第2講兩條直線的位置關(guān)系

1、第2講兩條直線的位置關(guān)系 知識(shí)梳理 1.兩條直線的平行與垂直關(guān)系（分斜率存在與不存在兩種情況討論） 若兩條不重合的直線的斜率都不存在，則這兩條直線平行；若一條直線的斜率不存在，另 條直線的斜率為0,則這兩條直線垂直. 已知直線 li：y=kix +b,l2：y = k2x + b2. 若h,與12相交，則K Hk2 ;若I1丄12,則k1k2=1 ; 若 l1/ l2,則k)=k?且 a Hb?;若 11 與 l2 重合,則k= k2,且bb2 2.幾個(gè)公式 -i22 已知兩點(diǎn) R(X1,y1),P2(X2,y2),則 | PR |=譏人x?) +(*必 設(shè)點(diǎn)A（xo, yo），直線l : A

2、x + By +C =0,點(diǎn)A到直線l的距離為d I Axo + Byo + C I J A2 + B2 設(shè)直線 l1 : Ax + By + C =0, I2 : Ax + By+ C= 0(C 工 C), 則h與l2間的距離d = IC C 1 VA2 +B2 3.直線系 與直線Ax + By+C=0平行的直線系方程為 Ax + By+C = 0; 與直線Ax + By +C = 0垂直的直線系方程為 Bx - Ay +C = 0 ; 的直線系方程為 過兩 直線 h : ax +b, y + C| =0,12 ： a2X + b2y + c0 的交點(diǎn) + 幾（a2X+Q）=0,（幾為參數(shù)）

3、 重難點(diǎn)突破 重點(diǎn)：掌握兩條直線的平行與垂直的充要條件；掌握兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離 公式，會(huì)求兩條平行線之間的距離 . 難點(diǎn)：判斷兩條直線位置關(guān)系時(shí)的分類討論以及綜合運(yùn)用平行與垂直的充要條件、距離公式 解題 重難點(diǎn)：綜合運(yùn)用平行與垂直的充要條件和三個(gè)距離公式，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化之后求直線方程 （1）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)的分類討論，要防止因考慮不周造成的增解與漏解 ，關(guān)鍵 是要樹立檢驗(yàn)的意識(shí). 要考慮斜率存在與斜率不存在兩種情形； 要考慮兩條直線平行時(shí)不能重合 ； 問題 1:已知直線 h : X + m2y + 6 = 0，l2 : ( -2)x +3my + 2m = 0，m為何值

4、時(shí)，l1 與 l2平點(diǎn)撥：當(dāng)m=0時(shí)l1/ l2， 當(dāng)mO時(shí)，l1的斜率為-2，l2的斜率為-歸2 m3m 由一二m2 得 m=_1 或 m=3， m=3 時(shí) l1 與 l2 重合，m = -1 時(shí) l1 / l2 m 3m （2）在分析題意，尋找解題思路時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化，化繁為簡(jiǎn)，有效降 低運(yùn)算量. 問題2:已知點(diǎn)P （ 2，1）求過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程 點(diǎn)撥：過P點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線l為垂直于直線 OP的直線，二直線l的斜率為-2, ” 直線l的方程為y-1=2(x-2),即2x + y-5=0 （3）在使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條直線的距離公式時(shí)，應(yīng)先

5、將直線方程化為一般式，使 用兩條直線的距離公式，還要使兩直線方程中的 X、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等 問題2：求直線|1 :x+2y-1=0與l2：2x + 4y+7=0的距離 975 70 9 點(diǎn)撥：將l1的方程化為l1 ：2x +4y-2 = 0,則兩直線的距離為 d=r J20 （4）處理動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的常用的方法：將直線方程化為點(diǎn)斜式化為過兩條直線的交 點(diǎn)的直線系方程特殊入手，先求其中兩條直線的交點(diǎn)，再驗(yàn)證動(dòng)直線恒過交點(diǎn)從“恒成 立”入手，將動(dòng)直線方程看作對(duì)參數(shù)恒成立。 2 2 2 問題3：求證：直線(2m +8m + 3)x-(3m +m4)y + 4m 6m11=0恒過某定點(diǎn)，并 求該定點(diǎn)

6、的坐標(biāo). 將直線方程化為(2x -3y +4)m2 + (8x - y - 6)m +3x + 4y-11 = 0 若直線過定點(diǎn) P (x0，y0)，則(2x0 3y0 +4)m2 +(8x0 - y。一 6)m+ 3x0 +4 y。-11 =0 上式對(duì)m恒成立，j2x3y0，二X0 =1$0 =2，/.該直線必過定點(diǎn)P（1,2） 8x0 y0 - 6 = 0 熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析 考點(diǎn)1：兩直線的平行與垂直關(guān)系 題型：判斷兩條直線平行與垂直 例 1 已知直線 11 : 3mx+8y+3m-10=0 和 12 : x+6my-4=0 問 m 為何值時(shí)(1)11 與 12 相 交（2）l1與l2平行

