高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破_難點(diǎn)24__直線與圓錐曲線

1、精選word文檔 下載可編輯難點(diǎn)24 直線與圓錐曲線直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.難點(diǎn)磁場()已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于p和q，且opoq，|pq|=，求橢圓方程.案例探究例1如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為o，點(diǎn)a的坐標(biāo)為(5，)，傾斜角為的直線l與線段oa相交(不經(jīng)過點(diǎn)o或點(diǎn)a)且交拋物線于m、

2、n兩點(diǎn)，求amn面積最大時(shí)直線l的方程，并求amn的最大面積.命題意圖直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問題就是有關(guān)弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達(dá)定理法”.屬級題目.知識依托弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.錯(cuò)解分析將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.技巧與方法涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡化運(yùn)算.解由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2= 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)m、n，方程

3、的判別式=(2m4)24m2=16(1m),解得m1,又5m,m的范圍為(5，)設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|mn|=點(diǎn)a到直線l的距離為d=.s=2(5+m),從而s2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=12s8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號.故直線l的方程為y=x1，amn的最大面積為例2已知雙曲線c2x2y2=2與點(diǎn)p(1，2)(1)求過p(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與c分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn).(2)若q(1，1)，試判斷以q為中點(diǎn)的弦是否存在.命題意圖第一問考查直線與雙曲線

4、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題.第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“差分法”，屬級題目.知識依托二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.錯(cuò)解分析第一問，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論.第二問，算得以q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了.技巧與方法涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.解(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線c有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入c的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6= (*)()當(dāng)2k

5、2=,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與c有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k2,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=,即32k=,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與c有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng),即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與c有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)，即k時(shí)，方程(*)無解，l與c無交點(diǎn).綜上知當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與c只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與c有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與c沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為ab，且a(x1,y1),b(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得2(x1x2)(x1+x2)=(y1

6、y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kab=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線ab與c無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以q為中點(diǎn)的弦不存在.例3如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是f1(4，)、f2(4，)，過點(diǎn)f2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為b，且|f1b|+|f2b|=1，橢圓上不同的兩點(diǎn)a(x1,y1),c(x2,y2)滿足條件|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦ac中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)弦ac的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.命題意圖本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧

7、妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng)，屬級題目.知識依托橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯(cuò)解分析第三問在表達(dá)出“k=y”時(shí)，忽略了“k=”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系.技巧與方法第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解，第三問利用m表示出弦ac的中點(diǎn)p的縱坐標(biāo)y,利用y的范圍求m的范圍.解(1)由橢圓定義及條件知，2a=|f1b|+|f2b|=1,得a=5,又c=4,所以b=故橢圓方程為=(2)由點(diǎn)b(4,yb)在橢圓上，得|f2b|=|yb|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|f2a|=

8、(x1),|f2c|=(x2)，由|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出x1+x2=設(shè)弦ac的中點(diǎn)為p(x,y),則x=(3)解法一由a(x1,y1),c(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=,即9=(x1x2)將 (k)代入上式，得94+25y()=(k)即k=y(當(dāng)k=時(shí)也成立).由點(diǎn)p(4，y)在弦ac的垂直平分線上，得y=4k+m,所以m=y4k=yy=y.由點(diǎn)p(4，y)在線段bb(b與b關(guān)于x軸對稱)的內(nèi)部，得y,所以m.解法二因?yàn)橄襛c的中點(diǎn)為p(4,y)，所以直線ac的方程為yy=(x4)(k)將代入橢圓

9、方程=1,得(9k2+25)x25(ky+4)x+25(ky+4)2259k2=所以x1+x2=8,解得k=y.(當(dāng)k=時(shí)也成立)(以下同解法一).錦囊妙計(jì)直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題()

10、斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于a、b兩點(diǎn)，則|ab|的最大值為( )a.2b. c.d. ()拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k)交于a、b兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )a.x3=x1+x2b.x1x2=x1x3+x2x3c.x1+x2+x3=d.x1x2+x2x3+x3x1=二、填空題()已知兩點(diǎn)m(1，)、n(4，)，給出下列曲線方程4x+2y1=,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點(diǎn)p滿足|mp|=|np|的所有曲線方程是_.()正方形abcd的邊ab在直線y=x+4上，c、d兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形

11、abcd的面積為_.()在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題()已知拋物線y2=2px(p),過動點(diǎn)m(a,)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)a、b，且|ab|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段ab的垂直平分線交x軸于點(diǎn)n，求nab面積的最大值.()已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)a1、a2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)p(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過a1pa2的重心g，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)m、n，問是否存在直線l,使g平分線段mn，證明你的結(jié)論.()已知雙曲線c的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)a(，)為圓心，1為半

12、徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)a1與a點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱.(1)求雙曲線c的方程.(2)設(shè)直線l過點(diǎn)a，斜率為k,當(dāng)k1時(shí)，雙曲線c的上支上有且僅有一點(diǎn)b到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)b點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案難點(diǎn)磁場解設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m,n)，p(x1,y1),q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=,=4n24(m+n)(n1),即m+nmn,由opoq,所以x1x2+y1y2=,即2x1x2+(x1+x2)+1=,+1=,m+n=2又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、解析弦長|ab|

13、=.答案c解析解方程組,得ax2kxb=,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可.答案b二、解析點(diǎn)p在線段mn的垂直平分線上，判斷mn的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案解析設(shè)c、d所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|cd|的長，利用|cd|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|cd|的長.答案18或5解析設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)a、b，且a(x1,y1),b(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kab=故所求直線方程為y

14、=8x1答案8xy15=三、解(1)設(shè)直線l的方程為y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=|ab|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p,a.(2)設(shè)a(x1,y1)、b(x2,y2)，ab的中點(diǎn) c(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段ab的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而n點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,）點(diǎn)n到ab的距離為從而snab=當(dāng)a有最大值時(shí)，s有最大值為p解(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=由已知得,解得a2=9,b2=1所以所求雙曲線方程為=(2)p、a1、a2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，)、(3，），其重心g的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使g(2，2)平分線段mn，設(shè)m(x1,y1)，n(x2,y2).則有，kl=l的方程為y=(x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=.=16428,所求直線l不存在.解(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx