七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)新幫手專(zhuān)題19最值問(wèn)題試題新版新人教版

1、19 最值問(wèn)題閱讀與思考在實(shí)際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時(shí)間或費(fèi)用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問(wèn)題上，就是 求某個(gè)量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)之為最值問(wèn)題，在現(xiàn)階段，解這類(lèi)問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)與基本方法有：1、 通過(guò)枚舉選取 .2、 利用完全平方式性質(zhì) .3、 運(yùn)用不等式（組）逼近求解 .4、 借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等 .解答這類(lèi)問(wèn)題應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)方面，一方面要說(shuō)明不可 能比某個(gè)值更大（或更小） ，另一方面要舉例說(shuō)明可以達(dá)到這個(gè)值，前者需要詳細(xì)說(shuō)明，后者需要構(gòu)造一個(gè)合適的例子 .例題與求解【例 1】 若 c 為正整數(shù)，且 a b c，b c d ，d a b，則（

2、 a b ）（b c ）（c d ）（ d a）的最小值是 .（北 京市 競(jìng)賽試題）解題思路 ：條件中關(guān)于 C的信息量最多，應(yīng)突出 C的作用，把 a，b，d 及待求式用 c 的代數(shù)式表示 .【例 2】 已知實(shí)數(shù) a，b 滿(mǎn)足2 2 1a b ，則4 4a ab b 的最小值是（ ）A.18B.0 C.1 D.98( 全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解題思路 ：對(duì)4 4a ab b 進(jìn)行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進(jìn)行解題 .【例 3】 如果正整數(shù)x1, x2, x3 ,x4, x5 滿(mǎn)足 x1 x2 x3 x4 x5 = x1x2 x3 x4 x5 ，求 x5 的最大值 .解 題 思 路 ： 不 妨 設(shè)

3、x x x x x ， 由 題 中 條 件 可 知1 2 3 4 51 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4=1. 結(jié)合題意進(jìn)行分析 .【例 4】 已知 x, y,z 都為非負(fù)數(shù)，滿(mǎn)足 x y z 1， x 2y 3z 4 ，記 w 3x 2y z ，求 w 的最大值與最小值 .（四川省競(jìng)賽試題）解題思路 ：解題的關(guān)鍵是用含一個(gè)字母的代數(shù)式表示 w .【例 5】 某工程車(chē)從倉(cāng)庫(kù)上水泥電線桿運(yùn)送到離倉(cāng)庫(kù)恰為 10 00 米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔 1

4、00 米栽立電線桿一根，已知工程車(chē)每次之多只能運(yùn)送電線桿 4 根，要求完成2運(yùn)送 18 根的任務(wù)， 并返回倉(cāng)庫(kù)， 若工程車(chē)每行駛 1 千米耗油 m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān)，其他因素不計(jì)） . 每升汽油 n 元，求完成此項(xiàng)任務(wù)最低的耗油費(fèi)用 .（湖北省競(jìng)賽試題）解題思路 ：要使耗油費(fèi)用最低，應(yīng)當(dāng)使運(yùn)送次數(shù)盡可能少，最少需運(yùn)送 5 次，而 5 次又有不同運(yùn)送方法，求出每種運(yùn)送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費(fèi)用 .【例 6】 直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為 5 和 12，斜邊長(zhǎng)為 13，P 是三角形內(nèi)或邊界上的一點(diǎn)，P 到三邊的距離分別為d ，d2 ，d3 ，求 d1 + d

5、2 + d3 的最大值和最小值，并求當(dāng) d1+ d2 +d31取最大值和最小值時(shí)， P 點(diǎn)的位置 .（“創(chuàng)新杯” 邀請(qǐng)賽試題）解題思路 ：連接 P 點(diǎn)與三角形各頂點(diǎn)，利用三角形的面積公式來(lái)解 .3能力訓(xùn)練A 級(jí)1. 社 a，b，c 滿(mǎn)足2 2 2 9a b c ，那么代數(shù)式2 2 2(a b) (b c) (c a) 的最大值是 .（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）2. 在滿(mǎn)足 x 2y 3,x 0, y 0 的條件下， 2x y 能達(dá)到的最大值是 .（“希望杯” 邀請(qǐng)賽試題）3. 已知銳角三角形 ABC的三個(gè) 內(nèi)角 A，B，C滿(mǎn)足 ABC.用 表示 A-B，B-C，以及 90-A 中的最小值，則 的最

