八年級數(shù)學等腰三角形和等邊三角形的軸對稱性江蘇科技版

1、初二數(shù)學初二數(shù)學等腰三角形和等邊三角形的軸對稱性等腰三角形和等邊三角形的軸對稱性江蘇科技版江蘇科技版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 等腰三角形和等邊三角形的軸對稱性 目標 探索等腰三角形及其特殊形式等邊三角形的軸對稱性及其相關性質(zhì)。 二. 重、難點： 1. 等腰三角形及其性質(zhì)和一個三角形是等腰三角形的條件； 2. 等邊三角形的概念及其性質(zhì)。 三. 知識要點： 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形是軸對稱圖形。 頂角平分線所在直線是它的對稱軸。 （2）等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的判別法） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、高重合，它們都是等腰三角形的對稱軸。 （簡稱“三線合

2、一” ） 等腰三角形的兩底角相等。 （簡稱“等邊對等角” ） 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。 （簡稱“等角對等邊” ） （3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 2. 等邊三角形 （a）三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。等邊三角形是一種特殊的等腰三 角形。 （b）等邊三角形特殊的性質(zhì)： 等邊三角形是軸對稱圖形，并且有 3 條對稱軸。 等邊三角形各角相等，并且每一個角都等于。 60 （有一個角是的等腰三角形是等邊三角形） 60 【典型例題典型例題】 例 1. 已知等腰三角形的周長為 10cm，那么當三邊為正整數(shù)時，它的邊長為（ ） （A）2，2，6（B）3，

3、3，4 （C）4，4，2（D）3，3，4 或 4，4，2 分析：分析：可采用排除法。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 2，2，6 不滿足；而 3，3，4 或 4，4，2 都滿足題意。 答：答：選 D。 例 2. O 為銳角ABC 的C 平分線上一點，O 關于 AC、BC 的對稱點分別為 P、Q，則 POQ 一定是（ ） （A）等邊三角形（B）等腰三角形 （C）直角三角形（D）等腰直角三角形 分析：分析：設 OP、OQ 分別交 AC、BC 于 E、F，由線段的對稱軸是它的垂直平分線知： OEAC，且 OEOP；同理 OFBC，且 OF OQ； 2 1 2 1 由角平分線的性質(zhì)知：O

4、EOF，則 OPOQ。POQ 一定是等腰三角形 答：答：選 B 例 3. （1）如果等腰直角三角形兩直角邊的和比斜邊長 4cm，那么斜邊長等于 _。 （2）等腰三角形的三個內(nèi)角與頂角的一個外角之和等于，則這個等腰三角形的 260 頂角等于_，底角等于_。 （3）等邊三角形的周長是 30cm，一邊上的高是 8cm，則三角形的面積為_ _。 解：解：（1）設斜邊長為cm，則直角邊長為，根據(jù)題意，。xx 2 2 4 2 2 2xx 解得cm)21 (4x （2）設頂角的一個外角為，則。 m 260180 m 而頂角的一個外角等于一個底角的 2 倍，所以等腰三角形的底角等于，頂角等于 40 。 100

5、 （3）等邊三角形三邊相等，則其邊長為，cm10 3 30 2 40810 2 1 cmS 例 4. 一個等腰三角形的一個內(nèi)角比另一個內(nèi)角的 2 倍少，求這個三角形的三個內(nèi)角30 的度數(shù)。 （考慮兩種情況） 解：解：設等腰三角形的底角為，則頂角為，則 x )302( x 180)302(xxx 解得： x 5 . 52)302( x 75 設等腰三角形的頂角為，則底角為，則x)302( x 180)302()302(xxx 解得： x 48)302( x 66 綜上可得：三個內(nèi)角的度數(shù)分別為，或，。 5 . 52 5 . 52 75 48 66 66 例 5. 如圖所示，點 D 在 AC 上，

