函數(shù)的最值復(fù)習(xí)

1、根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在例已知函數(shù)f ( x)log 3x2axb、 、x 2cx1，是否存在實數(shù)ab c，使 f ( x) 同時滿足下列三個條件：（ 1）定義域為 R 的奇函數(shù)；（ 2）在 1,上是增函數(shù)；（ 3）最大值是 1若存在，求出 a、b、 c；若不存在，說明理由分析： 本題是解決存在性的問題，首先假設(shè)三個參數(shù)a、b、c 存在，然后用三個已給條件逐一確定 a、b、c 的值解： f ( x) 是奇函數(shù)f (0)0log 3 b0,b1.又f ( x)f ( x) ，即x 2ax 1log 3x2ax 1 ，log 3 x2cx1x2cx1 x21 axx2 1 cx( x21)2

2、a2 x 2( x2 1)2c2 x2 x21cxx21ax a2c2ac 或 ac ，但 ac 時， f ( x)0 ，不合題意；故ac 這時f ( x)log 3x2cx1在 1,上是增函數(shù)，且最大值是1x2cx1設(shè) u(x)x2cx1上是增函數(shù)，且最大值是3x2cx在 1,1u (x)(2xc)( x2cx1)(2x c)( x2cx1)2c(x21)2c( x1)( x 1)( x2cx 1)2(x2cx1) 2( x2cx 1)2，當(dāng) x1 時 x210u ( x)0，故 c0 ；又當(dāng) x1時， u (x)0 ；當(dāng) x (1,1) 時，u ( x)0 ；故 c0 ，又當(dāng) x1時， u

3、 ( x)0 ，當(dāng) x(1,1)時， u ( x) 0所以 u(x) 在 (,1)(1,) 是增函數(shù)，在（1， 1）上是減函數(shù)又x1 時， x2cx1x2cx1,u(x) 1,x1時 u( x) 最大值為 3 1c13,c1, a1. 經(jīng)驗證： a1, b1, c1 時， f ( x) 符合題設(shè)條件，所1c1以存在滿足條件的a、b、c，即 a1, b1, c1.說明： 此題是綜合性較強的存在性問題，對于拓寬思路，開闊視野很有指導(dǎo)意義此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無技可施若用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃而解因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問題是很重要的數(shù)學(xué)方法切不可忘記供水站建在何處使水管費最

4、少例有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km 的 B 處，乙廠到河岸的垂足D 與 A 相距 50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a 元和 5a 元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？分析： 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式， 適當(dāng)選定變元， 構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系， 通過求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點 C 的位置解： 解法一：根據(jù)題意知，只有點C 在線段 AD 上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè) C 點距 D

5、點 x km ，則BD40, AC50x,BCBD2CD 2x2402 又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有y3a(50x)5ax2402 ( 0x50).y3a5ax0 ，解得 x 30.x2令 y402在（ 0，50）上， y 只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在 x30 （ km）處取得最小值，此時AC50 x20（ km ）供水站建在 A、D 之間距甲廠 20km 處，可使水管費用最省解法二：設(shè)BCD，則 BC40,CD40 cot,(0).sin2 AC 50 40 cot 設(shè)總的水管費用為f ( ) ，依題意，有f ()3a(5040 cot )5a40150a40a 53 co

6、ssinsin f() 40a(5 3cos) sin(53cos) (sin)sin23 5 cos40asin2令 f() 0，得 cos353根 據(jù) 問 題 的 實 際 意 義 ， 當(dāng) cos時 ， 函 數(shù) 取 得 最 小 值 ， 此 時435,cot50 40cot20 （ km），即供水站建在、sin, ACA D 之間距甲廠5420km 處，可使水管費用最省說明： 解決實際應(yīng)用問題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標函數(shù)把“問題情景”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題，再劃歸為常規(guī)問題， 選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解 對于這類問題， 學(xué)生往往忽視了數(shù)

7、學(xué)語言和普通語言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問題的最大思維障礙運算不過關(guān)，得不到正確的答案，對數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路， 在此正需要我們依據(jù)問題本身提供的信息， 利用所謂的動態(tài)思維， 去尋求有利于問題解決的變換途徑和方法，并從中進行一番選擇利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例求下列函數(shù)的最值：1 f ( x)3xx3 , (3x3) ；2 f ( x)sin 2xx, (x) ；223 f ( x)a 2b 2x1, a 0, b0)x1,( 0x4 f ( x)x1x 2 分析：函數(shù) f ( x) 在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)， 必有最大值和最小值， 因此，在求閉區(qū)間 a,b上函

8、數(shù)的最值時，只需求出函數(shù)f (x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的極值，然后與端點處函數(shù)值進行比較即可解： 1 f ( x)33x2 ，令 f ( x)0 ，得 x1 ， f (1)2, f ( 1)2 f ( x) max2, f (x)又 f (3)0, f (3)18.min18.2 f (x)2 cos2 x1，令 f ( x)0，得 x，6 f3, f3，262666又 f, f2222 f ( x) max2, f ( x) min.23 f(x)a2b2b2 x2a2 (1 x)2x2(1x) 2x2(1x) 2令 f ( x)0 ，即 b2 x2a 2 (1 x)20 ，解得 x

9、a .aaab當(dāng) 0 x0 ，當(dāng)a時， f (x)ax 1時， f ( x) 0 bab函數(shù) f ( x) 在點 x處取得極小值，也是最小值為abfa(ab) 2. 即 f ( x) min(ab)2 ab4函數(shù)定義域為1x 1 ，當(dāng) x(1,1) 時，f ( x) 1x.1x2令 f ( x)0，解得 x2， f2222 ，又 f (1)1, f(1)1， f ( x) max2, f ( x)min1.說明： 對于閉區(qū)間 a,b上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間(a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，求a,b 上最值可簡化過程，即直接將極值點與端點的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最小）的函數(shù)值，就是最大（或最小）

10、值解決這類問題，運算欠準確是普遍存在的一個突出問題，反映出運算能力上的差距 運算的準確要依靠運算方法的合理與簡捷， 需要有效的檢驗手段， 只有全方位的“綜合治理”才能在堅實的基礎(chǔ)上形成運算能力，解決運算不準確的弊病求兩變量乘積的最大值例 已知 x、y 為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式x22x 4 y20 ，求 x y 的最大值分析： 題中有兩個變量 x 和 y，首先應(yīng)選擇一個主要變量，將x、y 表示為某一變量（ x或 y 或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，同時根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值解： 解法一： 4 y22xx 2 ,y0,y12xx 2 ，2

11、x y1x2xx2 2由x0解得 0x2 2xx20設(shè) f ( x) xy1 x2x x2 (0x2).2當(dāng) 0x2 時， f ( x)12 xx2x(1x)22 xx2x(32x)22xx2令 f( x)0 ，得 x3（舍）或 x 02 f333，又 f (2)0 ，函數(shù) f (x) 的最大值為33 288即 xy 的最大值為 3 3 8解法二：由 x22x4y 20 得 ( x1)24 y21( x 0, y0) ，設(shè) x1cos, y1 sin( 0) ，1 sin21 xy(1cos) ，設(shè) f ()sin(1cos) ，212則 f()sin2(1cos)cos21 (2 cos2cos1)(cos1)cos1 .22令 f()0 ，得 cos1或 cos120,，此時 x3 , y3 .324 f33 ,f33 .