空間向量的標準正交分解與坐標表示課件

1、 我們學習過平面向量的 標準正交分解和坐標表示. 在空間中,如何確定向量的坐標呢? P A C O B D z x y i j k ., , , aOPa zyx kji ? 作是空間任意向量設 軸正方向上的單位向量軸軸 為直角坐標系中令在給定的坐標系中 a DPADOAOP? 有根據(jù)向量的加法運算, P A C O B D z x y i j k DPADOAOP? 有根據(jù)向量的加法運算, OCOBOA? kzOCjyOBi xOA?, 根據(jù)向量共線定理 kzjyi xOP? 所以 , , , , i j k xyz a r r r r 在給定的空間直角坐標系中 令分別為 軸軸 軸正方向上的

2、單位向量 對于空間任意向量 ( , , ),x y zaxiyjzk? rrrr 存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù) 使得。 ., , 叫做標準正交基把 的標準正交分解叫做我們把 kji akzjyi xa? .),( ).,( .),( 的坐標表示叫做向量 記作 的坐標叫做空間向量 azyxa zyxa azyx ? ? ).,( ),( , zyxOP zyxP 的坐標也是向量 的坐標為點 在空間直角坐標系中 .)2( ;, ,) 1 ( . 5 , 3 , 2 , , . 1 1 1 11111 的坐標求 的分解式關于給出 的坐標寫出 體在直角坐標系中有長方如圖例 AD kjiAC C AABCA

3、BDCBAABCD? C1 D A 1 O B C z x y (A) D 1 B 1 C1 D A 1 O B C z x y (A) D 1 B 1 解: (1) 因為AB=2,BC=3,AA1=5 所以C1為(3,2,5) kjiAC523)5 , 2 , 3( 1 ? 從而 (2)因為點D1為(3,0,5) )5 , 0 , 3( 1 ?AD 所以 .)2( ;, ,) 1 ( . 5 , 3 , 2 , , . 1 1 1 1 11111 的坐標求 的分解式關于給出 的坐標寫出 體在直角坐標系中有長方如圖練習 BD kjiAB B AABCABDCBAABCD? C1 D A 1 O

4、 B C z x y (A) D 1 B 1 (1) B1為(0,2,5) kjAB52 1 ? (2) (3,-2,5) ikzijyii x ikzjyi xia kzjyi xa ? ? ? )( ,那么設 00, , 1| 2 ? ? ikjiji iii 同理而 由于 zkayjaxia?, 同理所以 , ,. a ix a jy a kz axyz ? ? ? ? r rr rr r r 我們把分別稱為 向量 在 軸軸軸正方向上的投影 . ,cos| , 0 0 上的投影在向量為向量 稱 的單位向量為若一般地 ba baaba bb ? .標軸正方向上的投影向量的坐標等于它在坐 A

5、 D 1 C1 B 1 A1 D C B 例2.如圖,已知單位正方體 ABCD-A1B1C1D1,求 ;) 1 ( 1 上的投影在向量 CBCA 1|cos| ;) 1 ( : 11 1 ?CBCBACA CBCA 上的投影在向量解 A D 1 C1 B 1 A1 D C B 例2.如圖,已知單位正方體 ABCD-A1B1C1D1,求 ., ,)2( 111 上的投影在求向量 且垂直于平面是單位向量 BCCAAABB BC 1|)cos(| )2( : 11 1 ?CBCBACA BCCA ? 上的投影為在向量解 A D 1 C1 B 1 A1 D C B 練習2.如圖,已知單位正方體 ABCD-A1B1C1D1,求 1 CACA 向量在上的投影。 1 11 : |cos|2 CAC