數(shù)學(xué)確定性的喪失的再認(rèn)識(shí)

1、數(shù)學(xué)確定性的喪失的再認(rèn)識(shí),2014.8 呼和浩特,張福保（東南大學(xué)）,“確定性的喪失”這一說法來自m克萊因的數(shù)學(xué)： 確定性的喪失。,二是數(shù)學(xué)體系的確定性。,一是數(shù)學(xué)原理的真理性，,所謂數(shù)學(xué)的確定性具有兩個(gè)層面的含義,數(shù)學(xué)體系確定性的喪失意味著我們將建立新體系的確定性或新意義下的確定性，這正是人類不斷追求真理的途徑。,這也正印證了數(shù)學(xué)的文化屬性,數(shù)學(xué)是人類精神的創(chuàng)造物。追求永恒的、絕對(duì)的的結(jié)果，是數(shù)學(xué)不斷發(fā)展的動(dòng)力和方向，但假如終有一天數(shù)學(xué)系統(tǒng)達(dá)到完美，那只能意味著思考的終結(jié)、追求的終結(jié)，意味著數(shù)學(xué)之死。,一、 數(shù)學(xué)原理的真理性的建立,數(shù)學(xué)原理的真理性，即數(shù)學(xué)作為自然界甚至整個(gè)宇宙的構(gòu)成方式，是

2、對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的正確反映。 宇宙或自然界的奧秘是用數(shù)學(xué)語言寫成的，外部物質(zhì)世界遵循著數(shù)學(xué)的原理。 這一含義來自于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。,用哲學(xué)上的術(shù)語講，這是數(shù)學(xué)的本體論的實(shí)在論。,柏拉圖： “上帝終究要將世界幾何化”；,伽利略：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識(shí)不清” 。,牛頓則提供了一整套新的科學(xué)方法，開創(chuàng)了科學(xué)的一個(gè) 新紀(jì)元，并加強(qiáng)和深化了數(shù)學(xué)的作用。 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,進(jìn)入十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)獲得極大發(fā)展，大眾廣泛地相信，數(shù)學(xué)和科學(xué)中的數(shù)學(xué)定理是真理,伯努利家族、歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等許多數(shù)學(xué)家。 數(shù)學(xué)定理不

3、僅被作為真理接受，而且為探索大自然提供了更加強(qiáng)有力的工具。 數(shù)學(xué)研究的目的在于獲得更多的自然規(guī)律，更深刻地了解自然的設(shè)計(jì)。,兩件非常具有數(shù)學(xué)意義的事情,其一是對(duì)哈雷彗星回歸的預(yù)言證明了數(shù)學(xué)工作在天文學(xué)上的精確性； 其二就是最為人們所津津樂道的海王星的發(fā)現(xiàn)。,天文學(xué)中另一輝煌的成就應(yīng)歸功于拉格朗日和拉普拉斯的工作。,人們觀測(cè)到月球和行星的運(yùn)動(dòng)不很規(guī)則，這可能意味著它們將越來越遠(yuǎn)離太陽或是移向太陽。 拉格朗日和拉普拉斯證明了，人們所觀測(cè)到的木星和土星速度的不規(guī)則是周期性變化的，因而其運(yùn)動(dòng)基本上是穩(wěn)定的。,十九世紀(jì)，數(shù)學(xué)界一片繁榮景象：,拉格朗日，拉普拉斯，傅里葉，高斯 ，柯西 他們的工作似乎成了不

4、容反駁的明證：越來越多關(guān)于自然界的真理正在被揭示。,拉普拉斯還有一段更著名的論述：,我們可以把目前的宇宙狀態(tài)看作是宇宙過去的結(jié)果和將來的原因。如果一個(gè)有理性的人在任何時(shí)刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切資料，那么他就能用一個(gè)方程式表達(dá)宇宙中最龐大的物體和最輕微的原子的運(yùn)動(dòng)。 對(duì)他來說，一切都是完全確定的，過去與未來都將呈現(xiàn)在他眼前。,m.克萊因這樣說： 他們加速尋找自然界的定律，他們似乎被這樣一種信念所驅(qū)使：他們就是神派來解釋上帝意圖的。,綜合起來可以這樣說：,數(shù)學(xué)在各樣的人類文明中擁有了最大的權(quán)威和最高的話語權(quán)，具有最大意義的確定性，可以說成為了絕對(duì)真理。

