2018年數(shù)學(xué)（北師大版選修2-2）練習(xí)第3章22最大值最小值問題活頁作業(yè)14

活頁作業(yè)(十四)最大值、最小值問題1．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值為eq\f(15,4)，則a等于()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)解析：對(duì)y求導(dǎo)得y′＝－2x－2.令y′＝0，得x＝－1.當(dāng)a≤－1時(shí)，最大值為f(－1)＝4，不合題意．當(dāng)－1<a<2時(shí)，f(x)在[a,2]上是減少的，最大值為f(a)＝－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．答案：C2．f(x)＝x3－3x2＋2在區(qū)間[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：對(duì)y求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)0<x≤1時(shí)，f′(x)<0.所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最大值為2.答案：C3．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，A．eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC．eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm解析：設(shè)圓錐的高為xcm，則底面半徑為eq\r(202－x2)cm，其體積為V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0<x<20)，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20,3)eq\r(3)，x2＝－eq\f(20,3)eq\r(3)(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0；當(dāng)eq\f(20\r(3),3)<x<20時(shí)，V′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V取最大值．答案：D4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為()A．13萬件 B．11萬件C．9萬件 D．7萬件解析：x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9.∴x∈(0,9)時(shí)，y′>0；x∈(9，＋∞)時(shí)，y′<0.∴x＝9時(shí)函數(shù)取得最大值．答案：C5．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，A．2mC．4m解析：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm，則長(zhǎng)為2xm，高為h＝(4.5－3x)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).∴長(zhǎng)方體的體積為V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(3,2))).∴V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<1時(shí)，V′(x)>0；當(dāng)1<x<eq\f(3,2)時(shí)，V′(x)<0.∴在x＝1處V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V(x)的最大值．∴最大體積Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．答案：B6．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值為M，最小值為m，則M－m＝________.解析：f′(x)＝3x2－12.由f′(x)>0，得x>2或x<－2；由f′(x)<0，得－2<x<2.∴f(x)在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是減少的，在[2,3]上是增加的．又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8.∴M－m＝24－(－8)＝32.答案：327．在半徑為r的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷系母邽開_______時(shí)，它的面積最大．解析：如右圖，設(shè)∠OBC＝θ，則0<θ<eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′△ABC＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，得cos2θ＝sinθ.又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).即當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC的面積最大．∴高為OA＋OD＝r＋eq\f(r,2)＝eq\f(3r,2)時(shí)面積最大．答案：eq\f(3r,2)8．函數(shù)y＝x＋2cosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是________．解析：對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝1－2sinx.由f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6).∴在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上，f′(x)＞0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上，f′(x)＜0.∴在x＝eq\f(π,6)處f(x)取到極大值也是最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,6)＋eq\r(3).答案：eq\f(π,6)＋eq\r(3)9．已知函數(shù)f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x，求a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－lnx－x，f′(x)＝eq\f(2x＋1x－1,x).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.∴f(x)的最小值為f(1)＝0.(2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x>0.∵x>0，∴f(x)>x等價(jià)于x－eq\f(lnx,x)>a＋1.令g(x)＝x－eq\f(lnx,x)，則g′(x)＝eq\f(x2－1＋lnx,x2).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0.∴g(x)有最小值g(1)＝1.∴a＋1<1，即a的取值范圍是(－∞，0)．10．某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場(chǎng)數(shù)塊，用128萬元購買土地10000m2，該中心每塊球場(chǎng)的建設(shè)面積為1000m2，球場(chǎng)每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用與球場(chǎng)數(shù)有關(guān)，當(dāng)該中心建球場(chǎng)x塊時(shí)，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))來刻畫．