圓錐曲線典型易錯(cuò)題會(huì)診

1、圓錐曲線典型易錯(cuò)題會(huì)診考點(diǎn)9圓錐曲線 對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查 對(duì)雙曲線相關(guān)知識(shí)的考查 對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查 對(duì)直線與圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的考查 對(duì)軌跡問題的考查 考察圓錐曲線中的定值與最值問題 橢圓 雙曲線 拋物線 直線與圓錐曲線 軌跡問題 圓錐曲線中的定值與最值問題典型易錯(cuò)題會(huì)診命題角度1對(duì)橢圓相關(guān)知識(shí)的考查 1(典型例題)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1、f2，過f2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)p，若flpf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 ( ) 考場(chǎng)錯(cuò)解 a 專家把脈 沒有很好地理解橢圓的定義，錯(cuò)誤地把當(dāng)作離心率 對(duì)癥下藥 d 設(shè)橢圓的方程為=l (a，b 0) 由題意可設(shè)|pf2|=|f1f

2、2|=k，|pf1|=k，則e=2(典型例題)設(shè)雙曲線以橢圓=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為 ( ) a2 b c d 考場(chǎng)錯(cuò)解 d 由題意得a=5，b=3，則c=4而雙曲線以橢圓=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，則a=c =4，b=3 k= 專家把脈 沒有很好理解a、b、c的實(shí)際意義 對(duì)癥下藥 c 設(shè)雙曲線方程為=1，則由題意知c=5，=4 則a2=20 b2=5，而a=2 b= 雙曲線漸近線斜率為= 3(典型例題)從集合1，2，3，11中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程=1中的m和n，則能組成落在矩形區(qū)域b=(x，y)x|11，且|y|9內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為 ( ) a43

3、 b72 c86 d90 考場(chǎng)錯(cuò)解 d 由題意得，m、n都有10種可能，但mn故橢圓的個(gè)數(shù)1010-10=90 專家把脈 沒有注意，x、y的取值不同 對(duì)癥下藥 b 由題意得m有10種可能，n只能從集合11，2，3，4，5，6，7，81中選取，且mn，故橢圓的個(gè)數(shù)：108-8=724(典型例題)設(shè)直線l與橢圓=1相交于a、b兩點(diǎn)，l又與雙曲線x2-y2=1相交于c、d兩點(diǎn)，c、d三等分線段ab，求直線l的方程 ( ) 考場(chǎng)錯(cuò)解 設(shè)直線l的方程為y=kx+b 如圖所示，l與橢圓，雙曲線的交點(diǎn)為a(x1，y1)、b (x2，y2)、c(x3，y3)、d(x4，y4)，依題意有=3 由 所以x1+x2

4、=- 由得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 (2) 若k=1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k1 所以x3+x4=、由x3-x1=x2-x4 x1+x2=x3+x4-bk=0或b =0 當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得x1、2= 由(2)得x3、4=由=3(x4-x1)即 故l的方程為y= 當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2=，由(2)得x3、4=由=3(x4-x3)即綜上所述：直線l的方程為：y= 專家把脈 用斜截式設(shè)直線方程時(shí)沒有注意斜率是否存在，致使造成思維片面，漏解 對(duì)癥下藥 解法一：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的，情況設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，l與橢圓、雙曲線的交

5、點(diǎn)為：a(x1，y1)、b(x2， y2)、c(x3，y3)、d(x4，y4)，依題意有 由得(16+25k2)x2+50bkx+(25b2-400)=0(1) 所以x1+x2=- 由得(1-k2+x2-2bkx-(b2+1)=0 若k=1，則l與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k1 所以x3+x4=由x1+x2=x2+x4或 b=0當(dāng)k=0時(shí)，由(1)得 由(2)得x3、4=由(x4-x3) 即故l的方程為 y= 當(dāng)b=0時(shí)，由(1)得x1、2= 自(2)得x3、4=(x4-x3)即 故l的方程為y=再討論l與x軸垂直時(shí)的情況 設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得yl、

