高三第一輪復(fù)習(xí)講義【4】-不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

1、2018 屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義【4】 -不等式的性質(zhì)及應(yīng)用一、知識(shí)梳理1.不等式的性質(zhì)（1）實(shí)數(shù)的大小比較與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系abab0 ； abab0 ； abab0（2）不等式的基本性質(zhì)性質(zhì) 1.（傳遞性）如果ab,bc ，那么 ac性質(zhì) 2.（加法性質(zhì)）如果ab ，那么 acbc性質(zhì) 3.（乘法性質(zhì)）如果ab ， c0 ，那么 acbc ；如果 ab ， c0, 那么 acbc（3）從不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，還可以得到哪些有用的推論？推論 1.推論 2.如果 ab,cd那么 acbd ；如果 ab,cd 那么 acbd推論 3.如果 ab0,c d0那么 acbd ；推論 4.如果 a

2、b0,那么 11ab推論 5.如果 ab0, d c0那么 ab ；cd推論 6.如果 ab0,那么 anbn (nN * )11推論 7.如果 ab0, 那么 a nbn (nN* , n 1)（ 4）如何比較不等式的大??？ 作差法 作商法【總結(jié)】不等式證明的常用方法：（ 1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（ 2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式） ；（ 3）分析法；（ 4）平方法；（ 5）分子（或分母）有理化；（ 6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（ 7）尋找中間量或放縮法；（ 8）圖象法 .其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.2.常用的基本不等式（1）如果 a, bR

3、，那么 a2b22ab （當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立）；（2）如果 a, babR ，那么 ab （當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立） .2【提醒】基本不等式可以用來(lái)求最值，但要注意條件的滿足：一正、二定、三相等；如：若變數(shù) a,b0 ，則若 abp （常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)， ab 有最小值 2p ；2若 abs （常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)， ab 有最大值 s .4【拓展】常用不等式有：（1）當(dāng) a、 b 為正數(shù)時(shí) ,a 2 b 2 ab ab 2（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ ”2211ab號(hào)），即平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)；（2）糖水不等式：若ab0, m0 ，則 bbm

4、（糖水的濃度問(wèn)題） ；aam（3）絕對(duì)值不等式：abab ab二、基礎(chǔ)檢測(cè)11. 判斷下列命題的真假 , 如果是真命題 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 ; 如果是假命題 , 請(qǐng)舉出反例 .(1)若 baa , 則 b0 ;(2)若 aba , 則 b0 ;(3)若 ab0 , 則 a0 且 b0 ;(4)若 ab , 則 ac2bc2 ;則 acabc0ab(5)若 abc ,b ;(6)若,則 c2c2 .2.已知 ab0 ,c0 ,在下列空白處填上恰當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)或等號(hào):(1) (a2) c_( b2)c ;(2)1 _1;(3)c _ c .baab3.如果 ab0 ,那么下列不等式中正確的是答 A.a1B

5、. a2abC.11D.11bb2a2ab4.如果 a0b ,那么下列不等式中正確的是答 A.abB. a2b2C. a 3b3D. ab b 25.已知 a, b, c, d 為實(shí)數(shù) ,且 cd . 則 “ab ”是 “acbd ”的答 A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件6.設(shè) x, y 是兩個(gè)實(shí)數(shù) ,命題 “x, y 中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分非必要條件是答A. x y 2B. x y 2C. x2y22D.xy 1基礎(chǔ)檢測(cè) 21.若矩形的面積為4,則其周長(zhǎng)的最小值為_.2.已知 x, yR ,且 x4 y 1, 則 xy 的最大值為 _

6、.3.若 x 0, x1 , 則 x1 的取值范圍是 _.x4.設(shè)a,b R,a2b 2a b從小到大的排列是則, ab2 2_.5.若 a,b, cR , 則 b ccaab 的最小值是 _.abc6.某廠產(chǎn)量第二年的增長(zhǎng)率為a,第三年增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x, 則答A.abB. xabC.xabD. xa bx2222三、例題精講例 1、（ 1）設(shè) x 、 y 是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較2 x2y2 與 x 2xy 的大??；（2）設(shè) a, b, c為正數(shù)，且 a2b 2c21，求證：1112(a 3b3c 3 )3 .a2b 2c2abc【參考答案】（1）解法 1： 2x2y 2(

