、對客觀現實的正確反映。 宇宙或自然界的奧秘是用數學語言寫成的，外部物質世界遵循著數學的原理。 這一含義來自于古希臘畢達哥拉斯學派。,用哲學上的術語講，這是數學的本體論的實在論。,柏拉圖： “上帝終究要將世界幾何化”；,伽利略：“展現在我們眼前的宇宙像一本用數學語言寫成的大書，如不掌握數學符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認識不清” 。,牛頓則提供了一整套新的科學方法，開創(chuàng)了科學的一個 新紀元，并加強和深化了數學的作用。 自然哲學的數學原理,進入十八世紀，數學獲得極大發(fā)展，大眾廣泛地相信，數學和科學中的數學定理是真理,伯努利家族、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等許多數學家。 數學定理不

3、僅被作為真理接受，而且為探索大自然提供了更加強有力的工具。 數學研究的目的在于獲得更多的自然規(guī)律，更深刻地了解自然的設計。,兩件非常具有數學意義的事情,其一是對哈雷彗星回歸的預言證明了數學工作在天文學上的精確性； 其二就是最為人們所津津樂道的海王星的發(fā)現。,天文學中另一輝煌的成就應歸功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。,人們觀測到月球和行星的運動不很規(guī)則，這可能意味著它們將越來越遠離太陽或是移向太陽。 拉格朗日和拉普拉斯證明了，人們所觀測到的木星和土星速度的不規(guī)則是周期性變化的，因而其運動基本上是穩(wěn)定的。,十九世紀，數學界一片繁榮景象：,拉格朗日，拉普拉斯，傅里葉，高斯 ，柯西 他們的工作似乎成了不

4、容反駁的明證：越來越多關于自然界的真理正在被揭示。,拉普拉斯還有一段更著名的論述：,我們可以把目前的宇宙狀態(tài)看作是宇宙過去的結果和將來的原因。如果一個有理性的人在任何時刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個方程式表達宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運動。 對他來說，一切都是完全確定的，過去與未來都將呈現在他眼前。,m.克萊因這樣說： 他們加速尋找自然界的定律，他們似乎被這樣一種信念所驅使：他們就是神派來解釋上帝意圖的。,綜合起來可以這樣說：,數學在各樣的人類文明中擁有了最大的權威和最高的話語權，具有最大意義的確定性，可以說成為了絕對真理。

5、然而也許是物極必反，就在這樣一個時刻，非歐幾何、四元數的出現，瓦解了數學原理的真理性的信條。,二、數學原理真理性的喪失,19世紀以前, 所有的數學家都認為歐氏幾何是物質空間和此空間內圖形性質的正確的理想化。 哲學家康德關于數學是先天綜合判斷的論述更使世人相信物質世界是歐氏幾何的, 歐氏幾何是唯一的與必然的。 但非歐幾何的誕生使數學家們開始意識到歐氏幾何并非物質空間的唯一幾何，歐氏幾何只是各種可能的幾何理論中的一種, 從而也就不具有什么絕對真理性。,統(tǒng)治人類長達兩千年之久的數學實在論思想被動搖了,第一個看到非歐幾何具有變革性意義的是數學家高斯, 高斯不僅承認非歐幾何的適用性, 而且認識到歐氏幾何

6、并無必然的真理性, 重新考慮數學的基礎問題。 非歐幾何的創(chuàng)立使人們意識到，數學是一種人為的創(chuàng)造物 。,三、 數學體系確定性的建立,數學與邏輯結合,或者說數理邏輯發(fā)展的一個重要起點 ,就是數學求助于邏輯來證明自己的一致性。 數學體系的確定性，即數學是否是在牢靠的根基之上發(fā)展出的合乎邏輯的體系，也就是所謂的數學基礎（確定性）問題。 與數學的真理性不同，數學的確定性是個內在性的概念，著眼于數學這一領域本身的邏輯基礎和合理性發(fā)展。,數學是理性精神的化身,數學與外部世界相符的思路正轉向對數學本身的考量。 古希臘人就是在系統(tǒng)探究幾何學的征途上完成了巨著幾何原本，并且它的誕生使得人們不但對數學公理和定理確信

7、不疑, 而且對演繹法十分信賴。 然而正是按照歐氏幾何的思想方法導出了非歐幾何學。 對數學真理性的懷疑迫使人們開始重新審視數學基礎，試圖建立確定的數學體系。,三次數學危機的歷史，也是數學體系確定性的歷史。,從微積分基礎開始，柯西揭開了分析嚴格化的序幕 ； 而分析的基本原理的嚴格化得以完成主要歸功于維爾斯特拉斯：他第一個在有理數性質的基礎上給出了無理數的嚴格定義。 戴德金在給學生講授微積分時才認識到清楚的無理數理論的迫切性。 再經過康托、皮亞諾等人的努力，實數和復數系統(tǒng)的邏輯結構被建立起來。,正是建立實數體系的努力導致了集合論-現代數學的標志-的誕生。,關鍵的無窮集合被其引入數學之中，迫使康托爾放

