2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教師用書教案理新人教版202103081222

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考試要求1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RR值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：，kZ，遞減區(qū)間：，kZ遞增區(qū)間：2k，2

2、k，kZ，遞減區(qū)間：2k，2k，kZ遞增區(qū)間，kZ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k，0)，kZ對稱中心，kZ對稱中心，kZ對稱軸xk(kZ)對稱軸xk(kZ)周期性22提醒：(1)正、余弦函數(shù)一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間的長度是半個(gè)周期，ytan x無單調(diào)遞減區(qū)間，ytan x在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)(2)求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A和的符號盡量化成0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆1對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個(gè)周期(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期2函數(shù)具有奇、偶性的充要條件(1)

3、函數(shù)yAsin(x)(xR)是奇函數(shù)k(kZ)；(2)函數(shù)yAsin(x)(xR)是偶函數(shù)k(kZ)；(3)函數(shù)yAcos(x)(xR)是奇函數(shù)k(kZ)；(4)函數(shù)yAcos(x)(xR)是偶函數(shù)k(kZ)一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(2)已知yksin x1，xR，則y的最大值為k1.()(3)函數(shù)ysin x的圖象關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kZ)中心對稱()(4)ysin|x|與y|sin x|都是周期函數(shù)()答案(1)(2)(3)(4)二、教材習(xí)題衍生1若函數(shù)y2sin 2x1的最小正周期為T，最大值為A，則()AT，A1 BT

4、2，A1CT，A2 DT2，A2AT，A211，故選A2函數(shù)ytan 2x的定義域是()ABCDD由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定義域?yàn)?3ysin的單調(diào)減區(qū)間是 (kZ)由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ.4函數(shù)y32cos的最大值為 ，此時(shí)x .52k(kZ)函數(shù)y32cos的最大值為325，此時(shí)x2k，kZ，即x2k(kZ) 考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域 三角函數(shù)定義域的求法(1)求三角函數(shù)的定義域?；癁榻馊遣坏仁?組)(2)解三角不等式(組)時(shí)常借助三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線(3)對于函數(shù)yAtan(x)的定義域可令xk，kZ求解1函數(shù)y的定義域?yàn)?要使函數(shù)有意義，必須有即

5、故函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)ylg(sin x)的定義域?yàn)?函數(shù)有意義，則即解得所以2kx2k(kZ)，所以函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)y的定義域?yàn)?法一：要使函數(shù)有意義，必須使sin xcos x0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出0,2上ysin x和ycos x的圖象，如圖所示在0,2內(nèi)，滿足sin xcos x的x為，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閤.法二：sin xcos xsin0，將x視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)ysin x的圖象和性質(zhì)可知2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)，所以定義域?yàn)辄c(diǎn)評：若定義域中含k或2k應(yīng)注明kZ. 考點(diǎn)二三角函數(shù)的值域(最值) 求三角函數(shù)的值域

6、(最值)的三種類型及解法思路(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin xcos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)典例1(1)已知函數(shù)f (x)2sin2x2sin xcos x，則函數(shù)f (x)在區(qū)間上的值域是 (2)(2019全國卷)函數(shù)f (x)sin3cos x的最小值為 (3)函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域?yàn)?(

7、1)(1,2(2)4(3)(1)f (x)2sin2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2xsin 2xcos 2x2sin.x，2x，sin1，12sin2，即函數(shù)f (x)在區(qū)間上的值域是(1,2(2)f (x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令cos xt，則t1,1f (t)2t23t12，易知當(dāng)t1時(shí)，f (t)min2123114.故f (x)的最小值為4.(3)設(shè)tsin xcos x，則t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，當(dāng)t1時(shí)，ymax1；當(dāng)t時(shí)，ymin.函數(shù)

8、的值域?yàn)?點(diǎn)評：對于函數(shù)yAsin(x)，令tx，求出t的范圍，再根據(jù)ysin t的圖象求sin t的值域，這是常用的方法1函數(shù)f (x)3sin在區(qū)間上的值域?yàn)?當(dāng)x時(shí)，2x，sin，故3sin，函數(shù)f (x)在區(qū)間上的值域?yàn)?2函數(shù)f (x)sin2xcos x的最大值是 1依題意，f (x)sin2xcos xcos2xcos x1，因?yàn)閤，所以cos x0,1，因此當(dāng)cos x時(shí)，f (x)max1. 考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法(1)將函數(shù)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式，若0，借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)(2)根據(jù)ysin x和ycos

9、x的單調(diào)區(qū)間及A的正負(fù)，列不等式求解典例21(1)函數(shù)f (x)3sin的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是()A BC D(2)函數(shù)ysin xcos x的單調(diào)遞增區(qū)間是 (1)B(2)(1)f (x)3sin3sin.由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ，k0時(shí)，x，k1時(shí)，x，k1時(shí)，x，是f (x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，故選B(2)ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，又x，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.點(diǎn)評：本例(2) 在整體求得函數(shù)ysin xcos x的增區(qū)間后，采用對k賦值的方式求得x上的區(qū)間已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范

10、圍的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解典例22(1)(2020西安模擬)已知0，函數(shù)f (x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A(0,2 BC D(2)(2018全國卷)若f (x)cos xsin x在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A B C D(1)D(2)A(1)法一：(反子集法)x，x.f (x)在上單調(diào)遞減，解得又0，kZ，k0，此時(shí)，故選D