7、（3）l1與l2垂直； 解析當(dāng) m=0 時(shí) hy10=0 ； l2：x4=0， l1 與 l2 垂直 當(dāng) mH0 時(shí) l1：y 一型x +丄 x+2_ 886m 3m -= m =或一，而（一）=一1 無解 6m338 6m 2 （2） m = I1與12平行（3） m=0時(shí)h與12垂直 3 一般要分類討論，分類討論要做到不重不漏， , 3m12 103m 4 由一=-=m=, 86m3 2 綜上所述（1） mH-時(shí)11與12相交 3 平時(shí) 【名師指引】判斷兩條直線的位置關(guān)系， 要培養(yǎng)分類討論的“意識(shí)” 例 2 已知 ABC 三邊的方程為： AB:3x-2y+6 = 0, AC : 2x +

8、3y-22 = 0 , BC :3x +4y m =0 ; （1）判斷三角形的形狀； （2）當(dāng)BC邊上的高為1時(shí)，求m的值。 【解題思路】（1）三邊所在直線的斜率是定值 ，三個(gè)內(nèi)角的大小是定值,可從計(jì)算斜率入手； BC邊上的高為1,即點(diǎn)A到直線BC的距離為1,由此可得關(guān)于m的方程. _ 2 -3 3 解析：（1）直線AB的斜率為kAB =，直線AC的斜率為kAC 2 所以kAB kAc = -1，所以直線AB與AC互相垂直, 因此 ABC為直角三角形 x = 2 ，得！汁6，即 A（2,6） (2)解方程組3-2廠6=0 j2x+ 3y-22=0 由點(diǎn)到直線的距離公式得護(hù)2%-m| I30-m

9、|， 5 當(dāng) d =1 時(shí)，30 -咄 2，即 30-m =5，解得 m=25或 35 5 【名師指引】（1） 一般地，若兩條直線的方向（斜率、傾斜角、方向向量）確定，則兩條直 線的夾角確定（2 ）在三角形中求直線方程，經(jīng)常會(huì)結(jié)合三角形的高、角平分線、中線 【新題導(dǎo)練】 1.已知直線 hiax+by+cO，直線 l2:mny + p =0，則“ an =bm” 是“直線 h/ ” 的（ ） D.既不充分也不必要條件 A.充分而不必要條件B .必要而不充分條件 C .充要條件 解析B 2.已知過點(diǎn)A（-2，m）和 B（m，4）的直線與直線 2x+y-1=0平行，則m的值為（） A. 0 B .

10、-8C. 2D.10 / 一4 +m +n =0 解析設(shè)所求的直線2x+y+m=0，貝U2 m+4+n =0那么m=-8,選B 1 一 3.“葉一”是“直線（n+2）x+3my+1=0與直線（仆2）x+（n+2）y 3=0相互垂直”的（） 2 A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件 解析當(dāng)n= 1或-2時(shí)，兩條直線垂直，所以n= 1是兩條直線垂直的充分不必要條件，選B 2 2 點(diǎn)評(píng)還要考慮斜率不存在的情形 4.(山東省棗莊市2008屆高三第一次調(diào)研考試 ) 3 已知直線I的傾斜角為 三兀，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),B(a,_1),且與I垂直，直線

11、l2: 4 ( D. 2x+by+1=0與直線l1平行，a+b等于 A. 4B. 2C. 0 3 2 解析B kAB =3=1=a=0,又-2=1=b=-2 3 ab 考點(diǎn)2點(diǎn)到直線的距離 題型：利用兩個(gè)距離公式解決有關(guān)問題 例 3 已知直線 l : (2a +b)x +(a+b)y+ ab = 0 及點(diǎn) P (3,4) (1 )證明直線I過某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo) (2)當(dāng)點(diǎn)P到直線I的距離最大時(shí)，求直線I的方程 直線I滿足的條件 【解題思路】分離參數(shù) a,b求定點(diǎn)坐標(biāo)；尋找P到直線I的距離最大時(shí), 解析：(1)將直線I的方程化為：a(2x + y+1) + b(x + y-1) = 0.

