九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、九年級(jí)上冊(cè) 數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納1第二十一章第二十二章第二十三章第二十四章第二十五章一元二次方程二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)圓概率初步第二十一章一元二次方程知識(shí)點(diǎn) 1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0 ，這樣的方程叫一元二次方 程一般形式： ax2 bx+c=0(a 0）。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時(shí)，應(yīng)首先將方程化為一般形式。知識(shí)點(diǎn) 2：一元二次方程的解法1. 直接開平方法：對(duì)形如 (x+a ） 2=b（ b 0）的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的方法。X+a=bx1 =-a+bx2 =-a-b2. 配方法：用配方法解一元二次方程：ax2

2、 bx+c=0(k 0）的一般步驟是：化為一般形式；移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a ）2=b 的形式；如果b 0 就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果b0)【或向下 (k0)【或左 (h0) 【或左 ( h0)【或左 (h0) 【或下 ( k0) 【或下 (k0)】平移 |k|個(gè)單位y=a (x-h)2+k2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左右，上下”方法二： yax 2bxc沿y 軸平移: 向上（下）平移m 個(gè)單位，yax

3、2bxc 變成yax 2bxcm （或yax 2bxcm ） yax 2bxc沿軸平移：向左（右）平移m 個(gè)單位，yax 2bxc 變成ya( xm)2b(xm)c （或ya( xm) 2b( xm)c ）四、二次函數(shù) ya x2k 與 y ax2bxc 的比較h從解析式上看，ya x2ax2bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前hk 與 y2b ，k者，即 y a xb4ac b2，其中 h4ac b22a4a2a4a五、二次函數(shù) yax2bxc 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(xh) 2k ， 確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后

4、在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖 . 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y 軸的交點(diǎn)0，c 、以及0 ，c 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h，c、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0， x2 ，0 （若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn) .六、二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)1.當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4acb22a2a4a當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減??；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 有最小2a2a2a值 4acb24a2.當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向下， 對(duì)稱

5、軸為 xb ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b ，4ac b 2當(dāng) xb 時(shí)， y 隨2 a2a4a2a時(shí)， y 有最大值 4ac2x 的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng)xbb2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0）；2.頂點(diǎn)式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a 0）；3.兩根式（兩點(diǎn)式） ： ya( x x1 )( xx2 ) （ a0 ， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與

6、x 軸有交點(diǎn)，即 b24ac0 時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù) yax2bx c 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，a 的值越大，開口越小，反之a(chǎn) 的值越小，開口越大； 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向下，a 的值越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項(xiàng)系數(shù) b在二次項(xiàng)系數(shù) a 確定的前提下， b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a 0 的前提下，當(dāng) b0時(shí)，b

7、0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0時(shí)，b0，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在 a 確定的前提下，b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置ab 的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸xb0 ，概括的說就是在 y 軸左邊則 ab 0 ，在 y 軸的右側(cè)則 ab2a“ 左同右異 ”總結(jié)：3. 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方

8、，即拋物線與 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與總結(jié)起來， c 決定了拋物線與 y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a ，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ；y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂

9、點(diǎn)式；3. 已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k ；2. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2ya xh2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；22y

10、a xhk 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是ya xhk ；4. 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180）yax2bxc 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bx cb2；2aya xh2ya2k k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是x h5. 關(guān)于點(diǎn) m，n 對(duì)稱2k 關(guān)于點(diǎn)22n ky a x hm，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋

11、物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2bx c 0 是二次函數(shù) y ax2bxc 當(dāng)函數(shù)值 y0 時(shí)的特殊情況 .圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)： 當(dāng)24ac0 時(shí)，圖象與 x 軸交于兩點(diǎn) A x1 ，0 ，B x2 ，0( x1x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次b方程 ax2bxc0 a 0 的兩根這兩點(diǎn)間的距離ABx2 x1b24ac.a 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)0時(shí)，圖象與 x 軸沒有交點(diǎn) .1當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的上方，無論x 為任

12、何實(shí)數(shù)，都有y0 ；2當(dāng) a0 時(shí)，圖象落在x 軸的下方，無論x 為任何實(shí)數(shù)，都有y0 2. 拋物線yax2bxc 的圖象與y 軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 ， c) ；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yax2bxc 中 a ， b ， c 的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a ， b ， c 的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x 軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一

13、個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).0拋物線與x 軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)0拋物線與x 軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有一個(gè)交點(diǎn)0 拋物線與 x 軸無二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根 .與二次交點(diǎn)函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax 2bx c(a 0) 本身就是所含字母 x 的二次函數(shù)；下面以a 0 時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考：y=2x 2y=2x 2y=x2x2y=2x 2y= -2y= -x 2y=-2x2y=2x 2 +2y=3 (x+4)2y=2 x 2y=3 x 2y=3(x-2)

14、2y=2x 2 -4y=2(x-4) 2y=2(x-4) 2 -3y=-2(x+3) 2y=-2x2y=-2(x-3) 2十一、函數(shù)的應(yīng)用剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以 x 為自變量的二次函數(shù)y(m2)x2m 2m2 的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則 m 的值是2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù) ykxb 的圖像在第一、 二、三象限內(nèi)， 那么函數(shù) ykx 2bx 1 的圖像大致是 （yyyy1

15、10 xo-1 x0 x0 -1 xABCD3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)， (4,6) 兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x5，求這條拋物線的解析式。34 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線 y ax2bxc （ a 0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1、 3，與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（ 1）確定拋物線的解析式； （2）用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5 考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。【例題經(jīng)典】）32由拋物線的位置確定