5、然而也許是物極必反，就在這樣一個(gè)時(shí)刻，非歐幾何、四元數(shù)的出現(xiàn)，瓦解了數(shù)學(xué)原理的真理性的信條。,二、數(shù)學(xué)原理真理性的喪失,19世紀(jì)以前, 所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確的理想化。 哲學(xué)家康德關(guān)于數(shù)學(xué)是先天綜合判斷的論述更使世人相信物質(zhì)世界是歐氏幾何的, 歐氏幾何是唯一的與必然的。 但非歐幾何的誕生使數(shù)學(xué)家們開始意識(shí)到歐氏幾何并非物質(zhì)空間的唯一幾何，歐氏幾何只是各種可能的幾何理論中的一種, 從而也就不具有什么絕對(duì)真理性。,統(tǒng)治人類長達(dá)兩千年之久的數(shù)學(xué)實(shí)在論思想被動(dòng)搖了,第一個(gè)看到非歐幾何具有變革性意義的是數(shù)學(xué)家高斯, 高斯不僅承認(rèn)非歐幾何的適用性, 而且認(rèn)識(shí)到歐氏幾何

6、并無必然的真理性, 重新考慮數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題。 非歐幾何的創(chuàng)立使人們意識(shí)到，數(shù)學(xué)是一種人為的創(chuàng)造物 。,三、 數(shù)學(xué)體系確定性的建立,數(shù)學(xué)與邏輯結(jié)合,或者說數(shù)理邏輯發(fā)展的一個(gè)重要起點(diǎn) ,就是數(shù)學(xué)求助于邏輯來證明自己的一致性。 數(shù)學(xué)體系的確定性，即數(shù)學(xué)是否是在牢靠的根基之上發(fā)展出的合乎邏輯的體系，也就是所謂的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（確定性）問題。 與數(shù)學(xué)的真理性不同，數(shù)學(xué)的確定性是個(gè)內(nèi)在性的概念，著眼于數(shù)學(xué)這一領(lǐng)域本身的邏輯基礎(chǔ)和合理性發(fā)展。,數(shù)學(xué)是理性精神的化身,數(shù)學(xué)與外部世界相符的思路正轉(zhuǎn)向?qū)?shù)學(xué)本身的考量。 古希臘人就是在系統(tǒng)探究幾何學(xué)的征途上完成了巨著幾何原本，并且它的誕生使得人們不但對(duì)數(shù)學(xué)公理和定理確信

7、不疑, 而且對(duì)演繹法十分信賴。 然而正是按照歐氏幾何的思想方法導(dǎo)出了非歐幾何學(xué)。 對(duì)數(shù)學(xué)真理性的懷疑迫使人們開始重新審視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，試圖建立確定的數(shù)學(xué)體系。,三次數(shù)學(xué)危機(jī)的歷史，也是數(shù)學(xué)體系確定性的歷史。,從微積分基礎(chǔ)開始，柯西揭開了分析嚴(yán)格化的序幕 ； 而分析的基本原理的嚴(yán)格化得以完成主要?dú)w功于維爾斯特拉斯：他第一個(gè)在有理數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義。 戴德金在給學(xué)生講授微積分時(shí)才認(rèn)識(shí)到清楚的無理數(shù)理論的迫切性。 再經(jīng)過康托、皮亞諾等人的努力，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)被建立起來。,正是建立實(shí)數(shù)體系的努力導(dǎo)致了集合論-現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志-的誕生。,關(guān)鍵的無窮集合被其引入數(shù)學(xué)之中，迫使康托爾放

8、棄了“整體大于部分”的傳統(tǒng)觀念，提出并且發(fā)展了超限數(shù)理論。 集合論給數(shù)學(xué)開辟了廣闊的新領(lǐng)域，正是由于集合論在數(shù)學(xué)界占據(jù)了統(tǒng)治地位之后，我們才可以說現(xiàn)代數(shù)學(xué)才真正得以形成。 數(shù)學(xué)家們利用集合論的語言重新描述或解決了代數(shù)、幾何分析中長期存在的問題。同時(shí)集合論的發(fā)展也引出了實(shí)變函數(shù)倫、抽象代數(shù)、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)等許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支。,集合論在19世紀(jì)末20世紀(jì)初數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究熱潮中扮演了關(guān)鍵性的角色。,在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界看來，整個(gè)數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性被建立在集合論的基礎(chǔ)之上了。 龐加萊就說：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，今天，我們可以說絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了”。 然而，羅素悖論的出現(xiàn)，使得剛剛建立的“數(shù)學(xué)大