8、棄了“整體大于部分”的傳統(tǒng)觀念，提出并且發(fā)展了超限數理論。 集合論給數學開辟了廣闊的新領域，正是由于集合論在數學界占據了統(tǒng)治地位之后，我們才可以說現代數學才真正得以形成。 數學家們利用集合論的語言重新描述或解決了代數、幾何分析中長期存在的問題。同時集合論的發(fā)展也引出了實變函數倫、抽象代數、點集拓撲學等許多現代數學分支。,集合論在19世紀末20世紀初數學基礎研究熱潮中扮演了關鍵性的角色。,在當時的數學界看來，整個數學的嚴格性被建立在集合論的基礎之上了。 龐加萊就說：“借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈，今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了”。 然而，羅素悖論的出現，使得剛剛建立的“數學大

9、廈”變得岌岌可危。,羅素悖論表達的意思如此簡單，但是當時的數學界卻無人可以反駁它,這正象當時無人能反駁貝克萊主教對微積分的批評。 羅素悖論涉及到的恰恰是集合論中最基本的方面，嚴重動搖了集合論的基礎，進而導致整個數學的基礎的動搖，并由此引發(fā)人們對于整個數學基本結構有效性的懷疑，第三次數學危機也由此誕生。,尋求新的數學體系的確定性從一開始就注定了不確定性,數學家們選擇了不同的途徑來建立數學的基礎, 形成了三個彼此獨立的、截然不同的學派： 以羅素和弗雷格為代表的邏輯主義學派； 以布勞維爾為代表的直覺主義學派 ； 以希爾伯特為代表的形式主義學派 。 這三大學派爭論不休, 使得數學變得更加不確定!,四、

10、 數學確定性的喪失,哥德爾驚世駭俗的不完備性定理則是對數學確定性的致命一擊。 來自邏輯主義者、形式主義者都依賴于公理化的基礎。 在1930年以前, 這種基礎被認為是建立數學的可以選用的基礎。 不完備性定理表明沒有一個公理體系可以包含屬于任何一種結構的所有真理。,哥德爾不完備性定理,形式系統(tǒng)的完備性是指系統(tǒng)的有效公式都是該系統(tǒng)的定理，即該系統(tǒng)的所有有效公式在該系統(tǒng)中都可證，否則就是不完備的。 1929年，邏輯學家哥德爾(kurt gdel)證明了一階邏輯系統(tǒng)的完備性，即哥德爾完備性定理。 然而，1930年他又證明了算術系統(tǒng)pa的不完備性：如果pa是相容的，則必定存在閉公式g及其否定g在此系統(tǒng)中均

11、不可證，即如果pa是相容的，則必定存在閉公式g和g在pa中可表達，但卻不能證明它們是pa定理。,不完備性定理也是對邏輯學中的排中律的否定, 這就意味著被一直使用了兩千年的邏輯原理和歐氏幾何一樣, 都不再具有絕對的確定性。 哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數學形式化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的。,從直觀算術到算術形式系統(tǒng)和元數學 ,是數學在邏輯的洗禮下經歷的一次脫胎換骨。 哥德爾的成果使算術讀懂了自己 : 我想我是一致的 , 但可惜我不可能(不是尚未能 ,而是不可能) 證明這一點; 我希望我能證明所有的算術真理 , 但可惜我不可能

12、(不是尚未能 , 而是不可能) 做到這一點。,五、對數學確定性喪失的再認識,哥德爾發(fā)現不完備性定理已經80年，克萊因提出數學確定性喪失已經60年，但是，數學依然是最確定并受到普遍尊重和景仰的學科。 馬克思的觀點“一種科學只有在成功地運用數學時才算達到了真正完善的地步”依然有效； 上個世紀70年代，美國總統(tǒng)的科學顧問的主席大衛(wèi)的斷言“高科技本質上是數學技術”日益被人們接受。 數學的確定性到底喪失了沒有？,幾點體會和認識,1. 所謂數學原理的真理性的喪失其實只是否定了數學真理是絕對真理。 說到數學原理的真理性必然涉及對真理的認識，因此與哲學、文化密切關聯。 非歐氏幾何的出現不能否定歐氏幾何，它們都

13、是在各自的領域是真理，也即是相對真理。 多種幾何學可以同時并存，就像哲學、社會學等具有同流派和觀點一樣自然。 理論的局限性也恰恰是理論的合理性的表現。,2.物理學中的不確定性,“在大多數的學科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞。惟獨數學，每一代人都在古老的數學大廈上添加一層樓?！?的確，理論物理系統(tǒng)作為一個“形式系統(tǒng)”，終極形式最終會導致“完備性”與“無矛盾性”之間的不相容。,牛頓力學得以成立的數學基礎是歐幾里德幾何理論，廣義相對論得以成立的數學基礎則是黎曼幾何的理論。 以牛頓的萬有引力定律為基礎的經典天體力學，成功地解決了太陽系內的宇宙學問題；以廣義相對論為基礎的

