正投影原理教學(xué)課件

1、第 二 章 正 投 影 原 理,目 錄,投 影 的 基 本 知 識,第 一 節(jié),一、投影概念,投影就如我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊粋€現(xiàn)象:利用光線將物體的影子投射到墻壁上。,這時把光源當(dāng)成人的眼睛（投影中心）,把球當(dāng)成被投影的物體（形體）;把光線當(dāng)成視線（投影線）;把平的墻壁當(dāng)成投影面;最后墻壁上的影子就是球的投影。,投影中心,形體,投影線,投影面,投影,v,投影線,物體,投影,投影中心,投影面,c,b,e,f,d,g,h,a,b,g,e,c,d,f,h,a,投影的形成,投影方法,中心投影法,平行投影法,斜投影法,正投影法,畫工程圖樣及正軸測圖,二、 投影的分類,物體,p,投射線,投影,投影中心,投

2、影大小隨物體位置變,投影線從投射中心射出的投影方法。,1.中心投影法,h,h,投影線相互平行的投影方法。,正投影,斜投影,2.平行投影法,三、正投影圖的形成及特性,三面投影體系的形成,h,v,w,y,z,把物體放在三投影面體系中，位于觀察者和投影面之間， 使物體的三個主要表面分別平行于三個投影面，并且分別 向三個投影面進行正投影,即物體的三視圖.,從上向下得到正投影圖叫水平投影圖,從前向后得到正投影圖叫正立面投影圖,從左向右得到的正投影圖叫側(cè)立面投影圖,三面正投影圖,三面正投影圖的展開,v,h,w,v面投影圖,h面投影圖,w面投影圖,h面投影和v面投影長對正； w面投影和v面投影高平齊； h面

3、投影和w面投影寬相等。,（1）度量性 若線段和平面圖形平行于投影面,則其投影反映實長或?qū)嵭巍?2正投影的基本特性,（2）積聚性 若線段和平面的圖形垂直于投影面 其投影積聚為一點或一直線段。,new,3.類似性 當(dāng)線段或平面不平行于投影面時，其投影則在該投影面的,投影不反映線段的實長或平面的實形，但仍然是線段或類似形。,c,b,a,a,c,b,e,f,f,e,4.定比性 點分線段為一定比例，則點的投,p,影分線段的投影為相同的比例.,5.平行性,a,c,b,d,d,a,c,b,兩平行直線的投影仍相互平行.,p,三面正投影圖,軸測投影圖,四、工程中常用的投影圖,1. 多面正投影圖,2軸測投影圖,3

4、鏡像投影,鏡像示意圖,點 的 投 影,第 二 節(jié),一、點的三面投影,二、點 的 三 面 投 影 規(guī) 律 ：,(1)點的正面投影和水平 投影的連線垂直于ox軸； (2)點的正面投影和側(cè)面 投影的連線垂直于oz軸； (3)點的水平投影到ox軸 的距離等于點的側(cè)面投 影到oz軸的距離。,ayh,例2-1 已知點a的正面投影 和側(cè)面投影， 求作該點的水平投影。,三、點的直角坐標(biāo)表示法,點到w 面的距離等于點的x 坐標(biāo)； 點到v 面的距離等于點的y 坐標(biāo)； 點到h 面的距離等于點的z 坐標(biāo)。 點的水平投影由（x ，y ）確定； 點的正面投影由（x , z ）確定； 點的側(cè)面投影由（y , z ）確定。,

5、例2-2 已知a點的坐標(biāo)（25、15、12）；b點的坐標(biāo)（35、8、0）；c點的坐標(biāo)（18、0、0），作出各點的三面投影圖。,b,b/,o,c/,c,c/,1、投影面上的點-當(dāng)點的三個坐標(biāo)中有一個坐標(biāo)為零時，則該點在某一投影面上。,2、投影軸上的點-當(dāng)點的三個坐標(biāo)中有兩個坐標(biāo)為零時，則該點在某一投影軸上。,四、兩點的相對位置及可見性判斷,1. 兩點的相對位置,2. 重影點及可見性判斷,三、兩點的相對位置,空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準(zhǔn)，來判斷另一個點在該點的前或后、左或右、上或下。 空間兩點的相對位置用坐標(biāo)來表示：x坐標(biāo)大者在左，小者在右；y坐標(biāo)大者在前，小者在后；z坐標(biāo)大者在上，小