16、系數(shù)的符號(hào)例 1 （ 1）二次函數(shù) yax2bx c 的圖像如圖 1，則點(diǎn) M (b, c ) 在（ ）aA第一象限B第二象限 C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限（2）已知二次函數(shù)22 所示， ?則下列結(jié)論： a、b 同號(hào)；當(dāng) x=1 和y=ax +bx+c（ a 0）的圖象如圖x=3 時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng) y=-2 時(shí)， x 的值只能取 0. 其中正確的個(gè)數(shù)是（）A 1 個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4 個(gè)(1)(2)【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a， b， c 之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例 2.2已知二次函數(shù)y=ax +bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn) (-2 ， O)、 (x 1，

17、 0) ，且 1x12，與 y 軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn) (O，2) 的下方下列結(jié)論： abO；4a+cO，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )A 1個(gè)B. 2個(gè) C. 3個(gè) D 4 個(gè)會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例 3.已知：關(guān)于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2 ，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(2 ， -3)B.(2，1)( )C(2， 3)D (3 ， 2)例 4、如圖（單位：m），等腰三角形ABC以2 米 / 秒的速度沿直線L 向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合設(shè)x 秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2（ 1）寫出 y 與 x

18、 的關(guān)系式；（ 2）當(dāng) x=2， 3.5 時(shí)， y 分別是多少？（ 3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸 .例 5、已知拋物線 y= 1 x2+x- 5 2 2（ 1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸（ 2）若該拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、B，求線段 AB的長(zhǎng)【點(diǎn)評(píng)】本題（ 1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（ 2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系例 6 已知：二次函數(shù) y=ax2-(b+1)x-3a 的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(4 ，10) ，交 x 軸于 (,0)，B(x2,0) 兩點(diǎn) ( x1x2 ) ，.A x1交 y 軸負(fù)半軸于

19、 C點(diǎn)，且滿足 3AO=OB(1) 求二次函數(shù)的解析式；(2) 在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)M，使銳角 MCOA CO?若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說明理由例 7、 “已知函數(shù)y1 x 2 bx c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A（c， 2），2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（ 1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。（ 2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于第（ 1）小題，要根據(jù)

20、已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是 x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點(diǎn) A（ c， 2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（ 2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（ 1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。用二次函數(shù)解決最值問題例 1 某產(chǎn)品每件成本 10 元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià) x（元） ?與產(chǎn)品的日銷售量 y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）

21、y（件）152025203010若日銷售量y 是銷售價(jià)x 的一次函數(shù)（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使每日的銷售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元？【點(diǎn)評(píng)】 解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似， 也有區(qū)別， 主要有兩點(diǎn)：（ 1）設(shè)未知數(shù)在 “當(dāng)某某為何值時(shí)， 什么最大 （或最小、最省） ”的設(shè)問中， ?“某某” 要設(shè)為自變量， “什么” 要設(shè)為函數(shù)；（ 2）?問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程例 2. 你知道嗎 ?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為

22、 4 m，距地面均為25 m處繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離已知學(xué)生丙的身高是15 m，則學(xué)生丁的身高為1m、( 建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A 15 m B 1 625 mC 166 m D 1 67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用第二十三章旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)1 、定義把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、性質(zhì)（ 1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（ 2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。二、中心對(duì)稱1 、定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形

23、互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。2、性質(zhì)（ 1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。（ 2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。（ 3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。4、中心對(duì)稱圖形把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)店就是它的對(duì)稱中心?？键c(diǎn)五、坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特征（ 3 分）1 、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的

24、符號(hào)相反，即點(diǎn)P（ x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P（ -x ，-y ）2、關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x 軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x 相等， y 的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（ x，y）關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為P（ x， -y ）3、關(guān)于 y 軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y 軸對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y 相等， x 的符號(hào)相反，即點(diǎn)P（ x，y）關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為P（ -x ， y）第二十四章圓一、知識(shí)回顧圓的周長(zhǎng) ： C=2 r 圓環(huán)面積計(jì)算方法：或 C= d、圓的面積 ：S= R2- r 2或 S=（S= r 2R2-r 2） (R是大圓半徑，r 是小圓半徑）二、知識(shí)要點(diǎn)一、圓的概念集合形式的概

25、念：1 、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；固定的端點(diǎn)O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線；5、到兩條平行線距離相

26、等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn) C 在圓內(nèi)；Ad2、點(diǎn)在圓上d r點(diǎn) B 在圓上；rBO3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn) A 在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離dr無交點(diǎn)；2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；dCrd四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)d=rrddRr；dRr；RrdR r ；dRr；dRr；dddRrRrrR圖 1圖 2圖 3ddrRrR圖 4圖 5五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦

27、且平分弦所對(duì)的弧。推論 1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（ 2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（ 3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共 4 個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2 推 3 定理：此定理中共5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2 個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即： AB 是直徑 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 個(gè)條件推出其他3 個(gè)結(jié)論。推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在 O 中， AB CD弧 AC弧 BDACDOOABECDB六、圓心角定理頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或

28、等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱 1 推 3 定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1 個(gè)相等，則可以推出其它的E3 個(gè)結(jié)論，即： AOBDOE ； AB DE ；FO OC OF ； 弧 BA弧 BDDACB七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。C1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所對(duì)的圓心角和圓周角BOAOB2ACBA2、圓周角定理的推論：推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所對(duì)的圓周角DCCDBO

29、A推論 2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在 O 中， AB 是直徑或C90C90 AB 是直徑CBAOC推論 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中， OCOAOB ABC 是直角三角形或C90BAO注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在 O 中，CD四邊形 ABCD 是內(nèi)接四邊形 CBAD 180BD 180DAECBAE九、切線的性質(zhì)與判定定理（ 1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 過半徑 OA 外端 MN 是 O 的切線O（ 2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推