八年級(jí)數(shù)學(xué)等腰三角形和等邊三角形的軸對(duì)稱性江蘇科技版

1、初二數(shù)學(xué)初二數(shù)學(xué)等腰三角形和等邊三角形的軸對(duì)稱性等腰三角形和等邊三角形的軸對(duì)稱性江蘇科技版江蘇科技版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 等腰三角形和等邊三角形的軸對(duì)稱性 目標(biāo) 探索等腰三角形及其特殊形式等邊三角形的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)。 二. 重、難點(diǎn)： 1. 等腰三角形及其性質(zhì)和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件； 2. 等邊三角形的概念及其性質(zhì)。 三. 知識(shí)要點(diǎn)： 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。 頂角平分線所在直線是它的對(duì)稱軸。 （2）等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的判別法） 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、高重合，它們都是等腰三角形的對(duì)稱軸。 （簡(jiǎn)稱“三線合

2、一” ） 等腰三角形的兩底角相等。 （簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角” ） 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。 （簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊” ） （3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 2. 等邊三角形 （a）三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。等邊三角形是一種特殊的等腰三 角形。 （b）等邊三角形特殊的性質(zhì)： 等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有 3 條對(duì)稱軸。 等邊三角形各角相等，并且每一個(gè)角都等于。 60 （有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形） 60 【典型例題典型例題】 例 1. 已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 10cm，那么當(dāng)三邊為正整數(shù)時(shí)，它的邊長(zhǎng)為（ ） （A）2，2，6（B）3，

3、3，4 （C）4，4，2（D）3，3，4 或 4，4，2 分析：分析：可采用排除法。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 2，2，6 不滿足；而 3，3，4 或 4，4，2 都滿足題意。 答：答：選 D。 例 2. O 為銳角ABC 的C 平分線上一點(diǎn)，O 關(guān)于 AC、BC 的對(duì)稱點(diǎn)分別為 P、Q，則 POQ 一定是（ ） （A）等邊三角形（B）等腰三角形 （C）直角三角形（D）等腰直角三角形 分析：分析：設(shè) OP、OQ 分別交 AC、BC 于 E、F，由線段的對(duì)稱軸是它的垂直平分線知： OEAC，且 OEOP；同理 OFBC，且 OF OQ； 2 1 2 1 由角平分線的性質(zhì)知：O

4、EOF，則 OPOQ。POQ 一定是等腰三角形 答：答：選 B 例 3. （1）如果等腰直角三角形兩直角邊的和比斜邊長(zhǎng) 4cm，那么斜邊長(zhǎng)等于 _。 （2）等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角與頂角的一個(gè)外角之和等于，則這個(gè)等腰三角形的 260 頂角等于_，底角等于_。 （3）等邊三角形的周長(zhǎng)是 30cm，一邊上的高是 8cm，則三角形的面積為_(kāi) _。 解：解：（1）設(shè)斜邊長(zhǎng)為cm，則直角邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，。xx 2 2 4 2 2 2xx 解得cm)21 (4x （2）設(shè)頂角的一個(gè)外角為，則。 m 260180 m 而頂角的一個(gè)外角等于一個(gè)底角的 2 倍，所以等腰三角形的底角等于，頂角等于 40 。 100

5、 （3）等邊三角形三邊相等，則其邊長(zhǎng)為，cm10 3 30 2 40810 2 1 cmS 例 4. 一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角比另一個(gè)內(nèi)角的 2 倍少，求這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角30 的度數(shù)。 （考慮兩種情況） 解：解：設(shè)等腰三角形的底角為，則頂角為，則 x )302( x 180)302(xxx 解得： x 5 . 52)302( x 75 設(shè)等腰三角形的頂角為，則底角為，則x)302( x 180)302()302(xxx 解得： x 48)302( x 66 綜上可得：三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為，或，。 5 . 52 5 . 52 75 48 66 66 例 5. 如圖所示，點(diǎn) D 在 AC 上，

6、點(diǎn) E 在 AB 上，且 ABAC，BCBD，ADDEEB，求A 的度數(shù)。 C D A E B 解：解：設(shè)EBD，x DEEB，EDBEBD，x AEDEDB+EBD2（三角形外角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和）x ADDE，AEDA2，CDBABD +A3（同上）xx BCBD，CCDB3，又ABAC，ABCC 3；xx 在ABC 中A+C+ABC，即 2+3+3 180 xxx 180 解得：x 5 . 22 A245x 例 6. 如圖，在 RtABC 中，ABAC，BD 平分B，DEBC，若 BC10cm，求 DCE 的周長(zhǎng)。 A D C B E 解：解：BD 平分B， DAAB， DEBC ABB