6、者在下。如果已知兩點的相對位置 ，以及其中一點的投影，也可以作出另一點的投影。,點的相對位置,兩點中x 值大的點 在左 兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上,點的可見性判斷,h面的重影點,w面的重影點,v面的重影點,重影：當(dāng)兩個點處于某一投影面的同一條投射線上，則兩個點在這個投影面上的投影便互相重合。,直觀圖,投影圖,點的可見性判別,點、點、點、點的投影圖,b (d),c,new,例題2 已知a點在b點之右8毫米，之前5毫米，之上9毫米，求a點的投影。,第 三 節(jié) 直 線 的 投 影,一 、直線投影圖的作法,1、直線的投影一般仍為直線，特殊情況為一點。 2、直線的投影由直線上兩點

7、的投影來確定。,直線投影的分類,1投影面平行線 正平線 水平線 側(cè)平線,二、特殊位置直線的投影特性,o,x,yw,yh,z,a,b,b,a,投影特性：1、 ab ox ; a b oz 2、 a b=ab 3、反映 、 角的真實大小,正平線（平行v面，同時傾斜于h、w面的直線）,水平線 （平行h面，同時傾斜于v、w面的直線）,z,x,yh,yw,o,投影特性： ab ox ; a b oyw a b=ab 反映 、 角的真實大小,側(cè)平線（平行w面，同時傾斜于h、v面的直線）,投影特性 ab oz ; a b oyh ab =ab； 反映 、 角的真實大小,投影面平行線的投影特性,投影面平行線的

8、投影特性可概括如下： （1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長，且傾斜于投影軸，該投影與相應(yīng)投影軸之間的夾角，反映直線與另兩個投影面的傾角。 （2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直于同一投影軸，而另一投影處于傾斜狀態(tài)，則該直線必平行于傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實形。,如圖所示：直線與投影面之間的夾角，稱為直線的傾角。直線對h面、v面、w面的傾角分別用希臘字母、標(biāo)記。,練習(xí)二：,答案：,2投影面垂直線 鉛垂線 正垂線 側(cè)垂線,正垂線（垂直于v面，同時平行于h、w面的直線）,投影特性: ab積

9、聚 成一點； ab ox ; ab oz ; ab = ab =ab,鉛垂線（垂直于h面，同時平行于v、w面的直線）,投影特性:a b 積聚 成一點; a box ; a b oy a b = a b = ab,側(cè)垂線（垂直于w面，同時平行于h、v面的直線）,投影特性： a b 積聚 成一點 ab oy ; a b oz ab = ab =ab,投影面垂直線的投影特性,投影面垂直線的投影特性可概括如下： （1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點； （2）直線的另外兩個投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實長。 事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行于同一投影軸，則另一投影必積聚為一點；只

10、要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點，則該直線必垂直于積聚投影所在的投影面。,練習(xí)一：,求下列各直線的第三面投影，并判斷各直線與投影 面的相對位置。,【例】已知直線ab的水平投影ab,ab對h面的傾角為30,端點a距水平面的距離為10,a點在b點的左下方,求ab的正面投影ab,如圖3-8a所示。,圖3-8作正平線的v投影,1. 投影特性 a b、 ab、a b均小于真長 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 不反映 、 、 實角,三、一般位置直線:對三個投影面都傾斜（既不平行又不垂直）的直線。,2. 一般位置直線的真長和傾角的求法（自學(xué)）,以線段的某一投影為一直角邊； 以線段的兩端點相對于

