空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)。1. 空間向量的 概念 ：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)運(yùn)算律： 加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab )ca(bc )數(shù)乘分配律：(ab)ab運(yùn)算法則 ：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（ 1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線

2、向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。、 （ ），/存在實(shí)數(shù) ，使 。（ 2）共線向量定理 ：空間任意兩個(gè)向量aabb0abb（ 3）三點(diǎn)共線 ： A 、 B、 C 三點(diǎn)共線 ABAC OCxOA yOB(其中 xy1)a（ 4）與 a 共線的單位向量為a4. 共面向量（ 1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的 兩向量都是共面 的。（ 2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b 不共線，p 與向量a,b 共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使 pxayb 。（ 3）四點(diǎn)共面：若A 、 B 、 C、 P 四點(diǎn)共面 APxAByAC OPxOAyOBzOC (

3、其中 xyz1)5. 空間向量基本定理 ：如果三個(gè)向量 a,b ,c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p ，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ，使 p xa yb zc 。若三向量 a,b,c 不共面，我們把 a,b ,c 叫做空間的一個(gè) 基底， a,b,c 叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O, A, B,C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P ，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（ 1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 O xyz 中，對(duì)空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,

4、 y, z) ，使OAxi yi zk ，有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z)叫作向量 A 在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中的坐標(biāo)，記作A( x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)， y 叫縱坐標(biāo)，z 叫豎坐標(biāo)。注： 點(diǎn)A （ x,y,z ）關(guān)于x 軸的 的對(duì)稱點(diǎn)為(x,-y,-z), 關(guān)于 xoy 平面的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,-z).即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y 軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz 中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（ 2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1 ，這個(gè)基底叫單位正交基底 ，用 i, j,k表示?？臻g中任一向量axiy jzk =（ x

5、,y,z ）（ 3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：123) ，b123)，則a b(a112233，若 a (a,a,a(b,b,bb ,ab ,ab )a b (a b ,ab ,ab ) ，a ( a , a , a )(R) ，112233123a ba ba ba b ，112233a/bab , ab , ab (R) ，112233a ba ba b2a b0 。11233若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則AB( xx , yy ,zz )。212121一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。

6、定 比 分 點(diǎn) 公 式 ： 若 A( x , y , z )， B( x, y, z ) ，APPB，則點(diǎn) P 坐標(biāo)為111222x1xyyzz)。推導(dǎo) ：設(shè) P（ x,y,z ）則(xx1,y11(x2x, y2y, z2z),(21212y ,zz ),111x xyyzz1顯然，當(dāng) P 為 AB 中點(diǎn)時(shí)，21212)P(,ABC中，（1222，三角形重心P坐 標(biāo) 為11）222333)Ax, y , z , B(x, y, z ), C(x, y ,zxxxyyyzzz)P,( 123123123322 ABC 的五心 ：ABAC內(nèi)心 P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。AP() （單位向

7、量）ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。PAPBPC垂心 P：高的交點(diǎn)：PAPBPA PCPBPC （移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）1重心 P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）AP( ABAC)3中心：正三角形的所有心的合一。（ 4）模長(zhǎng)公式 ：若 a (a , a ,a ) ， b(b1 ,b 2 ,b3 ) ，123222222則 | a | a aaaa，|b |b bbbb123123（ 5）夾角公式：cos a ba ba ba ba b。112233| |a ba 2a 2a 2b 2b 2b 2123123ABC 中 ABAC0 A 為銳角 ABAC0A 為鈍角，鈍角（ 6）

8、兩點(diǎn)間的距離公式：若A xy z，B(x2 , y 2 , z2 ) ，(,)1112則或222|AB|AB( xx )( yy )( zz ) ，212121222d ,(x2 x1 )(y 2y1 )(z2z1)A B7. 空間向量的數(shù)量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O ，作OAa, OBb ， 則A O B 叫 做 向 量 a 與 b的 夾 角 ， 記 作a,b； 且 規(guī) 定0a,b，顯然有a, bb , a；若,a b，則稱 a 與 b 互相垂直，記作： ab 。（ 22）向量的模：設(shè)OA a ，則有向線段OA 的長(zhǎng)度叫做向量a 的長(zhǎng)度或模，記作：| a | 。（ 3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b ，則 | a | | b | cosa,b叫做 a,b 的數(shù)量積，記作 a b ，即 a b|a| |b| cos a,b。（ 4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e |a | cos a,e。 a ba b 0。 2| a | a a 。（