為了使該球場(chǎng)每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與購地費(fèi)用之和解：設(shè)建成x個(gè)球場(chǎng)，則1≤x≤10，每平方米的購地費(fèi)用為eq\f(128×104,1000x)＝eq\f(1280,x)元．∵每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用(單位：元)可近似地用f(x)＝800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,5)lnx))來表示，∴每平方米的綜合費(fèi)用為g(x)＝f(x)＋eq\f(1280,x)＝800＋160lnx＋eq\f(1280,x)(x>0)，∴g′(x)＝eq\f(160x－8,x2)(x>0)．令g′(x)＝0，則x＝8.當(dāng)0<x<8時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x>8時(shí)，g′(x)>0.∴當(dāng)x＝8時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值．故當(dāng)建成8塊球場(chǎng)時(shí)，每平方米的綜合費(fèi)用最?。?1．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(t)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/t)之間的關(guān)系式為P＝24200－eq\f(1,5)x2，且生產(chǎn)xt的成本為C＝50000＋200x(元)，則月產(chǎn)量為多少t時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大值？()A．100 B．160C．200 D．240解析：根據(jù)題意，列出函數(shù)關(guān)系式，求導(dǎo)求解．每月生產(chǎn)xt時(shí)的利潤(rùn)為f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(24200－\f(1,5)x2))x－(50000＋200x)＝－eq\f(1,5)x3＋24000x－50000(x≥0)．令f′(x)＝－eq\f(3,5)x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．∵f(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，∴它就是最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)＝－eq\f(1,5)×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．∴每月生產(chǎn)200t產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬元．答案：C12．容積為256的方底無蓋水箱，它的高為________時(shí)用料最?。馕觯涸O(shè)方底無蓋水箱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則V＝a2h＝256，即h＝eq\f(256,a2).用料最省，即表面積最小，由題意列式如下：S表＝S底＋S側(cè)＝a2＋4ah＝a2＋4aeq\f(256,a2)＝a2＋eq\f(1024,a)S′＝2a－eq\f(1024,a2).令S′＝0，即2a－eq\f(1024,a2)＝0，解得a＝8.當(dāng)0<a<8時(shí)，S′<0；當(dāng)a>8時(shí)，S′>0.∴當(dāng)a＝8時(shí)，S表取得極小值，也是最小值．∴h＝eq\f(256,64)＝4.答案：413．函數(shù)f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在區(qū)間[－2，＋∞)上的最大值為________，最小值為________．解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝eq\f(3,2).當(dāng)x>eq\f(3,2)時(shí)，f(x)是增加的；當(dāng)－2≤x≤eq\f(3,2)時(shí)，f(x)是減少的．∴在[－2，＋∞)上無最大值．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－28eq\f(3,4)，∴最小值為－28eq\f(3,4).答案：不存在－28eq\f(3,4)14．函數(shù)f(x)＝eq\r(100－x2)，當(dāng)－6≤x≤8時(shí)的最大值為________，最小值為________．解析：f′(x)＝－eq\f(x,\r(100－x2))，令f′(x)＝0，得x＝0.又f(－6)＝8，f(0)＝10，f(8)＝6.∴f(x)min＝6，f(x)max＝10.答案：10615．已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每銷售1千件的收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x20<x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)x>10.))(1)寫出年利潤(rùn)W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？解：(1)當(dāng)0<x≤10時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－eq\f(x3,30)－10；當(dāng)x>10時(shí)，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－eq\f(1000,3x)－2.7x.∴W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(x3,30)－100<x≤10，,98－\f(1000,3x)－2.7xx>10.))(2)當(dāng)0<x≤10時(shí)，令W′＝8.1－eq\f(x2,10)＝0，得x＝9.且x∈(0,9)時(shí)，W′>0；x∈(9,10)時(shí)，W′<0.∴當(dāng)x＝9時(shí)，W取極大值，也是最大值，且Wmax＝8.1×9－eq\f(1,30)×93－10＝38.6；當(dāng)x>10時(shí)，令W′＝eq\f(1000,3x2)－2.7＝0，得x＝eq\f(100,9).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(100,9)))時(shí)，W′>0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,9)，＋∞))時(shí)，W′<0.∴當(dāng)x＝eq\f(100,9)時(shí)，W取極大值，也是最大值，且Wmax＝98－eq\f(1000,3×\f(100,9))－2.7×eq\f(100,3)＝38.綜上可知，x＝9時(shí)，W有最大值38.6，即年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司所獲年利潤(rùn)最大．16．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a2＝4b時(shí)，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c)為公共切點(diǎn)，f(x)＝ax2＋1(a>0)，則f′(x)＝2ax，k1＝2a，g(x)＝x3＋bx，g′(x)＝3x2＋b，k2＝3＋b.∴2a＝3＋b又f(1)＝a＋1，g(1)＝1＋b，∴a＋1＝1＋b，即a＝b，代入①式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3.))(2)∵a2＝