11、該投影面的坐標(biāo)差為另一 直角邊(該坐標(biāo)差可在線段的另一投影上量取)； 所作直角三角形的斜邊即為線段的真長； 斜邊與線段投影的夾角即是線段對投影面的傾角。,求直線的真長及對水平投影面的夾角角,zb-za,求直線的真長及對正面投影面的夾角 角,ya-yb,ya-yb,ya-yb,求直線的真長及對側(cè)投影面的夾角 角,四、直線上的點,直線上的點具有兩個特性： 1.從屬性：若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2.定比性：屬于線段上的點,分割線段之比等于其投影之比。,例2-3 試判斷k點是否在側(cè)平線mn上？,k點不在mn上,例2-4

12、 已知直線ab求作ab上的c點，使ac：cb=3：2,兩 直 線 相 對 位 置,第 四 節(jié),直線的相對位置,空間兩直線的相對位置分為： 平行 相交 交叉 垂直,交叉直線也稱為異面直線，即兩直線既不平行，又不相交。若兩直線共面（位于同一平面上），則必定是平行線或相交線。,一、平行兩直線,o,兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 平行兩線段之比等于其投影之比。,a,b,c,d,c,a,b,d,例1：判斷圖中兩條直線是否平行。,對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。,ab/cd,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，

13、空間直線不一定平行。,求出側(cè)面投影后可知：,ab與cd不平行。,例2：判斷圖中兩條直線是否平行。,求出側(cè)面投影,例3；已知平行四邊形 abcd 的兩邊 ab 和 ac 的投影，試完成平行四邊形abcd的投影。,二、兩直線相交：若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合點的投影規(guī)律。,o,同面投影的交點，就是兩直線的交點的投影,兩直線相交,對于一般位置直線，根據(jù)任意兩組同面投影即可判斷。 但是，當(dāng)兩直線之一為投影面平行線時，則要看該直線在所平行的那個投影面上的投影情況。,判斷兩直線ab 與 cd是否相交,由于直線 ab 是側(cè)平線，必須作出 ab 和 cd 直線在 w 面上的投影。

14、w 面投影的點不符合點的投影規(guī)律，故 ab 與 cd 兩直線不相交。,兩直線交叉,空間兩直線若既不平行又不相交時，則稱為交叉線(又稱異面直線)。 交叉兩直線的同面投影也可能相交，但各個投影的交點不符合點的投影規(guī)律。,三、交叉兩直線,交叉兩直線可能有一個或兩個投影平行，但不會有三個同名投影平行。,兩 交 叉 直 線,正面投影重影點,水平投影重影點,四、垂直兩直線,空間兩直線成直角（相交或交叉），若直角有一邊平行于某投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。,設(shè) 直角邊bc/h面 因 bcab, 同時bcbb 所以 bcabba平面,直線在h面上的投影互相垂直,即 abc 為直角,因此 bcab,故

15、 bc abba平面,又因 bcbc,證明：,ab垂直于ac,且ab平行于h面,則有ab ac,垂直相交的兩直線的投影,垂直交叉的兩直線的投影,ab垂直于mn,且ab平行于h面,則有ab mn,a,b,c,a,b,c,例：過c點作直線與ab垂直相交。,例： 過點e 作線段ab、cd 的公垂線ef。,例2-6 已知矩形abcd的一邊ab為水平線及其兩面投影b和b， 以及另一邊ad的正面投影d，試完成矩形的兩面投影圖.,例2-7 求ab、cd兩直線的公垂線。,(e),一、直線的分類,一般位置直線 投影面平行線（正平線，水平線，側(cè)平線） 投影面垂直線（鉛垂線，正垂線，側(cè)垂線）,直線的投影要點回顧,二

16、、直線的實長及其與投影面的傾角 直角三角形法,三、直線上的點,點的投影在直線的同面投影上從屬性。 點分線段成定比，點的投影必分線段的投影成定比定比性。,四、兩直線的相對位置,平行：同面投影互相平行。 相交： 同面投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。 交叉： 同面投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖稽c”是 兩直線上一對重影點的投影。,五、相互垂直的兩直線的投影特性,兩直線相交（或交叉）成直角，若其中一直線平行于某一投影面，則此直角 在該投影面上的投影仍為直角。,投影面平行線,投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂

