第83煉特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題

1、第83煉 特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識：1、含變量的恒等式：是指無論變量在己知范困內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪?變最賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)2、二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對變量斌特殊值得到有關(guān)系數(shù)(或二項(xiàng)式系數(shù))的等式3、常用賦值舉例：(1) 設(shè)(a + b)” = cy + Cb + C；an2b2 + + C0W + +C：b”, 令a = b = l,可得：2” = M + C： + +C： 令 c = l,b = -l,可得：0 * - C：+ ( -1)” ,即：c + c： + .+c： = c： + c： + . +c：t (假

2、設(shè)為偶數(shù))，再結(jié)合可得：C + C； + + C： = C： + C： + +弓=2-1(2) 設(shè)f(x) = (2x + l) = a0 + ax + a2x + + anxn 令x = l,則有： + 0 +角+ 4 =(2x1 + 1)” = 了(1)，即展開式系數(shù)和 令x = 0,則有：/ = (2xO + l)” = r(O)，即常數(shù)項(xiàng) 令 X = -1,設(shè) M 為偶數(shù)，則有：/-角+但 一。3+ +A = (-1 X2 + 1)” = /(一1)=(% + /+ %)-(角+ 角 + + %T)=r(T)，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差由即可求出(小 +角+ +%)和0 +角+

3、a”T)的值二、典型例題：例 1：己知(3x -1 )S = a0 + HjX + a2 + + a3x3,則與 + 馬 + 務(wù) + 由的值為思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項(xiàng)時(shí)應(yīng)的X指數(shù)*為奇數(shù)，所以考慮令x = l,x = -l,則僞數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到1 +角+角+。7的值解：令X = 1可得：2 = % +。+令 x = -l 可得：4s = a0 - + a2+ % nJ 得：2 4，= 2 （。 + 向 + 務(wù) + 7）.。+。3 + 角 +。7 = （2s - 4s I答案：|（2S-4S）例 2：己知（x2+1）（x-2）9 = % + aJx-U + GjxT）

4、+ + 知（工一1），則+角+ - +的值為（）A. 0B. 2C 255D. -2思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過對x賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所 求式子特點(diǎn)可令x = 2,得到 + 0+角1=0,只需再求出即可。令x = l可得aQ = -l 9 所以+ +角=2答案：B4例 3：設(shè)（2x + /2 ） = a0 4- axx + a2x + ax3 + a4x4,則（ + 角 + aj-（角 + %的偵為（ ）A. 16B. -16C 1D. -1思路:所求（與 + 印 +。4 ） - （% + 角）=（。0 + % + % + 角 + 口4 ）（_ 角 + 印 _ 角

5、+）， 在恒等式中令X = 1可得： + 0 + a? + q +。4 =（2 +必），令工=一1時(shí)a。 q + -角 += （2 _ 必） 所以（% + % + %）-（0 + 角）-=（2 + 必）（2 - VI） =16答案：A例 4： Vi（2-3x）5 = a + OjX + a2x2 + ac3 + a4xA + a5x5,則|%| +岡+ |角| + |角|+|角| +國等于）A. 55B. -1C 25D. -25思路：雖然（2-3x）3展開式的系數(shù)有正有員，但（2-3xf與（2 + 3x）對應(yīng)系數(shù)的絕對值相 同，且（2 + 3x），均為正數(shù)。所以只需計(jì)舁（2 + 3x）5展開

6、的系數(shù)和即可。令x = l,可得系數(shù)-2 -和為V,所以闖+岡+國+ ”3| + |口4|+岡=5答案：A例 5：若(1一2*廣4 = % + 平+%MX30“，則(% + 角)+(/+ 色)+， + (。0 +。頊4)=思路：所求表達(dá)式可變形為：2013% + (% + / + %14)，從而只需求出和系數(shù)和即可。令X = 0 可得：。0=1,令X = 1 可得： + + +“2014=1，所以2013% + (a。+ 角 + + 仃劉)=2014答案：2014例 6：若C,4 = C2(n g N),且(2 - x) = % + GX +a/，+ +，則a0 - + a2+ (-1)0 等

