考點(diǎn)三十五空間直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂考點(diǎn)三十五空間直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)知識(shí)梳理1 直線與平面垂直的定義如果一條直線a 與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a 垂直于平面，記作 a ，直線 a 叫做平面 的垂線，平面 叫做直線 a 的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足結(jié)論： 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直2.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面3 直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行4 與線面垂直有關(guān)的重要結(jié)論(1) 如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這

2、條直線垂直于平面內(nèi)的任何一條直線(2) 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面(3) 如果一條直線與兩個(gè)平面都垂直，那么這兩個(gè)平面平行(4) 過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直5 兩平面垂直的定義如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，我們就說這兩個(gè)平面互相垂直6 兩平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直7 兩平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面8.空間角(1) 直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線

3、和這個(gè)平面所成的角，如圖，PAO 就是斜線AP 與平面 所成的角當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，它們所成的角是直角；當(dāng)直線在平面內(nèi)或直線與平面平行時(shí)，它們所成的角是0的角故線面角的范圍： 0，2 玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂(2) 二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角平面叫做二面角的面如圖的二面角，可記作：二面角這條直線叫做二面角的棱-l -或二面角P-AB-Q兩個(gè)半二面角的平面角如圖，過二面角-l -的棱 l 上一點(diǎn) O 在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作BO l， AOl ，則 AOB 就叫做二面角 -l -的平面角設(shè)二面角的平面角為，則 0， 當(dāng) 時(shí)，二面角叫2做直二面角9.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化判定定理

4、轉(zhuǎn)化：線線垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化：面面垂直線面垂直線面垂直面面垂直線線垂直用圖形表示為：同時(shí)，在平行與垂直之間也存在相互轉(zhuǎn)化，即：線線垂直線面垂直線線平行線面平行典例剖析題型一例 1A 若C若垂直問題有關(guān)的命題判定(2014 浙江高考 )設(shè) m， n 是兩條不同的直線， 是兩個(gè)不同的平面(m n， n ，則 m B若 m ， 則 m m ，n ， n 則 m D若 m n， n ， ，則 m )答案C解析選項(xiàng)變式訓(xùn)練A ，B ， D 中 m 均可能與平面已知 m， n 是兩條不同的直線，平行、垂直、斜交或在平面內(nèi)，故選， 為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：C.若m， n ，m n，則 ；若m ， n

5、， m n，則 ；玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂若m， n ，m n，則 ；若m ， n， ，則m n.其中所有正確的命題是()A B CD答案A解析借助于長(zhǎng)方體模型來解決本題，對(duì)于， 可以得到平面，互相垂直， 如圖 (1) 所示，故正確；對(duì)于，平面、 可能垂直，如圖(2)所示；對(duì)于，平面、 可能垂直，如圖(3) 所示；對(duì)于， 由 m ， 可得 m，因?yàn)?n，所以過 n 作平面 ，且 g，如圖 (4) 所示，所以 n 與交線 g 平行，因?yàn)?m g，所以 m n.解題要點(diǎn)1.對(duì)于這類命題的判斷問題，借助模型法是常見策略，一般地，對(duì)于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體化抽象為

6、直觀去判斷.2.還可以通過畫圖判斷， 作圖時(shí)仍然遵循先作面后作線的原則， 用面襯托線， 從而利于判斷題型二 線面垂直的判定與性質(zhì)例 2如圖，已知 PA平面 ABCD ，且四邊形ABCD 為矩形， M，N 分別是 AB，PC 的中點(diǎn)(1) 求證： MNCD ；(2) 若 PDA 45，求證： MN 平面 PCD.證明： (1)如圖所示，取PD 的中點(diǎn) E，連接 AE， NE，N 是 PC 的中點(diǎn)， E 為 PD 的中點(diǎn)，1NE CD ，且 NE 2CD ，1 1而 AM CD，且 AM 2AB 2CD ， NE AM ，四邊形 AMNE 為平行四邊形，玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂MN AE.又 P

7、A平面 ABCD ， PACD ，又 ABCD 為矩形， AD CD .而 AD PA A， CD平面 PAD， CD AE.又 AE MN ， MN CD.(2) PA平面 ABCD ， PA AD ，又 PDA 45， PAD 為等腰直角三角形又E為PD的中點(diǎn)，AE PD，又由 (1)知 CD AE ，PD CD D，AE 平面 PCD.又 AEMN ， MN平面 PCD .解題要點(diǎn)利用判定定理證明線面垂直時(shí)，必須證明一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這里相交必須要體現(xiàn)出來題型三面面垂直的判定和性質(zhì)例3如圖，三棱柱ABC-A1B1C1 中，側(cè)棱垂直底面，ACB 90， AC BC 1AA

