范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用

1、目 錄1引言12范德蒙行列式的基本性質(zhì)12.1范德蒙行列式的證明12.2范德蒙行列式的性質(zhì)23范德蒙行列式的推廣33.1跳行范德蒙行列式33.2合流范德蒙行列式44范德蒙行列式的應(yīng)用54.1范德蒙行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用54.2范德蒙行列式在微積分中的應(yīng)用74.3范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用94.4范德蒙行列式在線性變換理論中的應(yīng)用104.5范德蒙行列式在數(shù)列拆項(xiàng)中的應(yīng)用124.6范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用135結(jié) 論15參考文獻(xiàn)16致 謝17范德蒙行列式的推廣和應(yīng)用Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx指導(dǎo)教師： xxxxxxx摘 要：范德蒙行列式是線性代數(shù)中著名的行列式，

2、它構(gòu)造獨(dú)特、形式優(yōu)美，更由于它有廣泛的應(yīng)用，因而成為一個(gè)著名的行列式。它的證明過程是典型行列式定理及數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用。本文通過對(duì)階范德蒙行列式的計(jì)算, 討論它的各種位置變化規(guī)律, 介紹了如何構(gòu)造范德蒙行列式進(jìn)行行列式計(jì)算，以及探討了范德蒙行列式在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：范德蒙行列式，向量空間理論，線性變換理論，微積分，等差數(shù)列拆項(xiàng)。Application and Popularization of Vandermonde determinant Xxxxxxxxxxxxxx Class xxxxx, Mathematics DepartmentTutor: x

3、xxxxxxxxxxxxAbstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. Its proof process is typical determinant theorem and comprehe

4、nsive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,descryibes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde

5、determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.Key words: Vandermonde determinant,theory of vector spaces,linear transformation theory,infinitesimal calculus.1引言行列式是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式，其定義域?yàn)閿?shù)域上的的矩陣的全體構(gòu)成的集合，取值為一個(gè)標(biāo)量，寫作或 . 行列式可以看做是有向面積或體積的

6、概念在一般的歐幾里得空間中的推廣，或者說，在維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。作為一種特殊的行列式范德蒙行列式，是一類很重要的行列式。范德蒙行列式作為一種重要的行列式，在計(jì)算的過程中可以將一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，從而能夠簡(jiǎn)化計(jì)算，有利于行列式的計(jì)算。范德蒙行列式的應(yīng)用也比較廣泛，不僅應(yīng)用于一些行列式的計(jì)算當(dāng)中，而且它可以應(yīng)用于證明行列式的問題和一些關(guān)于多項(xiàng)式方面以及某些特征向量線性無關(guān)等問題上。2 范德蒙行列式的

7、基本性質(zhì)我們首先來介紹范德蒙行列式的定義及其計(jì)算方法，形如行列式 （1）稱為階的范德蒙（）行列式。接下來我們證明，對(duì)任意的，階范德蒙行列式的結(jié)果為.2.1 范德蒙行列式的證明用數(shù)學(xué)歸納法證明范德蒙德行列式，我們對(duì)作歸納法：（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)果是對(duì)的。（2）假設(shè)對(duì)于級(jí)的范德蒙行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在來看級(jí)的情況。在 中，第行減去第行的倍，第行減去第行的倍，也就是由下而上依次地從每一行減去它上一行的倍，有=2.2 范德蒙行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì)容易推得： 若將范德蒙行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),可得 若將范德蒙行列順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得 若將范德蒙行列式旋轉(zhuǎn)，可得3 范德蒙行列式的推廣3.1 跳行范德蒙行列式跳行范德蒙

8、行列式為如下形式：，為了計(jì)算該行列式，構(gòu)造多項(xiàng)式如下：.該行列式中第行、第列元素的代數(shù)余子式為 ，由式可得的系數(shù)為，其中是中個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，表示所有階排列的和。比較的系數(shù)可得；。特別的，當(dāng)并取時(shí)，即可得范德蒙行列式。3.2 合流范德蒙行列式給定個(gè)互不相等的數(shù)和正整數(shù)，記，我們稱如下形式的階行列式： （2）為合流范德蒙行列式，當(dāng),且時(shí)，是通常的范德蒙行列式。定理1：階合流范德蒙行列式.證明:設(shè)維向量滿足比較上式（2）邊的系數(shù)，可知，且或有 （3），構(gòu)造階矩陣,其中是第個(gè)分量為1、其余分量為0的維列向量，則是下三角矩陣。由式可得，其中 ，于是，有；利用上述遞推公式，可得. 4 范德蒙行列式的應(yīng)用4