6、2=y3、4=即綜上所述，直線l的方程是：y=x、y=和x=解法二：設(shè)l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為： a(x1，y1)、b(x2，y2)、c(x3，y3)、d(x4，y4)，則有由i的兩個(gè)式子相減及j的兩個(gè)式子相減，得：因c、d是ab的三等分點(diǎn)，故cd的中點(diǎn)(x0，y0)與ab的中點(diǎn)重合，且于是x0=y0=x2-x1=3 (x4-x3)因此若x0y00，則x2=x1x4=x3y4=y3y2=y1因a、b、c、d互異，故xixj，yiyj，這里ij=1，2，3，4且 ij(1)(2)得16=-25，矛盾，所以x0y0=0當(dāng)x0=0，y00時(shí)，由(2)得y4=y30，這時(shí)l平行 x軸設(shè)l的方程為y=b

7、，分別代入橢圓、雙曲線方程得：xl、2=x3、4=x2-x1=3(x4-x3)故l的方程為y=當(dāng)y0=0，x00，由(2)得x4=x30，這時(shí)l平行y軸設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：yl、2=y3、4=y2-y1=3(y4-y3) 故l的方程為：當(dāng)x0=0，y0=0時(shí)，這時(shí)l通過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：x1、2=故l的方程為y=綜上所述，直線l的方程是：y=、y=和x= 5(典型例題)設(shè)a、b是橢圓3x2+y2=上的兩點(diǎn)，點(diǎn)n(1，3)是線段ab的中點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與橢圓相交于c、d兩點(diǎn) (1)確定a的取值范圍，并求直線

8、ab的方程； ()試判斷是否存在這樣的a，使得a、b、c、d四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說明理由(此題不要求在答題卡上畫圖)考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)設(shè)a(x1，y1)b(x2，y2)則有:(x1-x2)(x1+x2)+(yl-y2)(yl+y2)=0 依題意，x1x2 kab-n(1，3)是ab的中點(diǎn)，x1+x2=2,yl+y2=6從而kab=-9 又由n(1，3)在橢圓內(nèi)，312+32=12應(yīng)用結(jié)論時(shí)也易混淆 對(duì)癥下藥 (1)解法1：依題意，可設(shè)直線ab的方程為y=a(x-1)+3，代入3x2+y2=，整理得(k2+3)x2-2k(k-3)x+(k-3)2-=0 設(shè)a(x1，y1)、b(x2、y2)，則x1

9、，x2是方程的兩個(gè)不同的根， =4(k2+3)-3(k-3)20， 且x1+x2=，由n(1，3)是線段ab的中點(diǎn)，得，a(k-3)=k2+3 解得k=-1，代入得，12，即的取值范圍是(12，+) 于是，直線ab的方程為y-3=-(x-1)，即x+y-4=0 解法2：設(shè)a(x1，y1)、b(x2，y2)，則有 (x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0 依題意，x1x2，kab=- n(1，3)是ab的中點(diǎn)，x1+x2=2，yl+y2=6，從而kab=-1 又由n(1，3)在橢圓內(nèi)，312+32=12， 的取值范圍是(12，)直線ab的方程為y-3=-(x-1)，即x+y

10、-4=0 ()解法1：cd垂直平分ab，直線cd的方程為y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4又設(shè)c(x3，y3)，d(x4，y4)，cd的中點(diǎn)為m(x0，y0)，則x3， x4是方程的兩根，x3+x4=-1，且x0=(x3+x4)=-，y0=x0+2=，即m(-，)于是由弦長(zhǎng)公式可得|cd|= 將直線ab的方程x+y-4=0，代入橢圓方程得4x2-8x+ 16-=0 同理可得|ab|= 當(dāng)12時(shí)，,|ab|12，使得a、b、c、d四點(diǎn)共圓，則cd必為圓的直徑，點(diǎn)m為圓心點(diǎn)m到直線ab的距離為d=于是，由、式和勾股定理可得 |ma|2=|mb|2=d2+故當(dāng)1