6、大值是 .（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4. 已知有理數(shù) a，b，c 滿(mǎn)足 abc，且 a+b+c=0，. 那 么ca的取值范圍是 .（ 數(shù)學(xué)夏令營(yíng)競(jìng)賽試題）5. 在式子 x 1 x 2 x 3 x 4 中，代入不同的 x 值，得到對(duì)應(yīng)的值，在這些對(duì)應(yīng)的值中，最小的值是（ ）.A.1 B.2 C.3 D.46. 若 a，b，c，d 是整數(shù)， b 是正整數(shù)，且滿(mǎn)足 b c d ，d c a ，b a c，那么 a b c d的最大值是（ ）.A.-1 B.-5 C.0 D.14( 全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )7. 已知 x y a, z y 10,則代數(shù)式2 2 2x y z xy yz xz 的最小 值

7、是（ ）.A.75 B.80 C.100 D.105( 江蘇省競(jìng)賽試題 )8. 已知 x ， y ， z均為非負(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足 x y z=30， 3x y z 50 ，又設(shè) M 5x 4y 2Z ，則 M的最小值與最大值分別為（ ）.A.110 ，120 B.120 ，130 C.130 ，140 D.140 ，1509. 已知非負(fù)實(shí)數(shù) x ， y ， z 滿(mǎn)足x 1 2 y z 32 3 4，記 w 3x 4y 5z . 求 w 的最大值和最小值（“希望杯” 邀請(qǐng)賽試題）10. 某童裝廠現(xiàn)有甲種布料 38 米，乙鐘布料 26 米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn) L，M兩種型號(hào)的童裝共 50 套，已知做

8、一套 L 型號(hào)的童裝需用甲種布料 0.5 米，乙種布料 1 米，可獲利 45 元；做一套 M型號(hào)的童裝需用甲種布料 0.9 米，乙種布料 0.2 米，可獲利 30 元，試問(wèn)該廠生 產(chǎn)的這批童裝，當(dāng) L型號(hào)的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？（江西省無(wú)錫市中考試題）5專(zhuān)題 19 最值問(wèn)題例 1 24 提示： a c,b 2c, d 3c ，原式324c 例 2 B 提示：24 4 2 2 2 2 2 2 1 9a ab b a b 2a b ab 1 2a b ab 2 ab 4 8因?yàn)? 22 ab a b 1，所以1 1ab ，從而2 23 1 1ab ，故4 4 40

9、ab21 94 16因此0 221 9 9ab ，即 4 8 804 4 9a ab b 8例 3 設(shè)x x x x x ，則1 2 3 4 511 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 x x4 5=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 4 5 4 5 4 5 5 4 4 5于 是 得到x4 x5 x4 x5 3 即x x 4 1 5 1 4若x4 1，則 x1 x2 x3 x4 1，與題設(shè)等式為4 x x 矛盾； 若 x4 1，則

10、5 5x5 1 4 ，即 x5 5 ，當(dāng)x5 5 時(shí)，容易找到滿(mǎn)足條件的數(shù)組 (1 ，1，1，2，5) ，所以x 的最大值是 55例 4 由x y z 1x 2y 3z 4，得x 5z 2y 3 4z，由x 5z 2 0y 3 4z 0得2 3z ，則5 43x 2y z 3 5z 2 2 3 4z z 8z ，當(dāng)2z 時(shí)， 有最小值5165；當(dāng)3z 時(shí)， 有最4大值 6例 5 提示：顯然運(yùn)送次數(shù)越少，所行駛的路程越短，所需郵費(fèi)越少，因此， 18 根電線桿運(yùn)送 5 次行駛路程較短，這 5 次有兩種運(yùn)送方法： （1）四次個(gè) 4 根，一次 2 根；（2）三次各 4 根，二次各 3根（1）考慮先送

11、2 根，后送 4 根；先送 4 根，后送 2 根先送 2 根，再送 4 根，二次共走行駛：1000 100 2 1100 400 2 5200米；先送 4 根，再送 2 根，二次共行駛：61000 300 2 1300 200 2 5600米；（2）兩次各送 3 根時(shí)，所行路程為1000 200 2 1200 300 2 5400米.故先送 2 根所行駛路程最短，最短總行程為：1000 100 2 1100 400 2 1500 400 21900 400 2 2300 400 19000米故所用最少油費(fèi)為 19000mn 1000 19mn元例 6 如圖所示，在 ABC中， C=90 ，BC