9、廈”變得岌岌可危。,羅素悖論表達(dá)的意思如此簡單，但是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界卻無人可以反駁它,這正象當(dāng)時(shí)無人能反駁貝克萊主教對(duì)微積分的批評(píng)。 羅素悖論涉及到的恰恰是集合論中最基本的方面，嚴(yán)重動(dòng)搖了集合論的基礎(chǔ)，進(jìn)而導(dǎo)致整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)的動(dòng)搖，并由此引發(fā)人們對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)有效性的懷疑，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)也由此誕生。,尋求新的數(shù)學(xué)體系的確定性從一開始就注定了不確定性,數(shù)學(xué)家們選擇了不同的途徑來建立數(shù)學(xué)的基礎(chǔ), 形成了三個(gè)彼此獨(dú)立的、截然不同的學(xué)派： 以羅素和弗雷格為代表的邏輯主義學(xué)派； 以布勞維爾為代表的直覺主義學(xué)派 ； 以希爾伯特為代表的形式主義學(xué)派 。 這三大學(xué)派爭(zhēng)論不休, 使得數(shù)學(xué)變得更加不確定!,四、

10、 數(shù)學(xué)確定性的喪失,哥德爾驚世駭俗的不完備性定理則是對(duì)數(shù)學(xué)確定性的致命一擊。 來自邏輯主義者、形式主義者都依賴于公理化的基礎(chǔ)。 在1930年以前, 這種基礎(chǔ)被認(rèn)為是建立數(shù)學(xué)的可以選用的基礎(chǔ)。 不完備性定理表明沒有一個(gè)公理體系可以包含屬于任何一種結(jié)構(gòu)的所有真理。,哥德爾不完備性定理,形式系統(tǒng)的完備性是指系統(tǒng)的有效公式都是該系統(tǒng)的定理，即該系統(tǒng)的所有有效公式在該系統(tǒng)中都可證，否則就是不完備的。 1929年，邏輯學(xué)家哥德爾(kurt gdel)證明了一階邏輯系統(tǒng)的完備性，即哥德爾完備性定理。 然而，1930年他又證明了算術(shù)系統(tǒng)pa的不完備性：如果pa是相容的，則必定存在閉公式g及其否定g在此系統(tǒng)中均

11、不可證，即如果pa是相容的，則必定存在閉公式g和g在pa中可表達(dá)，但卻不能證明它們是pa定理。,不完備性定理也是對(duì)邏輯學(xué)中的排中律的否定, 這就意味著被一直使用了兩千年的邏輯原理和歐氏幾何一樣, 都不再具有絕對(duì)的確定性。 哥德爾的證明對(duì)希爾伯特原來的計(jì)劃是一個(gè)巨大的打擊，因此把整個(gè)數(shù)學(xué)形式化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的。,從直觀算術(shù)到算術(shù)形式系統(tǒng)和元數(shù)學(xué) ,是數(shù)學(xué)在邏輯的洗禮下經(jīng)歷的一次脫胎換骨。 哥德爾的成果使算術(shù)讀懂了自己 : 我想我是一致的 , 但可惜我不可能(不是尚未能 ,而是不可能) 證明這一點(diǎn); 我希望我能證明所有的算術(shù)真理 , 但可惜我不可能

12、(不是尚未能 , 而是不可能) 做到這一點(diǎn)。,五、對(duì)數(shù)學(xué)確定性喪失的再認(rèn)識(shí),哥德爾發(fā)現(xiàn)不完備性定理已經(jīng)80年，克萊因提出數(shù)學(xué)確定性喪失已經(jīng)60年，但是，數(shù)學(xué)依然是最確定并受到普遍尊重和景仰的學(xué)科。 馬克思的觀點(diǎn)“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)才算達(dá)到了真正完善的地步”依然有效； 上個(gè)世紀(jì)70年代，美國總統(tǒng)的科學(xué)顧問的主席大衛(wèi)的斷言“高科技本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)”日益被人們接受。 數(shù)學(xué)的確定性到底喪失了沒有？,幾點(diǎn)體會(huì)和認(rèn)識(shí),1. 所謂數(shù)學(xué)原理的真理性的喪失其實(shí)只是否定了數(shù)學(xué)真理是絕對(duì)真理。 說到數(shù)學(xué)原理的真理性必然涉及對(duì)真理的認(rèn)識(shí)，因此與哲學(xué)、文化密切關(guān)聯(lián)。 非歐氏幾何的出現(xiàn)不能否定歐氏幾何，它們都