12、/.無論a,b如何變化，該直線系都恒過直線2x + y +1 = 0與直線x + y -1 = 0的交點(diǎn), 2x + y+1=0 x=-2 由J y得，二直線I過定點(diǎn)Q(2,3) IX +y -1 =0(7 =3 (2)當(dāng)丨丄PQ時(shí)點(diǎn)P到直線I的距離最大，此時(shí)直線I的斜率為-5直線I的方程為 y-3=5(x+2)即 5x + y+7 =0 【名師指引】(1)斜率不定的動(dòng)直線，都應(yīng)考慮是否過定點(diǎn) (2)處理解析幾何的最值問題，一般方法有：函數(shù)法；幾何法 例 4 已知三條直線 h :2x-y + a=0(ac0) l2：Yx+2y + 1 = 0 l3:x+y-1=0 ， 若l1與l2的距離是一

13、(1 )求a的值 (2)能否找到一點(diǎn)P使得P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件 P是第一象限的點(diǎn)；P點(diǎn)到|1的距離 是P點(diǎn)到l2的距離的1P點(diǎn)到l1的距離與P點(diǎn)到l3的距離的之比是；若能，求P 2 點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由。 【解題思路】由三個(gè)條件可列三個(gè)方程或不等式，最終歸結(jié)為混合組是否有解的問題 解析(1) 12 iZx-y-1 =0,d = 2 10 (2)設(shè)p(xo, y0)同時(shí)滿足三個(gè)條件 由得：設(shè) P(x0,y0)在 I :2x-y + C=0 上一 45 2 75 C=或 C=- 2 6 1311 則有 2x0 - y。+ = 0或 2x0 - y。+ = 0 26 (1) 由得: 2xo-y

14、o+3 血 Xo+y。-1 =x -2y0 +4=0或3x(5 +2 =0 由得 X。：O,yo aO 1 解由(1) (2) (3)聯(lián)立的混合組得X0 = ,y0 9 37 18 所以 P(9,38) 9.求過原點(diǎn)且與兩定點(diǎn)A(-1,1), B(3, -2)距離相等的直線I的方程 【名師指引】(1)在條件比較多時(shí)，思路要理順；(2)解混合組時(shí)，一般是先解方程，再驗(yàn) 證不等式成立 【新題導(dǎo)練】 6.點(diǎn)P(4COS日,3sin 0)到直線x + y - 6=0的距離的最小值等于 解析d4cO前 +3sin&61 42 |5sin(8 K) -6| 返 42 7.與直線2x + y +1=0的距離

15、為 逅的直線方程為 5 解析2x + y=0 或 2x+y -2=0 8.兩平行直線 h，I2 分別過點(diǎn) P (-1，3)，Q (2, -1 )它們分別繞P, Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持 平行，則之l1， I2間的距離的取值范圍是( A. (0,母 B. (0, 5) c. D. (0,71?) 解析最大值為 P, Q的距離，即5，選C 解析直線l過線段AB的中點(diǎn)或平行于直線 AB故方程為x+2y=0或3x+4y=0 考點(diǎn)3直線系 題型1:運(yùn)用直線系求直線方程 例5 求過直線|1：3x-5y-3 = 0和12 :3x-5y-8=0的交點(diǎn)，且與直線x+4y-7 = 0垂 直的直線方程和平行的直線方程。

16、【解題思路】可直接求交點(diǎn)，也可用直線系求解 解析解法一.設(shè)與直線x+4y7=0垂直的直線方程為 4x y+m = 0 設(shè)與直線x+4y-7=0平行的直線方程為 x+4y+ n=0聯(lián)立方程得l1與l2的交點(diǎn)（1,-1） 代入求得 m=-5，n=3 13 解法二.設(shè)與直線為5x+ 2y-3= 0 + A（3x-5y-8）=0 由條件分別求得幾=和 17 Z = 18 化簡(jiǎn)得 4x-y -5 =0和 x+4y +3 = 0 【名師指引】（1）使用直線系方程可以回避解方程組，從而達(dá)到減少運(yùn)算量的目的 (2)注意直線系 5x+2y 3=0+a(3x5y-8) =0 不表示直線 l2：3x-5y-8= 0

17、 ,這是 一個(gè)容易丟解的地方 題型2:動(dòng)直線過定點(diǎn)問題 2 2 例 6 已知圓 C:(x-1)+(y-2) =25，直線 l : (2m + 1 )x +(m + 1 )y-7m 4 = 0 （m亡R 證明不取何值，直線1過定點(diǎn) 證明直線1恒與圓C相交 解析（1）直線化為：x + y-4+m（2x+y7） =0故直線是經(jīng)過x + y-4 = 0和 2x+y 7=0交點(diǎn)（3，1）的直線系，故過定點(diǎn)（3，1） （2）因?yàn)椋?-1）2+（1-2）2 =5c25所以（3,1 ）為圓內(nèi)的點(diǎn)。故直線1恒與圓C相交 【名師指引】 在處理動(dòng)直線過定點(diǎn)問題時(shí)， 分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為過兩條定直線的交點(diǎn)的直線系 是簡(jiǎn)單