12、=5，AB=13. 點(diǎn) P到 BC，C A，AB的距離分別為d1 , d2 , d3，連接 PA，PB，PC，由三角形的面積公式知：1 1 1 15d 12d 13d 5 12.1 2 32 2 2 2即5d 12d 13d 60 .1 2 3顯然有5 d d d 5d 12d 13d 13 d d d .1 2 3 1 2 3 1 2 360d d d 12. 故 1 2 313當(dāng) d2 d3 0 時(shí)，有d1 d2 d3 12，即 d1 d2 d3 取最大值時(shí)， P與 A重合；當(dāng) d1 d2 0時(shí)，有60d d d ，即 d1 d2 d3 取最小值時(shí)， P與 C重合.1 2 313A 級(jí)72

13、2 2 21.27 原式 =3 a b c a b c 272.6 3 90 A 2 A B B C3 23.15 提示：6 6270 A B C 906 6154.2ca12c提示： b a c, a c b ， 2a c, 2，又把 b a c 代入ab c中，得 a c c ，ca12. 故2ca12.5.D 6.B 7.A 8.B9. 設(shè)x 1 2 y z 32 3 4k ，則 x 2k 1, y 3k 2, z 4k 3 . x, y, z均為非負(fù)實(shí)數(shù) . 2k 1 03k 2 0 ，解得：4k+3 01 2k .2 3故 3x 4y 5z 3 2k 1 4 3k 2 5 4k 3

14、14k 26.1 2 14 26 14k 26 14 26，即2 31319 35，所以 的最小值是 19，最大值是3513.10.20 套. 1800 元. 提示：設(shè)生產(chǎn) L 型號(hào)的童裝套數(shù)為 x ，則生產(chǎn) M型號(hào)的童裝為 50 x 套，所得利潤(rùn) S 45x 30 50 x 15x 1500.0.5 x 0.9 50 x 38 由x 0.2 50 x 26得17.5 x 20， x 18, 19, 20 .11. 最小表面積的打包方式為 2 3. 最小表面積為 179522mm ，圖略 .8B 級(jí)1.27 當(dāng) b 2, a 25 時(shí)， a b的值最大 .2.102 提示： m n 19n 9

15、8 , 19n 98 0 .3.1157 提示： 5b 8b 64ba , c , d . 8 5 254.B，D，E 93.62 百元5.13800 元 提示：設(shè)由甲庫(kù)調(diào)運(yùn) x 噸糧食到 B市，總運(yùn)費(fèi)為 y 元，則y 5x 6 600 x 6 800 x 9 600 x2x 13800 0 x 6006.C 提示：a b c da b c d a b c d a b c d a b c dMa b c da b a b c d c d.故1 M 2 .7.B 提示：設(shè) S AOD x ，則SBOC36x. 故 36 36S四邊形 ABCD 13 x 13 2 x 25. x x8. （1）2

16、 2 2 2a1 a2 a2002 a1 a2 a2002 2m 2012 2m .2a1 a2 a2002 2012m .2當(dāng) a1 a2 a2002 1或 1時(shí)， m 取最大值 2003001. 當(dāng)a1, a2, , a2002 中恰有 1001 個(gè) 1，1001 個(gè) 1時(shí)， m 取最小值 1001.（2）因?yàn)榇笥?2002 的最小完全平方數(shù)為245 2025，且 a1 a2 a2002 必為偶數(shù)，所以a1 a2 a2002 46 或 46；即 a1 , a2, , a2002 中恰有 1024 個(gè) 1，978 個(gè) 1或 1024 個(gè) 1，978 個(gè) 1 時(shí)，m取得最小值12246 200

17、2 57.9. 由條件得：2 2 2 2 2a1 0, a2 a1 4a1 4, , a2006 a 4a2005 4，以上各式相加，得200524 a a a 4 2005 a 0，故 a1 a2 a2005 2005 . 由已知1 2 2005 20069a1, a2 , , a2005 都是偶數(shù)，因此 a1 a2 a2005 2004 . 另一方面，當(dāng)a1 a3 a2005 0， a2 a4 a2004 2時(shí)，符合條件，且使上式等號(hào)成立，故所求的最小值是 2004.10.倉(cāng)庫(kù)地址應(yīng)選在 C處，假定倉(cāng)庫(kù)另選一地 O，設(shè)AB c, BC a, CA b, AO x,BO y，CO z（單位：千米） ，又假定 A廠產(chǎn)量為2m，B廠產(chǎn)量為3m，C廠產(chǎn)量為5m，（單位：噸） .倉(cāng)庫(kù)在 O處的總運(yùn)費(fèi)可表示為2mx 3m y 5mz；倉(cāng)庫(kù)在 C處的總運(yùn)費(fèi)可表示為2mb3ma由于 x z b，y