11、2時(shí)，a、b、c、d四點(diǎn)均在以m為圓心，為半徑的圓上 (注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：) a、b、c、d共圓acd為直角三角形，a為直角|an|2 =|cn|dn|，即. 由式知，式左邊=,由和知，式右邊=式成立，即a、b、c、d四點(diǎn)共圓解法2：由()解法1及12， cd垂直平分ab，直線cd方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x2+4x+4-=0將直線ab的方程x+y-4=0，代入橢圓方程，整理得 4x2-8x+16-=0解和式可得 xl，2=不妨設(shè)a(1+計(jì)算可得,a在以cd為直徑的圓上又b為a關(guān)于cd的對(duì)稱點(diǎn)，a、b、c、d四點(diǎn)共圓 (注：也可用勾股定理證明acad)專

12、家會(huì)診 1重點(diǎn)掌握橢圓的定義和性質(zhì)，加強(qiáng)直線與橢圓位置關(guān)系問題的研究2.注重思維的全面性，例如求橢圓方程時(shí)只考慮到焦點(diǎn)在，軸上的情形；研究直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)忽略了斜率不存在的情形3注重思想方法的訓(xùn)練，在分析直線與橢圓位置關(guān)系時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式韋達(dá)定理聯(lián)系去解決；關(guān)于參數(shù)范圍問題常用思路有：判別式法，自身范圍法等求橢圓的方程常用方法有：定義法，直接法，待定系數(shù)法，相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法等考場(chǎng)思維調(diào)練 1 已知橢圓的中心o是坐標(biāo)原點(diǎn)，a是它的左頂點(diǎn)，f是它的左焦點(diǎn)，l1，l2分別為左右準(zhǔn)線，l1與x軸交于o，p、q兩點(diǎn)在橢圓上，且pml1于m,pnl2于n，qfao，則下列比值中等

13、于橢圓離心率的有( ) a.1個(gè) b2個(gè) c.4個(gè) d5個(gè) 答案： c 解析：對(duì)(1)，(4)的正確性容易判斷；對(duì)(3)，由于=e，故(3)正確；對(duì)(5)，可求得|qf|= |bf|=,故(5)正確；(2)顯然不對(duì)，所選c2 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從隨圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓壁反射后，反射光線經(jīng)過隨圓的另一個(gè)焦點(diǎn)今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)a、b是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，焦距為2c，靜放在點(diǎn)a的小球 (小球的半徑不計(jì))，從點(diǎn)a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)a時(shí)，小球經(jīng)過的路程是 ( ) a4a b2(a-c) c.2(a+c) d以上答案均有可能答案： d 解析：(1)靜放

14、在點(diǎn)a的小球(小球的半徑不計(jì))從點(diǎn)a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)a時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2(d-c)，則選b；(2)靜放在點(diǎn)a的小球(小球的半徑不計(jì))從點(diǎn)a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁左頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)a時(shí)，小 球經(jīng)過的路程是2(a+c)，則選c；(3)靜放在點(diǎn)a的小球(小球的半徑不計(jì))從點(diǎn)a沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁非左右頂點(diǎn)反彈后第一次回到點(diǎn)a時(shí)，小球經(jīng)過的路程是4a，則選a.于是三種情況均有可能，故選d.3 已知橢圓+y2=1(a1)，直線l過點(diǎn)a(-a，0)和點(diǎn)b(a，ta)(tt0)交橢圓于m直線mo交橢圓于n (1)用a，t表示amn的面積s； (2)若t1，2，a為定值，求

15、s的最大值 答案：易得l的方程為了y=(x+a)1分由得(a2t2+4)y2-4aty=0解得了y=0或y=即點(diǎn)m的縱坐標(biāo)ym=s=samn=2saom=|oa|ym= (2)由(1)得， s= (t0)令v=+a2t，v=-+a2由v=o當(dāng)時(shí)t時(shí)，v0；當(dāng)0t時(shí)，v2，則00，b0)的右焦點(diǎn)為f，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)a，oaf的面積為(o為原點(diǎn))，則兩條漸近線的夾角為 ( ) a30 b45 c60 d90 考場(chǎng)錯(cuò)解 b 專家把脈 把兩條漸近線的夾角看成漸近線的傾斜角 對(duì)癥下藥 d 由題意得a()soaf=c，則兩條漸近線為了y=x與y=-x則求兩條漸近線的夾角為90 3(典型例題)雙曲