17、線（垂直于面）,側(cè)垂線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,統(tǒng)稱特殊位置直線,一般位置直線,一般位置直線,投影特性：,三個投影都縮短。即: 都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角,投影面平行線, 在其平行的那個投影面上的投影反映實長， 并反映直線與另兩投影面傾角的實際大小。, 另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影 軸。,水平線,側(cè)平線,正平線,投 影 特 性：,與h面的夾角: 與v面的角: 與w面的夾角: ,實長,實長,實長,反映線段實長。且垂直 于相應(yīng)的投影軸。,投影面垂直線,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線, 另外兩個投影，, 在其垂直的投影面上，,投影有積聚性。,投影特性:,第 五 節(jié) 平 面 的

18、投 影,一、平面的表示法,1.用幾何元素表示平面有五種形式,2. 用跡線表示平面,px,pv,ph,ph,pv,pw,pz,py,px,x,o,pw,pz,pyh,pyw,yh,z,yw,平面的跡線：空間平面與投影面的交線。,二、平面的投影特性,平面對投影面的相對位置有三種：,實形性,類似性,積聚性, 平面在三投影面體系中的投影特性,平面對于三投影面的位置可分為三類：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面,平行于某一投影面， 垂直于另兩個投影面,與三個投影面都傾斜,1、投影面平行面,積聚性,積聚性,實形性,水平面,投影特性：,在它所平行的投影面上的投影

19、反映實形。,另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。,正平面,投影特性： h面、w面積聚為一條線 v面投影反映實形,z,x,yh,yw,o,水平面,投影特性： v面、w面積聚為一條線 h面投影反映實形,x,yw,yh,z,o,側(cè)平面,投影特性： v面、h面積聚為一條線 w面投影反映實形,z,x,yh,yw,o,a,b,c,a,c,b,c,b,a,2、投影面垂直面,類似性,類似性,積聚性,鉛垂面,投影特性：,在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,正垂面,投影特性： abc 積聚為

20、一條線, abc、abc 是 abc的類似形， 正面投影與正面跡線重合 abc與ox、 oz的夾角反映、 角的真實大小,o,z,x,yh,yw,鉛垂面,投影特性： abc積聚為一條線，abc、 abc為abc的類似形 水平投影與水平跡線重合 abc與ox、 oy的夾角反映、角的真實大小,o,z,x,yh,yw,側(cè)垂面,投影特性： abc積聚為一條線， abc、 abc為 abc的類似形 側(cè)面投影與側(cè)面跡線重合 abc與oz、 oy的夾角反映、角的真實大小,o,z,x,yh,yw,3. 一般位置平面,a,b,c,b,a,c,a,b,c,a,b,z,x,o,yw,yh,投影特性 abc 、 abc

21、 、 abc 均為 abc的類似形 不反映、 的真實角度,三、平面上的直線和點, 平面上取任意直線,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例1：已知平面由直線ab、ac所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。,解法一,解法二,根據(jù)定理二,根據(jù)定理一,有無數(shù)解。,例2：在平面abc內(nèi)作一條水平線，使其到 h面的距 離為10mm。,n,m,n,m,唯一解！, 平面上的點,先找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。,例1：已知k點在平面abc上，求k點的水平投影。,面上取點的方法：,首先面上取線,利用平面的積聚性求解,通過在面內(nèi)作輔助線求解,k,b,例2：已知ac為正平線，

22、補全平行四邊形 abcd的水平投影。,解法一,解法二,例2-8 如圖所示abc為水平面，已知它的h面投影bc和頂點a的v面投影，求作abc的v面投影和w面投影，并求作abc的外接圓圓心d的三面投影。,a,c,a,b,a,c,d,d,b,d,c,b,三、屬于平面的點和直線,1特殊位置平面上的點、直線：在該平面有積聚性的投影所在的投影面上投影，必定積聚在該平面有積聚性的投影上。,o,x,點在平面上的幾何條件：平面上的點，必在該平面的直線上。,2一般位置平面上的點、直線,a,b,c,x,o,直線在平面上的條件：平面上的直線必通過平面上的兩點或通過平面上的一點，且平行于平面上的另一直線。,2一般位置平