13、是在各自的領(lǐng)域是真理，也即是相對(duì)真理。 多種幾何學(xué)可以同時(shí)并存，就像哲學(xué)、社會(huì)學(xué)等具有同流派和觀點(diǎn)一樣自然。 理論的局限性也恰恰是理論的合理性的表現(xiàn)。,2.物理學(xué)中的不確定性,“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個(gè)人的創(chuàng)造被另一個(gè)人所破壞。惟獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的數(shù)學(xué)大廈上添加一層樓?！?的確，理論物理系統(tǒng)作為一個(gè)“形式系統(tǒng)”，終極形式最終會(huì)導(dǎo)致“完備性”與“無矛盾性”之間的不相容。,牛頓力學(xué)得以成立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是歐幾里德幾何理論，廣義相對(duì)論得以成立的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)則是黎曼幾何的理論。 以牛頓的萬有引力定律為基礎(chǔ)的經(jīng)典天體力學(xué)，成功地解決了太陽系內(nèi)的宇宙學(xué)問題；以廣義相對(duì)論為基礎(chǔ)的

14、現(xiàn)代宇宙學(xué)，則較為成功地解決了太陽系以外更為廣闊的宇宙的許多問題。,理論的發(fā)展只能是漸進(jìn)的、分層次的,這就是為什么愛因斯坦可以超越牛頓卻無法取 代牛頓的原因；我們無法依據(jù)廣義相對(duì)論否定牛頓的萬有引力，還因?yàn)榕ｎD萬有引力的局限性正是它在歐幾里德空間具有合理性的前提條件 。 例如對(duì)于人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)來說，用廣義相對(duì)論去解決的話，最后還得回歸為經(jīng)典天體力學(xué)的問題，它本身并不是適合解決這個(gè)問題的理論。 當(dāng)我們所面對(duì)的是“接近光速度”的問題時(shí)，牛頓萬有引力定律就會(huì)失效，這恰恰說明：理論的有效性和理論的適用范圍是一致的。,廣義相對(duì)論所導(dǎo)出的“宇宙模型”并不是哲學(xué)意義上的宇宙，而是物質(zhì)在黎曼幾何空間所遵循

15、的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的表現(xiàn)。相對(duì)于哲學(xué)意義上無限的宇宙而言，以黎曼幾何為基礎(chǔ)的廣義相對(duì)論的宇宙也是很小的一部分，而黎曼幾何以外的更為廣闊的宇宙空間的問題則是廣義相對(duì)論無法解決的。,霍金說：“廣義相對(duì)論導(dǎo)致了自身的失效：它預(yù)言它不能預(yù)言宇宙”,霍金說：“1929年埃德溫.哈勃的宇宙膨脹的發(fā)現(xiàn)完全改觀了有關(guān)其起源的討論。如果你把星系現(xiàn)在的運(yùn)動(dòng)往時(shí)間的過去方向回溯，它們?cè)谝话賰|和二百億年前之間的某一時(shí)刻似乎應(yīng)該重疊在一起，在這個(gè)稱為大爆炸奇點(diǎn)的時(shí)刻，宇宙的密度和時(shí)空的曲率應(yīng)為無窮大。所有的已知的科學(xué)定律在這種條件下都失效了。這對(duì)科學(xué)是一樁災(zāi)難?？茖W(xué)所能告訴我們的一切是：宇宙現(xiàn)狀之所以如此是因?yàn)樗沁^去是處于那