16、線=1(a1，b0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a，0)和(0,b)，且點(diǎn)(1，0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1，0)到直線l的距離之和sc，求雙曲線的離心率e的取值范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 直線l的方程為=1即bx+ay-ab=0點(diǎn)(-1，0)到直線l的距離：，點(diǎn)(1，0)到直線l的距離: +=得5a于是得5 即4e4-25e2+250解不等式得e25，所以e的取值范圍是 專家把脈 沒有理解雙曲線離心率的意義及自身存在的范圍e1 對(duì)癥下藥 解法：直線j的方程為=1，即 bx+ay-ab=0由點(diǎn)到直線的距離公式，且a1，得到點(diǎn)(1，0)到直線l的距離d1=同理得到點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離d2=s=d1+d

17、2=由解不等式，得專家會(huì)診 1注意雙曲線兩個(gè)定義的理解及應(yīng)用，在第二定義中，要強(qiáng)調(diào)e1，必須明確焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)性 2由給定條件求出雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏 3掌握參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系，漸近線及其幾何意義，并注意靈活運(yùn)用考場(chǎng)思維訓(xùn)練 1 已知f1，f2為雙曲線=1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過f2作垂直x軸的直線，它與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為p，且pf1f2=30，則雙 曲線的漸近線方程為 ( ) 答案： d 解析：由已知有=tan30=，所以2a2=b2漸近線方程為y=,所以選取d2 若fl、f2雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p在雙

18、曲線左支上，m在右準(zhǔn)線上，且滿足 (1)求此雙曲線的離心率； 答案：由知四邊形pf1om為平行四邊形，又由知op平分f1om, pf1om菱形，設(shè)半焦距為c，由=c知，即c+e2-e-2=0, e=2(e=-1舍去)(2)若此雙曲線過點(diǎn)n(2，)，求雙曲線方程： 答案：e=2=c=2a, 雙曲線方程為代入，有即所求雙曲線方程為=1.(3)設(shè)(2)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為b1，b2(b1在y軸正半軸上)，求b2作直線ab與雙曲線交于a、b兩點(diǎn)，求時(shí)，直線ab的方程 答案：依題意得b1（0，3），b2（0，-3）,設(shè)直線ab的方程為y=kx-3,a(x1,y1),b(x2,y2)則由雙曲線的漸近線為y

19、=,當(dāng)k=時(shí)，ab與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即k.x1+x2=y1+y2=k(x1+x2)-6=,y1y2=k2x1x2-k(x1+x2)+9=9又（x1，y1 -3）,=(x2,y2 -3), ,即k2=5, k=.故所求直線ab的方程為y=x-3或y=-x-3.3 設(shè)雙曲線-y2=1的右頂點(diǎn)為a、p是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從a引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線op(o為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交于q和r兩點(diǎn) (1)證明：無論p點(diǎn)在什么位置，總有；答案：設(shè)op：y=kx與ar：y=解得同理可得所以|設(shè)|2=（m,n）,則由雙曲線方程與op方程聯(lián)立解得m2=所以|2=m2+n2=(點(diǎn)在雙曲線上，1-4

20、k20);(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)c滿足條件：，求點(diǎn)c的軌跡方程答案：點(diǎn)c為qr的中心，設(shè)c（x,y）,則有 ，消去k,可得所求軌跡方程為x2-x2-4y2=0(x0).命題角度3對(duì)拋物線相關(guān)知識(shí)的考查。 1(典型例題)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線 ( ) a.有且僅只有一條 b有且僅有兩條 c.有無窮多條 d不存在 考場(chǎng)錯(cuò)解 d 由題意得|ab|=5 p=4，通徑長(zhǎng)為 24=8 54，則這樣的直線有且僅有兩條，解法二：用待定系數(shù)法設(shè)直線方程為y=k(x-1)采用設(shè)而不求的方法求出k有兩個(gè)值，即直線有且僅有兩條 2(典型例題1)設(shè)a(x1

21、，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是ab的垂直平分線 (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)f?證明你的結(jié)論； ()當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 ()，設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b，過點(diǎn)a、b的直線方程可寫為y=與y=2x2聯(lián)立得2x2+x-m=0得x1+ x2=-；設(shè)ab的中點(diǎn)n的坐標(biāo)為(x0，y0)則x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m由nl,得+m=-+b，于是b=即得l在y軸上截距的取值范圍為. 專家把脈 沒有借助“0”來求出m，無法進(jìn)一步求出b的范圍，只好胡亂地把m當(dāng)作大于或等于