9、.1 范德蒙行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用若第行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含相同分行（列）；且中含有由個(gè)分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。例 1 計(jì)算解：將的第一行的倍加到第二行得：再將上式得第二行的倍加到第三行得：再將上式的第三行的倍加到第四行得：即為范德蒙行列式。所以 ，例 2 計(jì)算當(dāng)中至少有兩個(gè)相等，則；當(dāng)各不相等時(shí)，因?yàn)樾辛谢Q行列式不變，所以構(gòu)造線性方程組 由于方程組的系數(shù)行列式故方程組有唯一解，這里為中第列用常數(shù)代替所得行列式。所以，再作元實(shí)次方程： 由知為方程的個(gè)不同的根，由根

10、與系數(shù)可知：所以 .4.2 范德蒙行列式在微積分中的應(yīng)用例3 在上連續(xù)，在內(nèi)存在2階導(dǎo)數(shù)，證明： 上有，這里。特別的，存在，使.證： 在上構(gòu)造函數(shù)，為范德蒙行列式， 則在上連續(xù)，在內(nèi)存在2階導(dǎo)數(shù)。因，故有中值定理，存在，使，故再運(yùn)用一次中值定理，存在，使，即=0展開行列式即得：特別的，取，則有相應(yīng)的，使上式成立，即化簡(jiǎn)即得例4設(shè)函數(shù)在附近存在連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，并且有，若為一組兩兩互異的實(shí)數(shù)，證明，存在唯一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是高階的無窮小。證明：由題設(shè)條件可得：在處帶有皮亞諾型余項(xiàng)的馬克勞林展開式：，當(dāng)時(shí)，若為高階的無窮小。則，這是以為未知數(shù)的線性方程組，其系數(shù)行列式為：故上述方程組有唯一解，即

11、存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，是高階的無窮小。4.3 范德蒙行列式在向量空間理論中的應(yīng)用在向量空間理論中，我們會(huì)經(jīng)常遇到需要用范德蒙行列式轉(zhuǎn)化的問題，通過轉(zhuǎn)化，我們很容易就能得到需要的結(jié)論。例5 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，任給正整數(shù)，則在中存?zhèn)€向量，其中任取個(gè)向量都線性無關(guān)。證明：因?yàn)樗灾豁氃谥锌紤]就行了，取令 ,；則 是范德蒙行列式，因?yàn)?，所以線性無關(guān)。例 6 設(shè)是數(shù)域上的維向量空間，則的有限個(gè)真子空間不能覆蓋證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立。當(dāng)時(shí)，令是的一個(gè)基，設(shè)，其中，為中元素之集合。令，為單位向量。則易證是雙射，從而S中有無窮多個(gè)不同的元素。設(shè)為的真子空間，則中的元素在中的個(gè)數(shù)小于，否則，若則由，知

12、系數(shù)行列式為非零的范德蒙行列式，故有，進(jìn)而矛盾.從而中只有有限多個(gè)元素在中，而S中有無窮多個(gè)元素，所以存在，但，即V的有限個(gè)真子空間不能覆蓋其自身。4.4范德蒙行列式在線性變換理論中的應(yīng)用在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，線性變換一直是一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，題目的變化也比較多，在有些題目中，我們可以巧妙的運(yùn)用范德蒙行列式來解決這類題目。例 7 設(shè)數(shù)域上的維向量空間的線性變換有個(gè)互異的特征值，則與可交換的的線性變換都是:（1）的線性組合，這里的為恒等變換；（2） 線性無關(guān)的充要條件為 這里，證明：設(shè)是與可交換的線性變換，且，則是的不變子空間,令且,則由以下方程組 因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式是范德蒙行列式，且，所以方

13、程組有唯一解，故是的線性組合。（2）充分性因?yàn)?所以并且 ，所以 是可逆矩陣，又因?yàn)槭堑囊唤M基，線性無關(guān)。必要性設(shè)是分別屬于的特征向量，則構(gòu)成的一個(gè)基，因而有. 若,則是的屬于的特征向量，故結(jié)論成立。若存在，使,不妨設(shè)全不為零，因而有，則利用范德蒙行列式可知有一個(gè)階子式不為零，所以，從而,又因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)，矛盾，從而.4.5范德蒙行列式在數(shù)列拆項(xiàng)中的應(yīng)用設(shè)是等差數(shù)列，公差，則當(dāng)時(shí)，有；將此拆項(xiàng)公式推廣之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)拆項(xiàng)公式與范德蒙行列式有著密切的關(guān)系。設(shè)是等差數(shù)列中任意個(gè)數(shù),公差，因?yàn)?，所以： 其中是關(guān)于的階范德蒙行列式，分別是關(guān)于的2階范德蒙行列式。一般的，因?yàn)?，所?.故我