16、種形態(tài)。但是科學(xué)不能解釋為何它在大爆炸后的那一瞬間是那個(gè)樣子的?！?霍金似乎忘記了物理理論應(yīng)有的邏輯起點(diǎn)。,對(duì)于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)來說，邏輯起點(diǎn)是以實(shí)證為基礎(chǔ)的假設(shè)，而假設(shè)本身又必須接受實(shí)證的證實(shí)或證偽。廣義相對(duì)論是以場(chǎng)的觀點(diǎn)建立的引力理論，這個(gè)邏輯起點(diǎn)并不包含“宇宙是如何開始的”問題。 當(dāng)我們?cè)噲D用物理學(xué)的理論去解釋無法解釋的宇宙學(xué)問題時(shí)，錯(cuò)誤并不在理論本身而是錯(cuò)在理論所面對(duì)的并不是自身所包含的、必須要回答的問題。,3. 數(shù)學(xué)體系確定性的喪失也不能否定數(shù)學(xué)命題的真理性。,數(shù)學(xué)研究雖然源自自然界，但并非建立在直接的經(jīng)驗(yàn)之上；數(shù)學(xué)是人類思維的創(chuàng)造物，具有文化的屬性。 盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分

17、均可回避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數(shù)理邏輯學(xué)家的事業(yè)。 混沌學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)中所揭示出的一些不可計(jì)算、不可預(yù)測(cè)現(xiàn)象，只是自然界中的表象，不可計(jì)算，不可預(yù)算，只是在認(rèn)識(shí)論意義上反映了人的認(rèn)知的一種缺陷，這絲毫不影響真實(shí)世界本身的可“計(jì)算”。,數(shù)學(xué)體系確定性的喪失其實(shí)也不是數(shù)學(xué)這一種文化所獨(dú)有。,科學(xué)知識(shí)只是人們用心智與理性對(duì)自然界的描繪。例如，相對(duì)論中的質(zhì)點(diǎn)不能超光速運(yùn)動(dòng)，只是在相對(duì)論的假設(shè)之下的結(jié)果，它與真實(shí)世界中的物質(zhì)是否可以超光速運(yùn)動(dòng)并不相干，或者說，它并不能排斥真實(shí)世界中（可能存在的）物質(zhì)的超光速運(yùn)動(dòng)。,數(shù)學(xué)體系確定性的喪失并非什么災(zāi)難,當(dāng)原有體系確定性喪失時(shí)，我們可以追求在更

18、高層次上建立新的確定性，或者說，確定性的新意義。就像無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)并沒有使數(shù)學(xué)大廈倒塌，相反，我們建立起了實(shí)數(shù)體系，等等。 不斷追求確定性是人類不斷追求理想的理性精神的反應(yīng)。不斷追求的歷史，就是人類不懈追求知識(shí)的絕對(duì)確定性而逐步認(rèn)識(shí)到知識(shí)的不確定性的歷史，也成了人類文化與文明史的重要組成部分。,微積分既是發(fā)明又是發(fā)現(xiàn),我們強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對(duì)象客觀實(shí)在性的同時(shí)又承認(rèn)了思維的主觀能動(dòng)性，辯證地揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)涵。從這個(gè)意義上，微積分既是發(fā)明又是發(fā)現(xiàn)?！鞍l(fā)明”強(qiáng)調(diào)了人的主觀能動(dòng)性，而“發(fā)現(xiàn)”則強(qiáng)調(diào)了微積分的實(shí)在性。,4. 關(guān)于對(duì)哥德爾不完全性定理的研究、探討與誤解,按照維基百科的說法，哥德爾不完全性定理是在數(shù)學(xué)

19、界以外最著名的數(shù)學(xué)定理之一，也是誤解最多的定理之一。 這恐怕也是一種文化現(xiàn)象。經(jīng)典的數(shù)學(xué)難以見到。 我的發(fā)言也許漏洞百出。我也只是說出平時(shí)思考的體會(huì)，希望得到專家的指教。,5.哥德爾不完備性定理的文化啟示,有這樣一個(gè)傳說 。 哥德爾這個(gè)定理很快就成為對(duì)20世紀(jì)思想的一個(gè)奠基性貢獻(xiàn)。 哥德爾定理就好比弗洛伊德的心理學(xué)，愛因斯坦的相對(duì)論，玻爾的互補(bǔ)性原理，海森堡的測(cè)不準(zhǔn)原理，凱恩斯的經(jīng)濟(jì)學(xué)定理等，在遞歸論、證明論和計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展里，占據(jù)了中心地位。,不僅如此，哲學(xué)家、語言學(xué)家和心理學(xué)家對(duì)之也情有所鐘，他們紛紛要求哥德爾給出該定理在其它領(lǐng)域的類似結(jié)果。 哥德爾l961年3月l5日在給友人的信中寫道：一個(gè)完全不