18、易行的方法 【新題導(dǎo)練】 10、方程（1+4 k）x-（2-3k） y+ 214k=0所確定的直線必經(jīng)過點(diǎn) A.（ 2, 2）B. （ -2，2） 解析代入驗(yàn)證，選A 11.已知為m實(shí)數(shù)，直線l :（ 2m+1 x+（ 1-m）y-（ 4m+5 =0，P （7，0），求點(diǎn)P到直線l的 距離d的取值范圍。 C. （-6，2） D. (3,-6) 解析直線l過定點(diǎn)Q（3,2），d的最大值為點(diǎn)P、Q的距離，因點(diǎn) P、Q的距離為2J5，故 d的取值范圍是（0,25 12.直線l經(jīng)過直線h :2x+3y+2 =0與l2：3x-4y-2=0的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三 角形是等腰直角三角形，求直線 l的方程

19、 解析：設(shè)直線l方程為2x+3y +2 +m(3x-4y -2) =0, 化簡(jiǎn)得：(2 + 3m)x +(3-4m)y + 2 2m = 0 打直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，二直線l的斜率為1 /. 2+3m =(3-4m),解得：m-y 或 m =5 代入并化簡(jiǎn)得直線l的方程為17x +17y+12=0或17x-17y-8 = 0 搶分頻道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1、若過點(diǎn)A(4,si na)和B(5,cosa)的直線與直線x y+c=0平行，則| AB |的值為 A. 6 B . 42C . 2 D . 242 解析kAB =CO少-sina =1 , /.| AB |= J(cos

20、a -sina)2 +1=/2 2、已知三條直線3x +2y +6 =0, 2x -3m2 y +18 = 0和2mx -3y +12 = 0圍成一個(gè)直角 三角形，則m的值是 4 44 A .1 或一 B . -1 或一 C . 0 或-1 或一 m = 1，但m =1時(shí)后兩條 999 解析C直線 3x +2y +6 = 0, 2x -3m2 y +18 = 0垂直時(shí), 直線重合，又 m = 0時(shí)后兩條直線垂直，故選 C 3、若直線I : y = kx羽與直線2x + 3y 6 = 0交點(diǎn)位于第一象限，則直線 l的傾斜角的取 值范圍是() Al-) A. 6，3) 解析B .直線 案 4、點(diǎn)

21、P (x, y) 取值范圍是( 兀 兀兀 兀兀 兀 B .(6, 2)C .(3，3) D .【6, 2) 2x + 3y 6= 0與x軸、y軸交于(0, 2)、(3, 0)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得答 在直線4x + 3y = 0 上，且滿足14 x- y 7,則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的 ) B. 0 ，10 A. 0 , 5 解：B.由J4x +3y0得6x32u a (I)以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立坐標(biāo)系，則 M(a,O), N(O,b),(a 3), J則 C(3,2),直線 MN 的方程為 32 由C在直線MN上得-+- =1呂 a b 32_ =16 L =16(1 2 u a -16

22、x +480u a 12 AM的長(zhǎng)取值范圍是(3, 4)(12，畑) 4)由(I)知 3 + 2 =1 二 1 = 3 + 2 洱仝二 ab24，即 Sam pn =ab24 a ba b V ab 32 當(dāng)且僅當(dāng)一=-即a = 6, b = 4時(shí)取等號(hào) ab 所以a =6,b =4時(shí)，矩形AMPN勺面積取得最小值 24 10.已知點(diǎn)A (1,4 ) , B (6,2 )，試問在直線 x-3y+3=0上是否存在點(diǎn) C, 積等于14?若存在，求出 C點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 使得三角形ABC的面 解析AB= J(1-6)2 + (4 -2)2 = J29 ,直線 AB 的方程為 y-2 x-6 4216 2x+申- 2=2 ，假設(shè)在直線x-3y+3=0上是否存在點(diǎn)C，使得三角形 ABC的面積等于14, bb 1 | 2m + 5n - 22 | 729 三角形 ABC 的面積等于 14 AB危宀 22729 5=，2|4m5 n-22|=28,即 2m+51 =50或 13556 2m+5n= 6.聯(lián)立解得 m=,n=；聯(lián)立解得 m =-3 , n=0 .綜上, 1111 135 56 在直線x-3y+3=0上存在點(diǎn)C（）或（,0），使得三角形ABC的面積等于14.