8、1 ，D2是棱 AA1 的中點(diǎn)(1) 證明：平面 BDC 1平面 BDC ；(2) 平面 BDC 1 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比解析(1)證明：由題設(shè)知BC CC1，BC AC， CC1 AC C，所以 BC平面 ACC1A1.又 DC1 ? 平面 ACC1A1，所以 DC1 BC.由題設(shè)知 A1DC 1 ADC 45，所以 CDC 1 90，即 DC 1 DC .又 DC BC C，所以 DC1平面 BDC .又 DC1 ? 平面 BDC 1，故平面 BDC 1平面 BDC .(2) 設(shè)棱錐 B-DACC 1 的體積為 V1， AC 1.由題意得 V1 11 2 1 1 1.322

9、又三棱柱 ABC-A1B1C1 的體積 V1，所以 (V V1) V1 1 1.故平面 BDC1 分此棱柱所得兩部分體積的比為11.玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂變式訓(xùn)練如圖，在三棱柱ABC A1B1C1 中，側(cè)棱垂直于底面，AB BC， AA1 AC 2，BC 1， E，F(xiàn) 分別是 A1C1， BC 的中點(diǎn)(1) 求證：平面 ABE平面 B1BCC1 ；(2) 求證： C1F 平面 ABE；(3) 求三棱錐 EABC 的體積解析(1)證明在三棱柱 ABC A1B1C1 中， BB1底面 ABC，所以 BB1AB.又因?yàn)?AB BC，所以 AB平面 B1BCC1，又 AB 平面 ABE，所以平面

10、ABE平面 B1BCC1.(2)證明取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG， FG .1因?yàn)?E，F(xiàn) 分別是 A1C1， BC 的中點(diǎn)，所以FG AC，且 FG 2AC.因?yàn)?AC A1C1 ，且 AC A1C1，所以 FG EC1，且 FG EC1 ，所以四邊形FGEC 1 為平行四邊形所以 C1F EG.又因?yàn)?EG平面 ABE， C1F 平面 ABE，所以 C1F 平面 ABE.(3) 解 因?yàn)?AA1AC 2， BC 1，AB BC，所以 AB AC 2 BC2 3.所以三棱錐 E ABC 的體積 V 1113 12 33SABCAA1323 .解題要點(diǎn)(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定

11、義；面面垂直的判定定理(a ， a? )(2) 在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直當(dāng)堂練習(xí)玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂1下列命題中，正確的有()如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直過直線l 外一點(diǎn) P，有且僅有一個(gè)平面與l 垂直如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面過點(diǎn) A 垂直于直線 a 的所有直線都在過點(diǎn)A 垂直于 a 的平面內(nèi)A2 個(gè)B3 個(gè)C4個(gè)D5 個(gè)答案C解析正確，中當(dāng)這無數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立2下列命題中正確的

12、是 ()A 平面 和 分別過兩條互相垂直的直線，則B若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)兩條平行線，則 C若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則 D若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則 答案C解析由兩個(gè)平面垂直的定義知，C 正確3. 在正四面體 P ABC 中， D， E， F 分別是 AB，BC， CA 的中點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A BC平面PDFB DF 平面PAEC平面PDF 平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析可畫出對(duì)應(yīng)圖形，如圖所示，則BC DF ，又 DF ? 平面 PDF ，BC?平面 PDF ，BC 平面 PDF ，故 A 成立；由 AE BC

13、， PE BC， BC DF ，知 DF AE， DF PE， DF 平面 PAE，故 B 成立；又 DF ? 平面 ABC，平面 ABC平面 PAE，故 D 成立4平面 平面 ，直線 a ，則 ()A aB a C a 與 相交D 以上都有可能答案D解析借助長(zhǎng)方體，可舉例說明A 、B、C 都有可能成立5設(shè) m、 n 是兩條不同的直線，、 是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂若 mn， m ， n?，則 n ；若 m， ，則 m 或 m? ；則其中正確命題的序號(hào)為_答案解析中可能有m ，故不正確若若m ， ，則 m；m n， m ， n ，則 .課后作業(yè)一、 選擇題1

