2021_2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面學(xué)案新人教A版必修2

1、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法(難點(diǎn))2能用符號(hào)語言描述空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(重點(diǎn))3能用圖形、文字、符號(hào)三種語言描述三個(gè)公理，理解三個(gè)公理的地位與作用(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.通過對平面有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)2通過平面基本性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)1平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的幾何里的平面是無限延展的思考：一個(gè)平面能否把空間分成兩部分？提示因?yàn)槠矫媸菬o限延展的，所

2、以一個(gè)平面能把空間分成兩部分2平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫成45角，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍如圖.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來如圖.3平面的表示法上圖的平面可表示為平面、平面ABCD、平面AC或平面BD4平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號(hào)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的平面使A，B，C公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P，Pl且Pl思考

3、：經(jīng)過空間任意三點(diǎn)能確定一個(gè)平面嗎？提示不一定，只有經(jīng)過空間不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面1用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l答案B2如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A平面MN B平面NQPC平面 D平面MNPQA表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP，選A.3任意三點(diǎn)可確定平面的個(gè)數(shù)是()A0B1 C2D1或無數(shù)個(gè)D當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)，可確定無數(shù)個(gè)平面；當(dāng)這三點(diǎn)不共線時(shí)，可確定一個(gè)平面4將下面用符號(hào)語言表示的關(guān)系用文字語言予以敘述，并用圖形語言表示l，Al，AB，AC.解文字語言敘述：點(diǎn)A在平面與平

4、面的交線l上，直線AB，AC分別在平面，內(nèi)圖形語言表示(如圖所示).立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化【例1】用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形(1)平面與相交于直線l，直線a與，分別相交于點(diǎn)A，B；(2)點(diǎn)A，B在平面內(nèi)，直線a與平面交于點(diǎn)C，點(diǎn)C不在直線AB上解(1)用符號(hào)表示：l，aA，aB，如圖(2)用符號(hào)表示：A，B，aC，CAB，如圖三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示(2)要注意符號(hào)語言的意義. 如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“”或“”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“”或“”(

5、3)由符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別1用符號(hào)語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個(gè)平面，相交于一點(diǎn)P，且平面與平面相交于PA，平面與平面相交于PB，平面與平面相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.解(1)符號(hào)語言表示：P，PA，PB，PC，圖形表示：如圖.(2)符號(hào)語言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，圖形表示：如圖.點(diǎn)線共面問題【例2】如圖，已知：a ，b，abA，Pb，PQa，求證：PQ.證明PQa，PQ 與 a 確定一個(gè)平面.直線a，點(diǎn) P.Pb，b，P.又a，與重合PQ.解決點(diǎn)線共面問題

6、的基本方法2求證：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一個(gè)平面內(nèi)解已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求證：直線AB，BC，AC共面證明：法一：因?yàn)锳CABA，所以直線AB，AC可確定一個(gè)平面.因?yàn)锽AB，CAC，所以B，C，故BC.因此直線AB，BC，AC都在平面內(nèi)，所以直線AB，BC，AC共面法二：因?yàn)锳不在直線BC上，所以點(diǎn)A和直線BC可確定一個(gè)平面.因?yàn)锽BC，所以B，又A，所以AB.同理AC，故直線AB，BC，AC共面法三：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，所以A，B，C三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.因?yàn)锳，B，所以AB，同理BC，AC，故直線AB，BC，AC共面點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題探

7、究問題1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)A1C平面ABC1D1E.能否判斷點(diǎn)E在平面A1BCD1內(nèi)？提示如圖，連接BD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述問題中，你能證明B，E，D1三點(diǎn)共線嗎？提示由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又EBD1，根據(jù)公理3可知B，E，D1三點(diǎn)共線【例3】如圖，已知平面， ， 且l. 設(shè)梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).思路探究：證明因?yàn)樘菪蜛BCD中，ADBC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.所以AB，CD必

8、定相交于一點(diǎn).設(shè)ABCDM. 又因?yàn)锳B，CD，所以M，M.所以M.又因?yàn)閘，所以Ml.即AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)).本例變?yōu)椋喝鐖D所示，在空間四邊形各邊AD、AB、BC、CD上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF、GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上證明若EF、GH交于一點(diǎn)P，則E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，又因?yàn)镋F平面ABD，GH平面CBD，平面ABD平面CBDBD，所以P平面ABD，且P平面CBD，由公理3可得PBD. 所以點(diǎn)P在直線BD上.1證明三點(diǎn)共線的方法(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知，這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上(2)選擇其中兩點(diǎn)確定

9、一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在此直線上2證明三線共點(diǎn)的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點(diǎn)(2)說明這個(gè)點(diǎn)在另兩個(gè)平面上，并且這兩個(gè)平面相交(3)得到交線也過此點(diǎn)，從而得到三線共點(diǎn)1立體幾何的三種語言圖形語言、符號(hào)語言、文字語言是立體幾何的三大語言，要準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換2三個(gè)公理的作用公理1判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2判定點(diǎn)共面、線共面的依據(jù)；公理3判定點(diǎn)共線、線共點(diǎn)的依據(jù)3證明幾點(diǎn)共線的方法：首先考慮兩個(gè)平面的交線，再證有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn). 或先由某兩點(diǎn)作一條直線，再證明其他點(diǎn)也在這條直線上1有以下結(jié)論：平面是處處平的面；平面是無限延展的；平面的形狀是平行四邊形；一個(gè)平面的厚度可以是0.001 cm.其中正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4B平面是無限延展的，但是沒有大小、形狀、厚薄，兩種說法是正確的；兩種說法是錯(cuò)誤的故選B.2在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是()A兩兩相交的三條直線B.三條直線其中的一條直線與另外兩條分別相交C.三個(gè)點(diǎn)D三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點(diǎn)D三條直線若交于同一點(diǎn)，可以有多個(gè)平面，共線的三個(gè)點(diǎn)可以有多個(gè)平面，這里三條兩兩相交且不共點(diǎn)的直線確定一個(gè)平面故應(yīng)選D.3如果點(diǎn)A在直線a上，而直線a在平面內(nèi)，點(diǎn)B在平面內(nèi)，則可以表示為()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DA