11勾股定理的逆定理(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、勾股定理的逆定理（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及 它們之間的關(guān)系.2. 能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3. 能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)a, b, c ,滿(mǎn)足a2 b2 c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形要點(diǎn)詮釋?zhuān)海? ）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形 （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（如 C）.（1）首先確定

2、最大邊(2)驗(yàn)證C2與a2b2是否具有相等關(guān)系.若C2，是通過(guò)計(jì)算來(lái)判定一個(gè)三角2 2a b，則 ABC是/ C= 90 的直角三角形；若2 2 2c a b，則 ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?dāng)a2 b2C2時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2 b2 c2時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中 C為三角形的最大邊. 要點(diǎn)三、互逆命題.如果把其中一個(gè)叫原命題,如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱(chēng)它們?yōu)榛ツ婷}則另一個(gè)叫做它的逆命題.要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸}正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正 確的命題我們稱(chēng)為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱(chēng)它為假命題.要點(diǎn)四、勾股數(shù)滿(mǎn)足不定方程X2 y2 z2

3、的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)（又稱(chēng)為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)）顯然，以X、y、z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形 熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：17; 7、24、25； 9、40、41以at、bt、ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形 3、4、5;5、12、13 :匕 15、如果a、b必為直角三角形C是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，(1)n2 1,(2)2n2 2長(zhǎng)；(3)m2n2條邊長(zhǎng);要點(diǎn)詮釋:2n, n,2n2,m1,2n2n2,2mn1,n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng);2n 1 （ n是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊（m n, ms n是自然數(shù)）是直角三角形的三【典型例題】1、寫(xiě)出下列原命題的逆命題并

4、判斷是否正確原命題：原命題：原命題：原命題：1.2.3.貓有四只腳.對(duì)頂角相等.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這條線(xiàn)段兩端點(diǎn)的距離相等. 角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.1.2.3.4.4.【答案與解析】逆命題：有四只腳的是貓（不正確）逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）逆命題：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.？（正確）逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上.（正確）【總結(jié)升華】 掌握原命題與逆命題的關(guān)系 .原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確,其逆命題也不一定錯(cuò)誤.舉一反三:【變式】下列命題中，其逆命題成立的是.（只填寫(xiě)序號(hào)）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行;如果兩

5、個(gè)角是直角，那么它們相等;如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等;如果三角形的三邊長(zhǎng)a, b,c滿(mǎn)足a2 b22C，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【答案】同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”顯然正確；的逆命題“如果兩個(gè)角相等,的逆命題“如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)提示：的逆命題“兩直線(xiàn)平行，那么它們是直角”很明顯是錯(cuò)誤的；數(shù)相等”，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以互為相反數(shù)，所以該命題不正確；的逆命題“如果三角形是直角三角形,那么三角形的三邊長(zhǎng)a, b, c滿(mǎn)足a2 b2 c2 ”也是正確的.勾股定理的逆定理2、判斷由線(xiàn)段a, b,（1） a(2) a=7, b = 24,=4 , b = 1,3C組成的三角形是不是直角三角形.C

6、 = 25;C = 3 ；4(3) am2 n2 , b2 2m n , c 2mn (m n 0)；【思路點(diǎn)撥】?jī)蓷l線(xiàn)段的平方和是否等于最長(zhǎng)線(xiàn)段的平方. 角形.【答案與解析】判斷三條線(xiàn)段能否組成直角三角形，關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理的逆定理：看較短的若是，則為直角三角形， 反之，則不是直角三22 .2a ba2 b2由線(xiàn)段b, c組成的三角形是直角三角形.b2c2122 1 2 2516 16a2169.2 2b ca2.由線(xiàn)段ma, b,0,c組成的三角形不是直角三角形.2mn , m2 n2(m22n )(2 m n)2m42m2 n2n44m2n2m2 n2 n4b2(m2m4 2m2na2c

7、2b2.由線(xiàn)段a,b, c組成的三角形是直角三角形.【總結(jié)升華】解此類(lèi)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷，即首先確定最大邊，然后驗(yàn)證c2與a2 b2是否具有相等關(guān)系，再根據(jù)結(jié)果判斷是否為直角三角形.舉一反三:【變式1】判斷以線(xiàn)段a, b, c為邊的 ABC是不是直角三角形，其中 a77, b 73 ,c 2 .【答案】解：由于a c b，因此a為最大邊，只需看 a2是否等于b2c2即可.a2 (切27 , b2(妁2；2224 ,a2 b272242625 , c2252625 ,以線(xiàn)段a, b, c為邊能構(gòu)成以a為斜邊的直角三角形.【變式2】（2014春?永

8、州校級(jí)期中）下列四組數(shù)：5, 12, 13 ;乙24 , 25;1, 2, 4;5, 6, 8其中可以為直角三角形三邊長(zhǎng)的有 .（把所有你認(rèn)為正確的序號(hào)都寫(xiě)上）【答案】；解：5 2+122=132,能構(gòu)成直角三角形； 7 2+242=252，能構(gòu)成直角三角形； 12+22工42,不能構(gòu)成直角三角形； 5 2+62工82，不能構(gòu)成直角三角形.所以.故答案為：.3、（2015春？大石橋市校級(jí)期末）已知：如圖，四邊形ABCD中, AB丄BC AB=1, BC=2CD=2 AD=3求四邊形ABCD勺面積.X 1 X 2+X2=1.故四邊形ABCD勺面積為iVE -【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出 AC的

9、長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出 ACD的形 狀，再利用三角形的面積公式求解即可.【答案與解析】解：連接AC/ ABC=90 , AB=1, BC=2二AC引腫+5嚴(yán)= 鴉， 在 ACD中，AC2+cD=5+4=9=aD,ACD是直角三角形，S 四邊形 ABC _AB?BC+AC?CD2 2IpVlx 2,2能根據(jù)勾股定理的逆定理判【總結(jié)升華】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積， 斷出 ACD的形狀是解答此題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖所示，在梯形 ABCD中, AB/ CD / A= 90, AB= 2, BC= 3, CD= 1, E是 AD 中點(diǎn)，試判斷EC與EB的位置關(guān)系，

10、并寫(xiě)出推理過(guò)程.【答案】解：EC丄EB過(guò)點(diǎn)C作CF丄AB于F,則四邊形 AFCD是矩形,在 Rt BCF 中，可得 CF= 22 .1則 AD= CF= 2近，故 DE= AE= - AD=.2在 Rt ABE和 Rt DCE中,EB2 AE2 AB26，EC2DE2 CD23.EB2 EC29 .2 2 BC = 3，EB2 EC2BC2 ./ CEB= 90EB 丄 EC.4、“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行“遠(yuǎn)航”號(hào)每小 時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行 12海里，它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里,如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？【思路點(diǎn)撥】 我們可以根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的圖形，可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已 知，如果求出兩艘輪船所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了.【答案與解析】東PQ= 16X 1.5 = 24, 在 PQF中，PR= 12X 1.5 = 18, QR= 30,PQ2 PR2242182576 324900，PQ2