14、若 m、 n 表示直線， 表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為() m n，m ? n ； m ， n ? M n； m ， n ? M n; m ， m n ? n A 1B 2C3D 4答案C解析正確，中n 與面 可能有： n? 或 n 或相交 (包括 n )2如圖，四棱錐 P ABCD 中，PA平面 ABCD ，則 PD 與平面 ABCD 所成的角為圖中的()A PADB PDAC PDBD PDC答案B解析 PA平面 ABCD ，AD 是 PD 在平面 ABCD 上的射影，故PDA 是 PD 與平面 ABCD 所成的角3經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有 ()A0 個(gè)B1

15、 個(gè)C無數(shù)個(gè)D 1 個(gè)或無數(shù)個(gè)答案D解析如果平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線與平面垂直，則可以作無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，如果兩點(diǎn)連線與已知平面不垂直，則只能作一個(gè)平面與已知平面垂直4在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB CD的是 ()玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂答案A解析A 中， CD 平面 AMB ， CD AB；B 中， AB 與 CD 成 60角；C 中， AB 與 CD 成 45角；D 中， AB 與 CD 夾角的正切值為25已知 a，b，c 為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：若a b，a c，則 b c;若 ab， a c，則 b c;若 a b， b c，則 a c其中正確的個(gè)數(shù)為(

16、 )A0 個(gè)B1 個(gè)C2個(gè)D3 個(gè)答案B解析不對(duì)， b， c 可能異面；不對(duì)， b， c 可能平行或異面；對(duì)，選B6已知直線 m，n 和平面 ，滿足 m n，m ， ，則 ()A nB n C nD n 或 n? 答案D解析如圖所示，圖中 n 與 相交，中n? ，中 n ， n，排除A， B， C，故選 D.7設(shè) ， 為不重合的平面，m， n 為不重合的直線，則下列命題正確的是(A 若 ， n， m n，則 m B 若 m? ，n? ，m n，則 n C若 n， n ， m ，則 m D若 m ， n ， m n，則 )答案C解析與 、 兩垂直相交平面的交線垂直的直線m，可與 平行或相交，故A

17、 錯(cuò)；玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂對(duì) B ，存在 n 情況，故 B 錯(cuò)；對(duì) D ，存在 情況，故 D 錯(cuò)由 n ， n ，可知 ，又 m ，所以 m ，故 C 正確，選 C8已知平面 與平面 相交，直線 m ，則 ()A 內(nèi)必存在直線與 m 平行，且存在直線與 m 垂直B 內(nèi)不一定存在直線與m 平行，不一定存在直線與m 垂直C 內(nèi)不一定存在直線與m 平行，必存在直線與m 垂直D 內(nèi)必存在直線與 m 平行，不一定存在直線與m 垂直答案C解析當(dāng)直線 m 與 相交時(shí) 內(nèi)存在直線與 m 平行，但可以作直線與m 成 90角二、填空題9空間四邊形 ABCD 的四條邊相等，則對(duì)角線AC 與 BD 的位置關(guān)系為

18、 _答案垂直解析取 AC 中點(diǎn) E，連 BE、 DE 由 ABBC 得 AC BE同理 AC DE ，所以 AC面 BED因此， AC BD 10下列四個(gè)命題中，正確的序號(hào)有_， ，則 ； ， ，則 ；， ，則 ； ， ，則 答案解析不正確，如圖所示， ，但 ， 相交且不垂直11在三棱錐 P ABC 中，若 PA PB， PB PC， PCPA，則在三棱錐 P ABC 的四個(gè)面中，互相垂直的面有 _對(duì)答案3玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)優(yōu)秀之路安老師課堂解析 PA PB， PA PC， PBPC P， PA平面 PBC，又 PA? 平面 PAC， PA? 平面 PAB，平面 PAC平面 PBC，平面 PAB 平面 PBC同理可證平面PAB平面 PAC三、解答題12如圖所示，四棱錐 PABCD 的底面 ABCD 是菱形， BCD 60，E 是 CD 的中點(diǎn)， PA 底面 ABCD ，求證平面 PBE平面 PAB證明如圖所示，連接BD ，由 ABCD 是菱形且 BCD 60知， BCD 是等邊三角形因?yàn)?E 是 CD