7、 x 2xy )x2y 2xy(xy ) 2 3 y 2y ) 2324因?yàn)?x 、 y 是不全為零的實(shí)數(shù)，所以(xy 20 ，即 2 x2y2x2xy24解法 2：當(dāng) xy0 時(shí)， x2xyx22x2y 2 ；當(dāng) xy0 時(shí)，作差：222(2)2220xyxxyxyxyxy xy；xy因?yàn)?x 、 y 是不全為零的實(shí)數(shù)，所以當(dāng)xy0時(shí)， 2x2y2x2xy 綜上， 2x2y 2x2xy（ 2）證明：當(dāng) a b c 時(shí)，取得等號(hào) 3作差比較：1112(a3b3c3 )3 =a2b 2c2abca2b 2c2a2b2c 2a2b2c 22(a 3b3c3 )a2b2c2abc3= a2 ( 11

8、 ) b2 ( 11 ) c2 ( 11 ) 2( a2b2c2 )b2c2a2c2a2b2bc ac ab= a 2 ( 11)2b 2 ( 11) 2c2 ( 11) 20 ，所以，1112( a3b3c3 )3bccaaba 2b2c 2abc例 2、已知4ac1,14ac5 ,試求 9ac 的取值范圍【參考答案】把 9ac 用 ac ， 4ac 來(lái)表示，再利用ac ， 4ac 的范圍得出9ac 的取值范圍a1 (4 ac)(ac)3c1 (4 ac)4( ac)31 (4 a9ac =3(4 a c)( ac) -c)4(ac)38 (4 ac)5 (ac)3388c)4055c)20

9、由已知得 -(4 a3，(a33333-18 (4 ac)5 (a c)20 ，即19a c2033注意 : 這類題的常見錯(cuò)誤是, 由4ac10a3, 1c7 ,44ac,從而得 :1所以 :79ac26，即 :7f (3)26 , 錯(cuò)誤根源在于ab, cd 是 ab bc充分但不是必要條件, 因此必須從考慮9ac 與 ac , 4ac 的關(guān)系去解此題 .例 3、設(shè) a 和 b 都是非零實(shí)數(shù)，求不等式ab 和 11同時(shí)成立的充要條件b ， 11ab11【詳解】先求 a同時(shí)成立的必要條件，即當(dāng)a b ，同時(shí)成立時(shí)， a與ababb 應(yīng)具備什么條件abab0由 11 ，得ba0abab由 a b0

10、可知 ba0，再由 ba0 知 ab0 ，即 a 與 b 異號(hào)，ab因此 a0b是不等式 ab 與 11同時(shí)成立的必要條件b ， 11ab再求 a同時(shí)成立的充分條件ab事實(shí)上，當(dāng) a0b 時(shí)，必有 a b ，且 10, 10，因而 11 成立b ， 11abab從而 a0b 是不等式 a同時(shí)成立的充分條件ab因此，兩個(gè)不等式ab ， 11 同時(shí)成立的充要條件是a0 b ab例 4、已知 x5，求 x1的最大值 .4x54【參考答案】 x1(x5)15)5，由于 x5 ， x50 ，4x544( x444所以 ( x 5 )145 )15 1 ，51 ， (x44( x44( x5)44)44當(dāng)

11、且僅當(dāng)x51即 x3時(shí)取等號(hào) .44( x54)4例 5、求 yx27 x10 ( x1) 的最小值 .x1【參考答案】方法一：當(dāng) x1時(shí)， x27x10(x1)25( x1)4x 145 9 ，x1x1x1當(dāng)且僅當(dāng) x11即 x1時(shí)取等號(hào) .x1方法二：設(shè) tx1(t0)，則 xt1，原式(t1) 27(t1)10t 25t4t459ttt當(dāng)且僅當(dāng) t42, x1 時(shí)取等號(hào) .即 tt例 6、某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2 的矩形蔬菜溫室， 在溫室內(nèi)， 沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m 寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m 寬的空地，當(dāng)矩形室的變長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積時(shí)多

12、少？【參考答案】溫室左側(cè)變長(zhǎng)a40m,b20m, Smax648m2例 7、求證：（1）在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大；（ 2）在面積相等的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小。證明：（ 1）設(shè)矩形的長(zhǎng)的寬分別為a, b( a0, b0, ab) ，則同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為ab 。2矩形面積S矩形ab ，正方形面積S正方形(a2b)2 。由基本不等式2 知： abab0( 因?yàn)?ab ，等號(hào)不成立）2所以 ( a b ) 2(ab) 2 ，即 S正方形S矩形 。2所以在周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大。（2）設(shè)面積為 S 的矩形的長(zhǎng)和寬分別為a, b( a0, b0)，其周長(zhǎng)為 2( ab) ，