6、點 E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEEB，求A 的度數(shù)。 C D A E B 解：解：設EBD，x DEEB，EDBEBD，x AEDEDB+EBD2（三角形外角不相鄰的兩個內(nèi)角和）x ADDE，AEDA2，CDBABD +A3（同上）xx BCBD，CCDB3，又ABAC，ABCC 3；xx 在ABC 中A+C+ABC，即 2+3+3 180 xxx 180 解得：x 5 . 22 A245x 例 6. 如圖，在 RtABC 中，ABAC，BD 平分B，DEBC，若 BC10cm，求 DCE 的周長。 A D C B E 解：解：BD 平分B， DAAB， DEBC ABB

7、E（易證 RtBADRtBED） 又ABAC BE， DE DA DCE 的周長EC+DE+DC EC+DA+DC EC+AC EC+BEBC10cm。 例 7. 已知：如圖，在ABC 中，ABAC，BDAC，求證：DBCA 2 1 A F D B E C 分析分析 1：用折半法。找出或作出較大角的一半的角，證明它與較小的角相等。 證法證法 1：作頂角平分線 AE。 AEBC（等腰三角形“三線合一” ） ， EAC+C （三角形內(nèi)角和定理） 9090180 BDAC（已知） ， DBC+C 9090180 DBC+CEAC+C（等量代換） DBCEAC EACA（角平分線定義） ， 2 1 D

8、BCA（等量代換） 2 1 分析分析 2：用加倍法。找出或作出等于較小角的兩倍的角，證明它與較大的角相等。 證法證法 2：作DBFDBC，BF 交 AC 于 F。 由作法得FBC2DBC，即DBCFBD。 在BFD 與BCD 中， BDCBDF DBFDBC BDBD 90 （垂直定義） （輔助線作法） （公共邊） BFDBCD（ASA） BFDC， FBC （三角形內(nèi)角和定理）CCBFD2180180 又CABC， ABC2C 180 180 FBCA（等量代換） DBCFBC（已證） ， 2 1 DBCA 2 1 【模擬試題模擬試題】 （答題時間：30 分鐘） 1. 下列說法正確的是（ ）

9、 （A）等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合 （B）頂角相等的兩個等腰三角形全等 （C）等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍 （D）等腰三角形的兩個底角相等 2. 中，有一點既在的對稱軸上，又在對稱軸上，則該點一ABC 90CBCAC 定是（ ） （A）點（B）中點（C）中點（D）中點CBCACAB 3. 已知中，且，則的取值范圍是（ ）ABCACAB B （A）（B） 45 900 （C）（D） 90 18090 4. 下列軸對稱圖形中，對稱軸最多的是（ ） （A）等腰直角三角形（B）有一角為的等腰三角形60 （C）正方形（D）圓 5. 在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BE、CD 分別是

10、底角的平分線，DEBC，圖中等 腰三角形的個數(shù)有（ ） A D E B C A. 3 個B. 4 個C. 5 個D. 6 個 6. （1）等腰三角形中有一個角為，則它的一條腰上的高與底邊的夾角為 52 _。 （2）等腰三角形的一個內(nèi)角為，則其它兩個內(nèi)角為_。110 （3）一個等腰三角形有兩邊分別為 4 cm 和 8cm，則周長是_cm。 （4）若等腰三角形的頂角為，則腰上的高與底邊的夾角為_。 120 7. 如圖，ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中點，點 E 在 AD 上，用軸對稱的性質(zhì)證明： BECE。 A E B D C 8. 等腰ABC 的腰長 AB10cm，AB 的垂直平分線交另

11、一腰 AC 于 D，BCD 的周長 為 26cm，則底邊 BC 的長是多少？ A D B C B C 9. 如圖，有三條交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路交叉所形成的區(qū)域內(nèi)建一貨運站，使得貨 運站到三條公路交叉點的路程一樣長，請問如何確定貨運站的位置？簡單敘述你的方法。 10. 用 13 種方法，將一個等邊三角形分割成 4 個等腰三角形。 試題答案試題答案 1. D2. D3. B4. D 5.D 6. （1）或；（2）；（3）20；（4） 38 26 35,35 60 7. 證明： ABC 中，ABAC，BDCD（已知） ， ADBC（等腰三角形“三線合一” ） ， AD 垂直平分線段 BC， 點 C 和點 B 關于直線 AD 對稱， 又