22、0 對(duì)癥下藥 (1)fl|fa|=|fb|a、b兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等 拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線，y10，y20，依題意 y1、y2不同時(shí)為0， 上述條件等價(jià)于yl=y2x12 =x22 (x1+x2)(x1-x2)=0； x1x2，上述條件等價(jià)于 x1+x2=0 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí)，l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)f。 ()設(shè)l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為y=2x+b過點(diǎn)a、b的直線方程可寫為y=-x+m，所以x1、x2滿足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； a、b為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式 +8m0，即m 設(shè)ab的中點(diǎn)n的坐標(biāo)為(x0，y0)，則 x0=

23、(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m 由nl，得+m=-+b，于是b=+m 即得l在y軸上截距的取值范圍為(，+)3(典型例題)如圖，過拋物線y2=2px(p0)上一定點(diǎn)p(x0，y0)(y00)，作兩條直線分別交拋物線于a (x1，y1)，b(x2，y2) (1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)f的距離； ()當(dāng)pa與pb的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線ab的斜率是非零常數(shù) 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)當(dāng)y=時(shí)，x=又拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-p，由拋物線定義得，所求距離為()設(shè)直線pa的斜率為kpa，直線pb的斜率為kpb由y21=2px1,y20=2px0相減得(yl-y0)(y1+

24、y0)=2p(x1-x0) 故kpa= (x1x0)同理可得kpb=(x2x0)由kpa=-kpb得y0=-2 (yl+y2)故設(shè)直線ab的斜率為kab。由y22=2px2,y21=2px1 相減得 (y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)故kab=將y1+y2=-y0(y00)代入得kab=-故kab是非零常數(shù) 專家把脈 沒有掌握拋物線的準(zhǔn)線方程，計(jì)算不夠準(zhǔn)確 對(duì)癥下藥 (1)當(dāng)y=時(shí)，x=，又拋物線y2= 2px的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線定義得，所求距離為-(-)= ()設(shè)直線pa的斜率為kpa，直線pb的斜率為kpb由y12=2px1，y20=2px0相減得(y1-y0)(yl+

25、y0)=2p(x1-x0)，故kpa=(x1x0)同理可得kpb=(x2x0)由pa、pb傾斜角互補(bǔ)知kpa=-kpb，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2. 設(shè)直線ab的斜率為kab由y22=2px2，y21=2pxl相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以將yl+y2=-2y0(y00)代入得所以kab是非零常數(shù) 4(典型例題)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)o的兩不同動(dòng)點(diǎn)a、b滿足aobo(如圖所示) (1)求aob的重心c(即三角形三條中線的交點(diǎn))的軌跡方程； ()aob的面積是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由 o

26、aob考場(chǎng)錯(cuò)解（）設(shè)aob的重心為g(x,y)a(x1,y1)b(x2,y2)則oa x1x2+yly2=0(2)又點(diǎn)a、b在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=0或-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+或3x2，故重心為g的軌跡方程為y=3x2或y=3x2+.專家把脈沒有考慮到x1x2=0時(shí)，aob不存在對(duì)癥下藥 （）設(shè)aob的重心為g(x,y)a(x1,y1)b(x2,y2)則又點(diǎn)a、b在拋物線上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化簡(jiǎn)得xlx2=-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+所以重心為g的軌跡方程為y=3x2+ ()saob=由(1

27、)得saob=當(dāng)且僅當(dāng)x16=x26即x1=-x2=-1時(shí)，等號(hào)成立。所以aob的面積存在最小值，最小值為1。專家會(huì)診1. 用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分類討論思想。2. 凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)，弦的中點(diǎn)，弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算。3. 解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)?？紙?chǎng)思維調(diào)練1 已知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于m點(diǎn)，過m作直線與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，若線段ab的垂直平分線與x軸交于d(x0，0) (1)求x0的取值范圍1 答案：由題意易得m（-1，0）設(shè)過點(diǎn)m的直線方程為y=k(x+1)(k0)代入y2=