7、于()A, 81B. 27C. 243D. 729思路：由駕林=C蕓可得2 + 6 = + 2或(2n + 6)+(n + 2)= 20,解得 =4,所求表達(dá)式只需令x = 1,可得 _a】+ a? _+ (1) e =2_(1) = 81答案：A例7：若(2工一 1)頂3 = % + npc +。2投+。項(xiàng)產(chǎn)20%丘R),則.頊3 _ /)- ；- ； + + = ( )2 2-角 23l20131111Ar rd 2013201340264026思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn)2的指數(shù)*遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令x=-,可2得:/ +丄4 +竺+辱-0,令x = 0可得： = -1,所以竺

8、+. +攀=】一色 22222013222 頊32,所以所求表達(dá)式變形為：,而axx = C13 (2x) (-112012 = 4026x ,2叭 2丿角所以a. = 4026 ,從而表達(dá)式的值為一i4026答案：D-3 -)1 例 8：己知(1 +x)+(1 +x) + +(1 +X) = % + qx +. +qx,若角+。2+ g”t = 29-，則的值為()A. 3B. 4C. 5D. 6,2(2-1)思路：在恒等式中令x = 1可得系數(shù)和 + q + + % = 2 + 2一 + + 2” =-,與條件聯(lián)系可考慮先求出令x = 0,可得aQ = n t展開式中為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以c

9、in = 1, .,. + ci-t + * f= 2”初2 1,所以 2”， 2 1 = 29 ，即2”姉=32,解得 =4答案：B例 9：若(2x - 3= % + X + a2x2 + a3 + a4x4 + a5x5,則% + 0 + 2a2 + 3角 + 4。4 + 5% 的值是()A. 10B. 20C. 233D. -233思路：觀察所求式子中q項(xiàng)的系敦剛好與二項(xiàng)展開式中q所在項(xiàng)的次敦一致，可収想到*函敷求導(dǎo)：(x”)=x”t,從而設(shè)/(x) =(2x 3)5,恒等式兩邊求導(dǎo)再令x = l可鮮得+ Za2 + 3缶+ 44 + 5角的值，再在原恒等式中令x = 0計(jì)算出。0即可解

10、：設(shè)/(x) = (2x-3)5 = a0 + ax + a2x2 + ac3 + a4xA 4- a5x5/ (x) = 5 (2x - 3 )4 2 = + la2x + 3jX2 + 4a4x3 + 5a5x4令x = 1 可得：10 = 1 + 2% + 3% + 4。4 + 5務(wù)而在(2x-3)5 =+ ax + ax2 + ax3 + a4x4 + 時(shí)中，令x = 0 可得：aQ = -35 = 一243% + a】+ la2 + 3q + 4印 + 5a 5 = 一 233答案：D例10:若等式（2X-1）2014 = % + 0X +。2014、項(xiàng)對于一切實(shí)數(shù)X都成立，則11a

11、n + a. + f23 一1“.GX14 =()2015A. B.C D. 0403020152015思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開式對應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：axx =丄角)ax，= , ,anxn = (anxn ,再利用賦值法令 2)3 )頃 + 1；x=l即可得到所求表達(dá)式的值解：(2乂一1嚴(yán)4=% +。押+。3 + .+ %14/014,兩邊同取不定枳分可得：1 ，、. 頊5 12 1312015(2X-1+ C* = “nX + 快-+ +mX 403023 -2015人1111令x = l可得：C += % + 劣+ 。. +4030 23 -2015令 x = 0 可得：+ C = 0 二 C =403040301 1 1 1 dn + + a. + * * + =2320152015答案：B小煉有話說：(1)本題可與例9作一個對照，都是對二項(xiàng)展開的恒等式進(jìn)行等價(jià)變