14、們猜想上式拆成項(xiàng)和時(shí)，也與階范德蒙行列式和階范德蒙行列式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。定理5 設(shè)是等差數(shù)列中任意個(gè)數(shù)，公差，則即時(shí)結(jié)論也成立；故由歸納原理知，結(jié)論對(duì)任意正整數(shù)都成立。4.6范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用在多項(xiàng)式理論中，涉及到求根問題的有許多.在分析有些問題時(shí)，范德蒙行列式能夠起到關(guān)鍵作用的，若能夠熟練有效地運(yùn)用范德蒙行列式，則對(duì)我們最終解決問題會(huì)有直接的幫助。例8 證明: 一個(gè)次多項(xiàng)式至多有個(gè)互異根。證明：不妨設(shè)，如果 ，有個(gè)互異的零點(diǎn)，則有,；即 ，這個(gè)關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙行列式 因此方程組只有零解，即，這個(gè)矛盾表明，至多有n個(gè)互異根。例 9 證明：對(duì)平面上個(gè)點(diǎn)，其中互不相

15、等,則必存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式通過該個(gè)點(diǎn)，即。證明：設(shè)，要使，即滿足關(guān)于的線性方程組：， 而該方程組的系數(shù)行列式為范德蒙行列式：當(dāng)互不相等時(shí)該行列式不為零，由Cramer定理知方程組有唯一解，即對(duì)平面上個(gè)點(diǎn)，其中互不相等，則必存在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過的多項(xiàng)式通過該個(gè)點(diǎn)。結(jié) 論行列式在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域及其他學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用，并且行列式還有著悠久的歷史。自1545年，卡當(dāng)給出了兩個(gè)一次方程組的解法，到1683年日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和首次引進(jìn)了行列式的概念開始，再到1771年，范德蒙德不僅把行列式應(yīng)用于解線性方程組，而且對(duì)行列式理論本身進(jìn)行了開創(chuàng)性研究，人們逐漸對(duì)行列式進(jìn)行更深的研究，第一個(gè)

16、給出行列式系統(tǒng)理論的是偉大數(shù)學(xué)家柯西。而范德蒙行列式是一類特殊的行列式，它有著獨(dú)特的形式及其簡(jiǎn)明的計(jì)算結(jié)果，所以范德蒙行列式不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著重要地位，而且在各個(gè)領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用，范德蒙行列式不僅在行列式理論中有著重要的應(yīng)用，而且在向量空間理論、線性變換理論以及微積分中都有廣泛的應(yīng)用。本文先介紹了行列式的性質(zhì)及其在計(jì)算中的應(yīng)用，進(jìn)而給出了范德蒙行列式的證明過程、性質(zhì)、以及在行列式計(jì)算的應(yīng)用，比如在我們運(yùn)用范德蒙行列式進(jìn)行計(jì)算或者變換時(shí)，有些行列式經(jīng)過簡(jiǎn)單變形后便可應(yīng)用范德蒙行列式，但是有些行列式則需要經(jīng)過增加一行一列才可以應(yīng)用范德蒙行列式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 我們還介紹了范德蒙行列式

17、在多項(xiàng)式理論、解線性方程組中的應(yīng)用。范德蒙德行列式的結(jié)論計(jì)算并不復(fù)雜,難的是如何將給定的行列式化成范式的標(biāo)準(zhǔn)形式。最后介紹了范德蒙行列式的兩種推廣形式，讓我們進(jìn)一步了解范德蒙行列式，方便我們將行列式化為標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式。這就需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)中不斷總結(jié)，不斷探索關(guān)于范德蒙行列式的規(guī)律，只有熟能生巧，才能更好的掌握范德蒙行列式的相關(guān)知識(shí)。參考文獻(xiàn)1 張賢科, 許甫華. 高等代數(shù)M. 清華大學(xué)出版社, 1998.2 盧剛, 馮翠蓮. 線性代數(shù)M .北京大學(xué)出版社, 2006, 6.3 宴林. 范德蒙行列式的應(yīng)用J .文山師范高等?？茖W(xué)報(bào), 2008, 13(2):55-57.4 劉建中, 范德蒙行列

18、式的一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用J. 河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然 科學(xué)版）, 2010,20(1):84-85. 5 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的經(jīng)典問題與方法北京M. 高等教育出版社, 1998, 17-28.6 毛綱源. 線性代數(shù)解題方法技巧歸納M. 華中科技大學(xué)出版社, 2000.7 李建武. 楊輝三角與數(shù)列拆項(xiàng)J. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2012, (11).8 毛綱源. 線性代數(shù)解題方法技巧歸納M. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2000.23-36.9 張?jiān)诿? 幾個(gè)涉及指數(shù)函數(shù)的不等式J.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考書，2002，(17) .10 龐金彪，鹿琳. 范德蒙行列式的推廣及其在教學(xué)中的應(yīng)用J. 數(shù)學(xué)通報(bào)， 1992，(11) :3942.致 謝歷時(shí)將近兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困