28、4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0 (1)再設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為那么線段ab的垂直平分線方程為又方程（1）中=（2k2-4）2-4k40，0k2 1，(2)abd能否是正三角形?若能求出x0的值，若不能，說明理由 答案：若abd是正三角形，則有點(diǎn)d到ab的距離等于ab|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=點(diǎn)以ab的距離d=據(jù)d24k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0, k2=,滿足0k20) (2)若直線l的斜率k2，且點(diǎn)m到直線3x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍答案：01-3-m01

29、-3-m或01-3-mm-2 或m-4m0)得8x-2y2=0即y2=4x(x0)故點(diǎn)p的軌跡是（0，0）為頂點(diǎn)，以（2，0）為焦距的拋物線.(除去原點(diǎn)) (2)若動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)d(4，0)，交曲線c與a、b兩點(diǎn)，求是否存在垂直于x軸直線l被以ad為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在，求出l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由答案：設(shè)ad中點(diǎn)為h，垂直于x軸的直線l的方程為x=a.以ad為直徑的圓交l于e、f兩點(diǎn)。ef的中點(diǎn)為g因?yàn)閨eh|=|ad|（其中（x1,y1）為坐標(biāo)），|hg|=所以|eg|2=|eh|2=（x1-4）2+yx2-(x1-2a)2+4=(x1-4)2+4x1-(x1-2a)2

30、+8(x1-2a)+16=4ax1-12x1-4a2+16a=（a+3）x1-a2+4a所以當(dāng)a=3時(shí)，以ad為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值，l的方程x=3.命題角度4對(duì)直線與圓錐曲線的關(guān)系的考查 1(典型例題)設(shè)雙曲線c：(a0)與直線l：x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)a、b， (1)求雙曲線c的離心率e的取值范圍； ()設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為p，且，求a的值 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)由c點(diǎn)與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0故4a4+8a2(1-a2) 0解得：0a雙曲線的離心率e=0a0 對(duì)癥下藥 (1)由c與l相交于兩個(gè)不同的

31、點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x +2a2x-2a2=0所以解得0a且e，即離心率e的取值范圍為()() ()設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(0，1) (x1,y1-1)=(x2,y2-1)由此得x1=x2，由于x1，x2都是方程的根，且1-a20，所以x2=-，消x2，得-，由a0，所以a=2(典型例題)給定拋物線c：y2=4x，f是c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)f的直線l與c相交于a、b兩點(diǎn) (1)設(shè)l的斜率為1，求與夾角的大??； ()設(shè)，若4，9，求l在y軸上截距的變化范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)設(shè)與夾角為；由題意l的方程為了y=x-1，將y=x-1代入y2

32、=4x得x2-6x+1=0設(shè)a(x1，y1)b(x2，y2)則有x1+x2=6，x1x2=1易得=x1x2+y1y2=-3，cos=-arccos()由題意知，過a、b分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為a、b |fb|=|bb|，|af|=|aa| |bb|=|aa|，4， 9設(shè)l的方程為y=k(x-1)由得k2x2-(2k2 +4)x+k2=0 x= |aa|=+l =|bb|= 專家把脈 ()沒有理解反余弦的意義()思路不清晰對(duì)癥下藥 (1)c的焦點(diǎn)為f(1，0)，直線l的斜率為1，所以l的方程為了y=x-1將y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0設(shè)a(x1，y1)，b(x2，

33、y2)，則有xl+x2=6，x1x2=1 =(x1，y1)(x2,y2)=x1x2+yly2=2x1x2-(x1 +x2)+1=-3 所以與夾角的大小為-arc cos ()由題設(shè)得 (x2-1，y2)=(1-x1，-y1)，即 由得y22=2y21y21=4x1，y22=4x2，x2=2x1 聯(lián)立、解得x2=，依題意有0，b(，2 )或b (，-2 )，又9(1，0)，得直線l方程為(-1)y= (x-1)或(-1)y=2(x-1)當(dāng)4，9時(shí)，l在 y軸上的截距為或-由=，可知：在4，9上是遞減的， ，-直線l在y軸上截距的變化范圍為-，- ， 3(典型例題)已知橢圓c：(ab0)的左、右焦