13、正方形的周長(zhǎng)為4S ，又 S ab ，即正方形周長(zhǎng)為4ab 。由基本不等式2： abab ，所以 2(ab)4ab （當(dāng) ab 時(shí)等號(hào)成立） 。2所以，在面積相等的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小。例 8、求下列代數(shù)式的最小值：（1） 3x21(x 0) ；（ 2） x211(| x | 1) ；2x2x2（3） 2 3x4( x 1) ；（ 4） x22 ；（5） 2 x2(x 3) 。x1x21x3解：（ 1）因?yàn)?x0 ，所以 3x2123x216 ，當(dāng)且僅當(dāng) 3x21，2x22x22 x2即 x41時(shí)等號(hào)成立。所以當(dāng)x413x21最小值為6。6時(shí)，2x26（ 2）因?yàn)?| x |1，所以 x2

14、10 ，則x211( x2 1)112(x21)1113 ，當(dāng)且僅當(dāng) x211x2x2 1x2x21即 x2 時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)x2 時(shí)， x21的最小值為 3。x21（ 3）43 5（ 4） 2（ 5） 2x22( x3) 322( x 3)212( x 3) 182( x 3)1812 ，x 3x3x 3x3因?yàn)?x 3 ，所以 x30 ，則 2( x 3)181222( x 3) 1812 24，x 3x 3當(dāng)且僅當(dāng) 2( x 3)18，即 x6 時(shí)等號(hào)成立。所以2x2的最小值為 24 。x3x3說(shuō)明：應(yīng)用極值定理求最值時(shí)一定要注意應(yīng)用條件，驗(yàn)證等號(hào)成立的條件必不可缺。例 9、求下列代數(shù)

15、式的最大值：（1） x(2x),(0x2) ；（2） 2x 1x2 (0x1)。解：（ 1）因?yàn)?0x2 ，所以 2 x 0，則 x(2x)( x2x )21 ，2當(dāng)且僅當(dāng) x2x ，即 x1 時(shí)等號(hào)成立，所以x1時(shí)， x(2x) 的最大值為 1。（ 2）因?yàn)?0x1，則 x2 (1 x2 ) ( x21x2)21，24當(dāng) x21 x2 ，即 x2時(shí)等號(hào)成立。又2x1x22x2 (1x2 ) ，2所以當(dāng) x2時(shí)， 2x1x2 的最大值為 1。2四、課堂練習(xí)1. 判斷下列命題的真假 , 如果是真命題 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 ; 如果是假命題 , 請(qǐng)舉出反例 .(1) 若 acbc , 則 ab ;(2)

16、若 ac2bc2 , 則 ab ;(3)若ab(4)若 a b , ab01122 , 則 a b ;, 則;ccab(5)若 a3b3, ab 0 , 則11;(6)若 a 2b 2, ab 0 , 則11;abab(7)若 a b, cd , 則 a c b d ;(8)若 ab, c d , cd 0 , 則 ab ;cd(9)若 a2b2 , 則 | a | |b | ;(10) | a | b| ab | | a | b |.2. 求解下列問(wèn)題 .(1)命題甲:2xy 4, 命題乙:0x1x, y 滿 足xy3x, y 滿 足y, 則甲是乙成立的023_條件 ;x(2)設(shè) 20 x3

17、4, 24 y 60, 求 xy, x y, 的取值范圍 .y3. 比較下列兩個(gè)量的大小 .(1) 已知 x, yR , 比較 x2y2 與 2(2 xy) 5 的大小 ;a b(2) 已知 a,bR , 比較 aa bb 與 (ab) 2 的大小 .4. 解關(guān)于 x 的不等式 :a2 ( x1)b2 (1x)2ab, 其中 a,bR .5. 已知 x0, y0 ,2x5 y20 , 求 lg xlg y 的最大值及此時(shí)x, y 的值 .6. 已知 a,bR, 且滿足 abab3, 求 :ab 的最大值以及ab 的最小值 .7.已知 x, y R, 滿足 x2 y1 ,(1)21求的最小值 ;

18、xy(2)在求 12 的最小值時(shí) , 某學(xué)生給出解法如下 :xy由 x 2 y1 得 12 2xy , 即12 2,xy又因?yàn)?1222 ,12由得8 , 即所求最小值為 8 .xyxyxy請(qǐng)指出這位同學(xué)錯(cuò)誤的原因, 并給出正確的解法 .8. 求函數(shù) yx23x6 的值域 .x 29. 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)得到 : 在交通繁忙的時(shí)間段內(nèi) , 某公路段汽車的車流量 y(千輛 / 小時(shí) )與汽車的平均速度 (千米 / 小時(shí) )之間的函數(shù)關(guān)系為 y2920v(v 0) .v3v 1600(1) 在該時(shí)間段內(nèi) , 當(dāng)汽車的平均速度 v 為多少時(shí) , 車流量最大 ? 最大車流量為多少 (精確到0.1 千輛 /