7、E（易證 RtBADRtBED） 又ABAC BE， DE DA DCE 的周長(zhǎng)EC+DE+DC EC+DA+DC EC+AC EC+BEBC10cm。 例 7. 已知：如圖，在ABC 中，ABAC，BDAC，求證：DBCA 2 1 A F D B E C 分析分析 1：用折半法。找出或作出較大角的一半的角，證明它與較小的角相等。 證法證法 1：作頂角平分線 AE。 AEBC（等腰三角形“三線合一” ） ， EAC+C （三角形內(nèi)角和定理） 9090180 BDAC（已知） ， DBC+C 9090180 DBC+CEAC+C（等量代換） DBCEAC EACA（角平分線定義） ， 2 1 D

8、BCA（等量代換） 2 1 分析分析 2：用加倍法。找出或作出等于較小角的兩倍的角，證明它與較大的角相等。 證法證法 2：作DBFDBC，BF 交 AC 于 F。 由作法得FBC2DBC，即DBCFBD。 在BFD 與BCD 中， BDCBDF DBFDBC BDBD 90 （垂直定義） （輔助線作法） （公共邊） BFDBCD（ASA） BFDC， FBC （三角形內(nèi)角和定理）CCBFD2180180 又CABC， ABC2C 180 180 FBCA（等量代換） DBCFBC（已證） ， 2 1 DBCA 2 1 【模擬試題模擬試題】 （答題時(shí)間：30 分鐘） 1. 下列說(shuō)法正確的是（ ）

9、 （A）等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合 （B）頂角相等的兩個(gè)等腰三角形全等 （C）等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍 （D）等腰三角形的兩個(gè)底角相等 2. 中，有一點(diǎn)既在的對(duì)稱軸上，又在對(duì)稱軸上，則該點(diǎn)一ABC 90CBCAC 定是（ ） （A）點(diǎn)（B）中點(diǎn)（C）中點(diǎn)（D）中點(diǎn)CBCACAB 3. 已知中，且，則的取值范圍是（ ）ABCACAB B （A）（B） 45 900 （C）（D） 90 18090 4. 下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸最多的是（ ） （A）等腰直角三角形（B）有一角為的等腰三角形60 （C）正方形（D）圓 5. 在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BE、CD 分別是

10、底角的平分線，DEBC，圖中等 腰三角形的個(gè)數(shù)有（ ） A D E B C A. 3 個(gè)B. 4 個(gè)C. 5 個(gè)D. 6 個(gè) 6. （1）等腰三角形中有一個(gè)角為，則它的一條腰上的高與底邊的夾角為 52 _。 （2）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則其它兩個(gè)內(nèi)角為_(kāi)。110 （3）一個(gè)等腰三角形有兩邊分別為 4 cm 和 8cm，則周長(zhǎng)是_cm。 （4）若等腰三角形的頂角為，則腰上的高與底邊的夾角為_(kāi)。 120 7. 如圖，ABC 中，ABAC，D 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在 AD 上，用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明： BECE。 A E B D C 8. 等腰ABC 的腰長(zhǎng) AB10cm，AB 的垂直平分線交另

11、一腰 AC 于 D，BCD 的周長(zhǎng) 為 26cm，則底邊 BC 的長(zhǎng)是多少？ A D B C B C 9. 如圖，有三條交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路交叉所形成的區(qū)域內(nèi)建一貨運(yùn)站，使得貨 運(yùn)站到三條公路交叉點(diǎn)的路程一樣長(zhǎng)，請(qǐng)問(wèn)如何確定貨運(yùn)站的位置？簡(jiǎn)單敘述你的方法。 10. 用 13 種方法，將一個(gè)等邊三角形分割成 4 個(gè)等腰三角形。 試題答案試題答案 1. D2. D3. B4. D 5.D 6. （1）或；（2）；（3）20；（4） 38 26 35,35 60 7. 證明： ABC 中，ABAC，BDCD（已知） ， ADBC（等腰三角形“三線合一” ） ， AD 垂直平分線段 BC， 點(diǎn) C 和點(diǎn) B 關(guān)于直線 AD 對(duì)稱， 又