34、點(diǎn)為fl、f2，離心率為e直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)a、b，m是直線l與橢圓c的一個(gè)公共點(diǎn)，p是點(diǎn)fl關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為p，設(shè) (1)證明：=1-e2； ()確定的值，使得pf1f2是等腰三角形 考場(chǎng)錯(cuò)解 ()要使pf1f2為等腰三角形必有三種情況： (1)當(dāng)|pf1|=|f1f2|時(shí)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x0，y0) 則 解得由|pf1|=|f1f2| 得2+兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 從而e2=于是(2)當(dāng)|pf1|=|f1f2|時(shí)，同理可得解得e2=3于是=1-3=-2 (3)當(dāng)|pf2|=|f1f2|時(shí)，同理可得=4c2 解得e2=1 于是=1-1=0綜上所述，當(dāng)=或-2或

35、0時(shí)pf1f2，f2為等腰三角形 專家把脈 (1)沒有注意到因?yàn)閜f1l，所以pf1f2=90+baf1為鈍角，要使pf1f2為等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2| (2)沒有注意到橢圓離心率的范圍 對(duì)癥下藥 (1)證法一：因?yàn)閍、b分別是直線l：y= ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以a、b的坐標(biāo)分別是(-)(0,a). 由所以點(diǎn)m的坐標(biāo)是(-c,)，由得(-c+)=(，a) 即 證法二：因?yàn)閍、b分別是直線l:y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以a、b的坐標(biāo)分別是(-，0)，(0，a)，設(shè)m的坐標(biāo)是(x0，y0)，由 得()， 所以 因?yàn)辄c(diǎn)m在橢圓上，所以=1， 即 e4-2(1-)e2

36、+(1-)2=0，解得e2=1- 即=1-e2 ()解法一：因?yàn)閜f1l，所以 pf1f2=90+baf1為鈍角，要使pf1f2為等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2|,即|pf1|=c. 設(shè)點(diǎn)f1到l的距離為d，由|pf1|=d， =,得=e所以e2=，于是=1-e2=.即當(dāng)=時(shí)，pf1f2為等腰三角形解法二：因?yàn)閜f1l，所以，pf1f2=90+baf1為鈍角，要使pf1f2為等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2|,設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x0，y0)，則 解得由|pf1|=|flf2|得=4c2，兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得=e2從而e2=于是=l-e2=即當(dāng)=時(shí)，pf1f2為等腰三角形 4(

37、典型例題)拋物線c的方程為y=ax2(a0)，過拋物線c上一點(diǎn)p(x0，y0)(x00)作斜率為k1，k2的兩條直線分別交拋物線c于a(x1，y1)b(x2，y2)兩點(diǎn)(p、a、b三點(diǎn)互不相同)，且滿足k2+k1=0(0且-1) ()求拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； ()設(shè)直線ab上一點(diǎn)m滿足=，證明線段pm的中點(diǎn)在y軸上 ()當(dāng)a=1時(shí)，若點(diǎn)p的坐標(biāo)為(1，-1)，求pab為鈍角時(shí)點(diǎn)a的縱坐標(biāo)y1的取值范圍 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)拋物線c的方程y=ax2(a0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)準(zhǔn)線方程為x=-()p(-1，1)在y=ax2上，故a=-1y=-x2由()易得y1=-(k1+1)2，y2=(k2

38、+1)2，因此，直線pa、pb分別與拋物線c的交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)為a(-k1 -1,-k21-2k1-1)，b(k1-1，-k21+2k1-1)于是= (k1+2,k21+2k1)，=(2k1，4k1)，2k1(k1+2)(2k1+1)因pab為鈍角且p、a、b三點(diǎn)互不相同，故必有0易得k1的取值范圍是 k1-2或kl0，又yl=-(k1+1)2故當(dāng)k1-2時(shí)，y-1;當(dāng)-k10時(shí)-1yl- 即y1 專家把脈 沒有掌握好拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式及交并集的概念 對(duì)癥下藥 (1)由拋物線c的方程y=ax2(a0)得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)線方程為y=- ()證明：設(shè)直線pa的方程為y-y0=k1(x-x0)