19、小時(shí) )?(2) 若要求在該時(shí)間段內(nèi)車流量超過(guò)10 千輛 / 小時(shí) , 則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?五、【難題突破】【例 1】設(shè)正數(shù) a 、 b 滿足 2a3bab ，則 ab 的最小值是 _方法一： 2a3bab ， a3b0b2 ，b2則 a b3bb3 b26b 2 2 56b 2 5 2 6 ，b2b2b 2當(dāng)且僅當(dāng) b26時(shí)取等號(hào)；方法二：由2a3bab 可得：23a b 1a b2352a3b526，b1babaa當(dāng)且僅當(dāng) b26時(shí)取等號(hào)；【例 2】已知正實(shí)數(shù)x, y 滿足 xy2 xy4 ，則 xy 的最小值為方法一：由 xy2 xy4 可得： y42x00x 2 ，代入得：

20、x1xy x42 xx163263 ，當(dāng)且僅當(dāng) x61時(shí)取等號(hào)。x1x1方法二： x y2y4x( y2)y26( x1)( y2)6 ，所以： xyx1y23x1 ( y2)3263 ；當(dāng)且僅當(dāng) x61時(shí)取等號(hào)。【例 3】對(duì)于問(wèn)題：已知x, yR，且 x2 y 1，求11x的最小值。有甲、乙、丙三位y同學(xué)分別給出了下面的不同解法：甲同學(xué)的解法：因?yàn)閤2y1，且 x, yR，所以11( x 2 y)(112x 2 y 21142。即112 。xyx)xyx的最小值為 4yy乙同學(xué)的解法：因?yàn)閤2y1，所以 1111x2 y11x12 y 1xyxyxy21x 2 12 y1122 。即11的最

21、小值為 122 。xyxy丙同學(xué)的解法：因?yàn)?12112，當(dāng)且僅當(dāng)11，即 xy 時(shí)等號(hào)成立，又xyxyxyxyx2 y1116。1，所以 x y時(shí)的最小值為3xy以上三位同學(xué)的解法是否正確？說(shuō)明理由。若不正確，請(qǐng)你給出一種正確的解法。解析：三位同學(xué)的解法都不正確。正確的解法如下：因?yàn)?x2y1，所以 11(x2 y)(11)32 yx322。xyxyxy當(dāng)且僅當(dāng)2 yx ，即 x21， y 12時(shí)等號(hào)成立。xy2所以 11的最小值為 322。xy六、回顧與總結(jié)：（1）不等式的性質(zhì)：1. 主要方法 :比較兩數(shù)大小的一般方法求差法，即作差法；利用函數(shù)的單調(diào)性；作商法 (較少用 ).2. 易錯(cuò)、易

22、漏點(diǎn) :不等式的基本性質(zhì)是解不等式理論依據(jù)，特別要注意同向不等式可相加，也可相乘， 但相乘時(shí)，兩個(gè)不等式都需大于零；求差法(作差法)是很重要的方法，要引起重視；而作商法比較大小的依據(jù)是a，使用時(shí)要注意符號(hào)，不能亂用，一般適用于指數(shù)形式.1( b 0)a b 0b（2）基本不等式：1. 主要方法 :兩個(gè)基本不等式的應(yīng)用，特別注意不等式a2 b2a bab2221.1平方平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)ab調(diào)和平均數(shù)2. 易錯(cuò)、易漏點(diǎn) :利用重要不等式求最值時(shí)，要注意條件: 一正、二定、三相等；在 xy2xy ， x 和 y 要大于零；要有定積或定和出現(xiàn)；同時(shí)要求 “ 等號(hào) ”成立；若等號(hào)不成立，常利用

23、函數(shù)單調(diào)性求解.七、課后練習(xí)1.設(shè) x, yR , 則 xy 和 11 同時(shí)成立的充要條件是 _.xy2.設(shè) a, b, cR , 給出下面四個(gè)命題: (1) a2b22ab ; (2)ba2 ; (3) 若 ab , 則abac2bc2 ;(4) ac 2bc2 , 則 ab ; 其中真命題的序號(hào)是_.3.已知 , 則2的取值范圍是 _.24.若a ,bR,aba2b2答 則 “”是 “”的A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件5.若11 , 則下列各式中 , 恒成立的是答 A.20B.21C.10D.116.若 ab0 ,x 0, 則 bx 的取值范圍是答 bxaxbbxA.11axB.axaC. bx1D. 1bxbaxaxa7. 比較下面兩個(gè)量的大小 .(1) A1a 2 與 B1;1a(2) x2y21 與 xyxy 的大小 .8. 在等比數(shù)列 an 和等差數(shù)列 bn 中 ,a1b10 , a3b3 , a1a3