11、法二：(子集法)由2kx2k，得x，kZ，因?yàn)閒 (x)sin在上單調(diào)遞減，所以解得因?yàn)閗Z，0，所以k0，所以，即的取值范圍為.故選D(2)f (x)cos xsin xcos，由0x得x.是f (x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間由題意知a，a，0a，則a的最大值為，故選A1(2020湖南省湘東六校聯(lián)考)函數(shù)f (x)sin，則下列表述正確的是()Af (x)在上單調(diào)遞減Bf (x)在上單調(diào)遞增Cf (x)在上單調(diào)遞減Df (x)在上單調(diào)遞增Df (x)sin，由2x，kZ，解得x，kZ，當(dāng)k0時(shí)，x，所以函數(shù)f (x)在上單調(diào)遞增，故選D2已知函數(shù)f (x)2sin(2x)(|)，若f (x)在區(qū)間

12、上單調(diào)遞增，則的取值范圍是()A BC DC函數(shù)f (x)2sin(2x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)y2sin(2x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，k，k，kZ，kk，kZ，2k2k，kZ，|，令k0，解得，的取值范圍是.故選C3函數(shù)g(x)cos的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，g(x)coscos，欲求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求函數(shù)ycos的單調(diào)遞減區(qū)間由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)因?yàn)閤，所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.4若函數(shù)f (x)sin(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，且函數(shù)值從1減少到1，則f .由題意知，故T，

13、所以2，又因?yàn)閒 1，所以sin1.因?yàn)閨，所以，即f (x)sin.故f sincos . 考點(diǎn)四三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性 三角函數(shù)的周期性求三角函數(shù)周期的常用方法(1)公式法求周期函數(shù)f (x)Asin(x)B與f (x)Acos(x)B的周期為T；函數(shù)f (x)Atan(x)B的周期T.(2)對稱性求最值兩對稱軸距離的最小值和兩對稱中心距離的最小值都等于；對稱中心到對稱軸距離的最小值等于；兩個(gè)最大(小)值點(diǎn)之差的最小值等于T.典例31(1)(2019全國卷)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af (x)|cos 2x| Bf (x)|sin 2x|Cf (x)cos|x

14、| Df (x)sin|x|(2)(2018全國卷)已知函數(shù)f (x)2cos2xsin2x2，則()Af (x)的最小正周期為，最大值為3Bf (x)的最小正周期為，最大值為4Cf (x)的最小正周期為2，最大值為3Df (x)的最小正周期為2，最大值為4(1)A(2)B(1)對于選項(xiàng)A，作出y|cos 2x|的部分圖象，如圖所示，則f (x)在上單調(diào)遞增，且最小正周期T，故A正確對于選項(xiàng)B，作出f (x)|sin 2x|的部分圖象，如圖所示，則f (x)在上單調(diào)遞減，且最小正周期T，故B不正確對于選項(xiàng)C，f (x)cos|x|cos x，最小正周期T2，故C不正確對于選項(xiàng)D，作出f (x)

15、sin|x|的部分圖象，如圖所示顯然f (x)不是周期函數(shù)，故D不正確故選A圖圖圖(2)f (x)2cos2xsin2x22cos2xsin2x2sin2x2cos2x4cos2xsin2x3cos2x1(1cos 2x)1cos 2x，因此函數(shù)f (x)的最小正周期為，最大值為4，故選B點(diǎn)評：帶絕對值的三角函數(shù)求周期時(shí)，一般畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求周期三角函數(shù)的奇偶性1.三角函數(shù)是奇、偶函數(shù)的充要條件(1)函數(shù)yAsin(x)(xR)：是奇函數(shù)k(kZ)；偶函數(shù)k(kZ)；(2)函數(shù)yAcos(x)(xR)：是奇函數(shù)k(kZ)；是偶函數(shù)k(kZ)2若yf (x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，y0；

16、若yf (x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，y取最大值或最小值典例32已知函數(shù)f (x)3sin，(0，)(1)若f (x)為偶函數(shù)，則 ；(2)若f (x)為奇函數(shù)，則 .(1)(2)(1)因?yàn)閒 (x)3sin為偶函數(shù)，所以k，kZ，又因?yàn)?0，)，所以.(2)因?yàn)閒 (x)3sin為奇函數(shù)，所以k，kZ，又(0，)，所以.三角函數(shù)的對稱性求對稱軸方程(對稱中心坐標(biāo))的方法(1)求f (x)Asin(x)圖象的對稱軸方程，只需對xk(kZ)整理，對稱中心橫坐標(biāo)只需令xk(kZ)，求x.(2)求f (x)Acos(x)的對稱軸方程，只需對xk(kZ)整理，對稱中心橫坐標(biāo)為xk(kZ)，求x即可(3)

17、求f (x)Atan(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需對x(kZ)，求x.典例33(1)已知函數(shù)f (x)2sin(0)的最小正周期為4，則該函數(shù)的圖象()A關(guān)于點(diǎn)對稱 B關(guān)于點(diǎn)對稱C關(guān)于直線x對稱 D關(guān)于直線x對稱(2)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱，則的值為 (1)B(2)(1)因?yàn)楹瘮?shù)f (x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f (x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f (x)的對稱軸為x2k(kZ)，令k(kZ)，解得x2k(kZ)故f (x)的對稱中心為(kZ)，對比選項(xiàng)可知B正確(2)由題意得f sin1，k(kZ)，k(kZ)，.點(diǎn)評：(1)已知xa是函數(shù)f (x)Asin(x)的一條對稱軸，則f (a)A，即ak，kZ.(2)已知點(diǎn)(b,0)是函數(shù)f (x)Asin(x)的一個(gè)對稱中心，則f (b)0，即bk，kZ.1函數(shù)f (x)