39、，直線 pb的方程為y-y0=k2(x-x0)點(diǎn)p(x0，y0)和點(diǎn)a(x1，y1)的坐標(biāo)是方程組 的解將式代入式得ax2-k1x+klx0-y0=0，于是 x1+x0=，故x1=-x0又點(diǎn)p(x0，y0)和點(diǎn)b(x2，y2)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得ax2-k2x+k2x0-y0=0于是x2+x0=，故x2=-x0, 由已知得，k2=-kl，則x2= 設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(xm,ym)，由=，則xm=.將式和式代入上式得x0，即xm+x0=0所以線段pm的中點(diǎn)在y軸上 ()因?yàn)辄c(diǎn)p(1，-1)在拋物線y=ax2上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x2由式知x1=-k1-1，代入y=-x2得y1

40、=-(k1+1)2將=1代入式得x2=k1-1，代入y=-x2得y2=- (k2+1)2因此，直線pa、pb分別與拋物線c的交點(diǎn)a、b的坐標(biāo)為 a(-k1，-1，-k21-2k1-1)，b(k1-1，-k12+2k1-1)于是=(k1+2，k12+2k1)，=(2k1，4k1)，= 2k1(k1+2)+4kl(k12+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)因pab為鈍角且p、a、b三點(diǎn)互不相同，故必有0求得k1的取值范圍是k1-2或-k10又點(diǎn)a的縱坐標(biāo)y1滿足y1=-(k1+1)2，故當(dāng)k1-2時(shí)， y1-1；當(dāng)-k10時(shí)，-1y1n0)的離心率分別為e1、e2、e3，則 ( ) ae1

41、e2e3 be1e2c=2, a2=8b2=a2-c2=8-4=4,所求橢圓方程為(3)與e點(diǎn)軌跡相切的直線l交橢圓于p、q兩點(diǎn)，求 |pq|的最大值及此時(shí)l的方程答案：由（1）可知點(diǎn)e的軌跡是圓設(shè)是圓上的任點(diǎn)，則過(x0,y0)點(diǎn)的切線方程是x0x+y0y=1當(dāng)y00時(shí)，代入橢圓方程得：令則15t0)與直線l2:y=-kx之間的陰影區(qū)域 (不含邊界)記為w，其左半部分記為w1，右半部分記為w2 (1)分別用不等式組表示 w1和w2； ()若區(qū)域中的動(dòng)點(diǎn)p(x,y)到l1，l2的距離之積等于d2，求p點(diǎn)的軌跡c的方程； ()設(shè)不過原點(diǎn)o的直線l與()中的曲線c相交于ml，m2兩點(diǎn)，且與l1，l

42、2分別交于m3，m4兩點(diǎn)，求證om1m2的重心與om3m3的重心重合 考場(chǎng)錯(cuò)解 (1)w1=(x,y)|ykx x0| ()直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0由題意得 =d2即=d2 k2x2-y2(k2+1)d2=0故動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為k2x2-y2(k2+1)d2=0 ()略 專家把脈 沒有很好地理解題意，第二問出現(xiàn)兩解，致使第三問過于復(fù)雜難以完成對(duì)癥下藥 解：(i)w1=(x，y)|kxy-kx，z 0|，w2=(x,y)|kxy0，()直線l1:kx-y=0 直線l2:kx+y=0，由題意得=d2，即=d2，由p(x，y)w，知k2x2-y20，所以=d2，即k2x2-

43、y2-(k2+1)d2=0，所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0； ()當(dāng)直線j與，軸垂直時(shí)，可設(shè)直線j的方程為，x=a (a0)由于直線l，曲線c關(guān)于x軸對(duì)稱，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，于是m1m2，m3m4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a，0)，所以om1m2，om3m4的重心坐標(biāo)都為(a，0)，即它們的重心重合，當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線j的方程為y=mx+n(n 0)由, 得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0 由直線l與曲線c有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知k2-m20且=(2mn)2+4(k2-m2)x(n2+k2d2+d2)0 設(shè)m1、m2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=m(x1+x2)+2n， 設(shè)m3、m4的坐標(biāo)分別為(x3，y3)，(x4,y4)， 由及 得x3=,x4=從而x3+x4=x1+x2，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2，于是om1m2的重心與om3m4的重心也重合 4(典型例題)已知橢圓=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別