23、面上的直線,例2-9 已知平行四邊形abcd和k點的兩面投影，平行四邊形 abcd上的直線mn的h面投影mn，試檢驗k點是否在平行四邊形abcd平面上，并作出直線mn的v面投影mn。,a,d,c,b,c,a,s,k,m,n,b,f,e,s,f,m,n,d,e,k,o,x,n,m,n,m,唯一解！,o,x,例2-10 已知abc，在abc上求作一條距v面為12mm正平線。,3. 平面上的投影面平行線,4最大斜度線（自學(xué)）,平面對投影面的最大斜度線必定垂直于平面上對該投影面的平行線； 最大斜度線對投影面的角度最大。 最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度,例2-11 已知abc，求作ab

24、c與h面的傾角,a,b,c,a,c,b,d,d,e,e,zb-ze,zb-ze,o,x,直線與平面的相對位置 平面與平面的相對位置,第六節(jié),直線與平面及兩平面的相對位置,相對位置包括平行、相交和垂直。,一、平行問題,直線與平面平行,平面與平面平行, 直線與平面平行,直線與平面平行,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一 條直線平行，則該直線與該平面平 行。這是解決直線與平面平行作圖 問題的依據(jù)。,解決問題：判別已知線面是否平行；作直線與 已知平面平行；包含已知直線作平 面與另一已知直線平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,例1：過m點作直線mn平行于平面abc。,有無數(shù)解,例題2、試判斷直

25、線ab是否平行于定平面,結(jié)論：直線ab不平行于定平面,例題3、試過點k作水平線ab平行于cde平面,例4、 過點m作直線mn平行于v面和abc,o,x,a,a,b,c,c,m,n,m,b,n, 若一平面上的相交兩直線對應(yīng)平行于另一平面上的相交兩直線，則這兩平面相互平行。, 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。,2平面與平面平行的幾何條件,例1 過點k作平面平行于已知平面abc,k,k,a,b,c,a,b,c,h,l,h,l,x,o,例題4 試判斷兩平面是否平行。,結(jié)論：兩平面平行,例題2 試判斷兩平面是否平行,結(jié)論：兩平面平行,例題3 已知平面由平行兩直線ab和cd

26、給定。試過點k作一平面平行于已知平面 。,二、相交問題, 直線與平面相交,直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。,要討論的問題：, 求直線與平面的交點。, 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見性。,我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m, 平面為特殊位置,例：求直線mn與平面abc的交點k并判別可見性。,空間及投影分析,平面abc是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為k點的水平投影。, 求交點, 判別可見性,由水平投影可知，kn段在平面前，故正面投影上kn為可見。,還可通過重影點判別可見性。,1(2),作 圖

27、,例2-15 求一般位置直線ef與鉛垂面abc交點，并判斷可見性,k,k,a,b,c,a,b,c,f,f,x,o,1,2,1(2 ),e,e,1一般位置直線相交與特殊位置平面相交,例2-16 求直線ab與水平圓的交點k，并判別可見性,o,x,b,a,b,a,k,k,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c, 直線為特殊位置,空間及投影分析,直線mn為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點k的水平投影也積聚在該點上。, 求交點, 判別可見性,點1位于平面上，在前；點2位于mn上，在后。故k 2為不可見。,1(2),作圖,用面上取點法,k,d(e),b,d,e,c,b,a,a,c,1(2),2

28、特殊位置直線（投影面垂直線）與一般位置平面相交,例2-17 求鉛垂線de與abc的交點k，并判別可見性,投影面垂直線與一般位置平面相交, 兩平面相交,兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時交線上的點都是兩平面的共有點。,要討論的問題：, 求兩平面的交線,方法：, 確定兩平面的兩個共有點。, 確定一個共有點及交線的方向。,只討論兩平面中至少有一個處于特殊位置的情況。, 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。,可通過正面投影直觀地進行判別。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),空間及投影分析,平面abc與def都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個點便可作出交線的投影。, 求交線