14、現代宇宙學，則較為成功地解決了太陽系以外更為廣闊的宇宙的許多問題。,理論的發(fā)展只能是漸進的、分層次的,這就是為什么愛因斯坦可以超越牛頓卻無法取 代牛頓的原因；我們無法依據廣義相對論否定牛頓的萬有引力，還因為牛頓萬有引力的局限性正是它在歐幾里德空間具有合理性的前提條件 。 例如對于人造地球衛(wèi)星的運動來說，用廣義相對論去解決的話，最后還得回歸為經典天體力學的問題，它本身并不是適合解決這個問題的理論。 當我們所面對的是“接近光速度”的問題時，牛頓萬有引力定律就會失效，這恰恰說明：理論的有效性和理論的適用范圍是一致的。,廣義相對論所導出的“宇宙模型”并不是哲學意義上的宇宙，而是物質在黎曼幾何空間所遵循

15、的運動規(guī)律的表現。相對于哲學意義上無限的宇宙而言，以黎曼幾何為基礎的廣義相對論的宇宙也是很小的一部分，而黎曼幾何以外的更為廣闊的宇宙空間的問題則是廣義相對論無法解決的。,霍金說：“廣義相對論導致了自身的失效：它預言它不能預言宇宙”,霍金說：“1929年埃德溫.哈勃的宇宙膨脹的發(fā)現完全改觀了有關其起源的討論。如果你把星系現在的運動往時間的過去方向回溯，它們在一百億和二百億年前之間的某一時刻似乎應該重疊在一起，在這個稱為大爆炸奇點的時刻，宇宙的密度和時空的曲率應為無窮大。所有的已知的科學定律在這種條件下都失效了。這對科學是一樁災難。科學所能告訴我們的一切是：宇宙現狀之所以如此是因為它是過去是處于那

16、種形態(tài)。但是科學不能解釋為何它在大爆炸后的那一瞬間是那個樣子的。”,霍金似乎忘記了物理理論應有的邏輯起點。,對于經驗科學來說，邏輯起點是以實證為基礎的假設，而假設本身又必須接受實證的證實或證偽。廣義相對論是以場的觀點建立的引力理論，這個邏輯起點并不包含“宇宙是如何開始的”問題。 當我們試圖用物理學的理論去解釋無法解釋的宇宙學問題時，錯誤并不在理論本身而是錯在理論所面對的并不是自身所包含的、必須要回答的問題。,3. 數學體系確定性的喪失也不能否定數學命題的真理性。,數學研究雖然源自自然界，但并非建立在直接的經驗之上；數學是人類思維的創(chuàng)造物，具有文化的屬性。 盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分

17、均可回避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數理邏輯學家的事業(yè)。 混沌學、復雜性科學中所揭示出的一些不可計算、不可預測現象，只是自然界中的表象，不可計算，不可預算，只是在認識論意義上反映了人的認知的一種缺陷，這絲毫不影響真實世界本身的可“計算”。,數學體系確定性的喪失其實也不是數學這一種文化所獨有。,科學知識只是人們用心智與理性對自然界的描繪。例如，相對論中的質點不能超光速運動，只是在相對論的假設之下的結果，它與真實世界中的物質是否可以超光速運動并不相干，或者說，它并不能排斥真實世界中（可能存在的）物質的超光速運動。,數學體系確定性的喪失并非什么災難,當原有體系確定性喪失時，我們可以追求在更

18、高層次上建立新的確定性，或者說，確定性的新意義。就像無理數的發(fā)現并沒有使數學大廈倒塌，相反，我們建立起了實數體系，等等。 不斷追求確定性是人類不斷追求理想的理性精神的反應。不斷追求的歷史，就是人類不懈追求知識的絕對確定性而逐步認識到知識的不確定性的歷史，也成了人類文化與文明史的重要組成部分。,微積分既是發(fā)明又是發(fā)現,我們強調數學對象客觀實在性的同時又承認了思維的主觀能動性，辯證地揭示了數學的內涵。從這個意義上，微積分既是發(fā)明又是發(fā)現。“發(fā)明”強調了人的主觀能動性，而“發(fā)現”則強調了微積分的實在性。,4. 關于對哥德爾不完全性定理的研究、探討與誤解,按照維基百科的說法，哥德爾不完全性定理是在數學

19、界以外最著名的數學定理之一，也是誤解最多的定理之一。 這恐怕也是一種文化現象。經典的數學難以見到。 我的發(fā)言也許漏洞百出。我也只是說出平時思考的體會，希望得到專家的指教。,5.哥德爾不完備性定理的文化啟示,有這樣一個傳說 。 哥德爾這個定理很快就成為對20世紀思想的一個奠基性貢獻。 哥德爾定理就好比弗洛伊德的心理學，愛因斯坦的相對論，玻爾的互補性原理，海森堡的測不準原理，凱恩斯的經濟學定理等，在遞歸論、證明論和計算機科學的發(fā)展里，占據了中心地位。,不僅如此，哲學家、語言學家和心理學家對之也情有所鐘，他們紛紛要求哥德爾給出該定理在其它領域的類似結果。 哥德爾l961年3月l5日在給友人的信中寫道：一個完全不