行列式的計(jì)算方法計(jì)算行列式的格式.doc

1、行列式的計(jì)算方法 摘要：線性代數(shù)主要內(nèi)容就是求解多元線性方程組，行列式產(chǎn)生于解線性方程組, 行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題。本文依據(jù)行列式的繁雜程度，以及行列式中字母和數(shù)字的特征，給出了計(jì)算行列式的幾種常用方法：利用行列式的定義直接計(jì)算、化為三角形法、降階法、鑲邊法、遞推法，并總結(jié)了幾種較為簡便的特殊方法：矩陣法、分離線性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且對這些方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并輔以例題。關(guān)鍵詞：行列式 矩陣 降階 The Methods of Determinant Calculation Abstract：Solving multiple line

2、ar equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then give

3、s several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow the

4、third party method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1引言線性代數(shù)主要內(nèi)容就是求解多元線性方程組，行列式產(chǎn)生于解線性方程組,然而它除了用于研究線性方程組、矩陣、特征多項(xiàng)式等代數(shù)問題外,還在各種工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,是一種不可缺少的運(yùn)算工具，所以說行列式的計(jì)算是一個(gè)重要的問題。二階行列式

5、：三階行列式：由此可以看出二階、三階行列式計(jì)算結(jié)果的一些規(guī)律：中每項(xiàng)都是三個(gè)數(shù)的乘積，并由行標(biāo)與列標(biāo)可以看出，這三個(gè)數(shù)分別取自行列式的不同行與不同列；式正好有6項(xiàng)，它恰好是1，2，3全排列的個(gè)數(shù)。每項(xiàng)前面的符號為，其中為的逆序數(shù)。這就是比較簡單的采用對角線的方法計(jì)算行列式。 在行列式的定義中，雖然計(jì)算結(jié)果的每一項(xiàng)是個(gè)元素的乘積，但是由于這個(gè)元素是取自不同的行與列，所以對于某一確定的行中的個(gè)元素譬如來說，每一項(xiàng)都含有其中的一個(gè)且只含有其中的一個(gè)元素，而級行列式一共有項(xiàng)，計(jì)算它就需要做個(gè)乘法。當(dāng)較大時(shí)，是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字，直接從定義采用對角線法計(jì)算行列式幾乎是不可能的事，1本文依據(jù)行列式元素間的規(guī)

6、律和行列式的性質(zhì)總結(jié)了計(jì)算行列式幾種常用和特殊的方法。2. 計(jì)算行列式的常用方法2.1 利用行列式的定義直接計(jì)算 根據(jù)行列式的定義=，可以利用行列式的定義直接計(jì)算低階稀疏行列式。 例1. 利用行列式的定義計(jì)算階行列式 =解：根據(jù)行列式的定義，行列式展開后等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積，通過觀察可知的展開式中只有一個(gè)非零項(xiàng)，這一項(xiàng)行標(biāo)排列具有自然順序排列，對應(yīng)的列標(biāo)排列為，其逆序數(shù)為,故 當(dāng)行列式的元素中有較多0時(shí)，可以利用定義法進(jìn)行計(jì)算，但如果元素中出現(xiàn)較多非0元素時(shí)，這種方法就不易求解。2.2 利用化為三角形的方法計(jì)算利用行列式的性質(zhì)把行列式通過一系列的變換轉(zhuǎn)化成位于主對角線一側(cè)的元

7、素全為零的行列式,這樣得到的行列式的值就等于主對角線上所有元素的乘積。而對于非零元素位于次對角線的情形,行列式的值等于與次對角線上所有元素的乘積。例2 利用上三角形法計(jì)算階行列式 解： 在例2中，行列式的每一行對應(yīng)元素中包含有相同的元素，這樣使用化三角形法較為簡便，但當(dāng)行列式的元素不相同且無規(guī)律時(shí)，計(jì)算量就會增加不少，此時(shí)這種方法并不簡單。2.3 利用降階法計(jì)算行列式 在計(jì)算行列式的時(shí)候可以根據(jù)行列式元素間的規(guī)律，依據(jù)行列式的性質(zhì)或行列式按行（列）展開定理，將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式來計(jì)算。若再繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將階行列式降階然后一直化為多個(gè)2階行列式來計(jì)算。例3. 利用降階法計(jì)

8、算階行列式 解：依據(jù)行列式按行（列）展開的定理，將按第一行展開，即得： 然后將后面的行列式按第一列展開，即得 (-1) 值得注意的是，根據(jù)行列式的性質(zhì)利用降階法時(shí)，應(yīng)該將某行（列）元素盡可能多地變成零，之后再按行（列）展開，這樣計(jì)算才能體現(xiàn)出降階法計(jì)算行列式的簡便性，但是針對一些構(gòu)造特殊的行列式，因?yàn)殡A行列式的第行構(gòu)成的級子式有個(gè)，故一般行列式只是能降階而不能減少其計(jì)算量，這種方法往往無效。2利用降階法可以計(jì)算行列式，那是不是也可以通過加邊使其變成一個(gè)相等的階行列式呢？2.4 鑲邊法一個(gè)階行列式，如果或中除了外其余元素全為0，那么該行列式便可利用行列式按行（列）展開定理將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)計(jì)算階行列

9、式。反過來，也可以利用相同的方法把一個(gè)階行列式轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之相等的階行列式，這就是鑲邊法。2.4.1 鑲邊法解題步驟 通過加邊（列）的方法把一個(gè)級行列式轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之相等的階行列式；根據(jù)行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行（列）的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行（列）使其它行（列）出現(xiàn)更多的0元素后再進(jìn)行計(jì)算。2.4.2 鑲邊的一般方式首行首列 首行末列 末行首列 末行末列。3當(dāng)然也可以添加在行列式任意某一行與某一列的位置，但是等價(jià)變形后，總變成上述四種情況之一。例4 利用鑲邊法計(jì)算階行列式 解： 2.5 遞推法 遞推法就是利用行列式元素間的規(guī)律，在階與階（或更低階）行列式之間建立遞推關(guān)系，再利用所得的關(guān)系式計(jì)算行

10、列式的值。遞推法主要是降階遞推法，常見的有兩種類型：1.型；這時(shí)根據(jù)遞推關(guān)系可推出關(guān)系式2.型；這時(shí)可設(shè)、是方程的根，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，于是有： - () ()若，則由（）和（）得注意又由（）和（）遞推可得若，則（）和（）可變成，即，故 = = = = =以此類推，最后可得： 例5 利用遞推法計(jì)算階行列式 =解：由于，則不妨設(shè)、是方程的根，則：。于是其中：；所以：即原式上面介紹的幾種計(jì)算行列式的方法都是比較常用的，同時(shí)通過上面的例題分析和解題過程可以發(fā)現(xiàn)，上述幾種計(jì)算方法只是適用一些行列式較為簡單和行列式元素間具有明顯規(guī)律的情況，而對于一些比較特殊或行列式元素間的關(guān)系隱藏較深的行列式，就

11、要通過其它的途徑來解決問題，下面給出幾種計(jì)算行列式的特殊方法。 3計(jì)算行列式的幾種特殊方法31 矩陣法如果一個(gè)行列式的對應(yīng)矩陣可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩陣的乘積，而且這兩個(gè)矩陣所對應(yīng)的行列式都比較容易計(jì)算，即可利用公式=計(jì)算出階行列式的值。4例6 利用矩陣法計(jì)算階行列式 解：該行列式的第行第列元素可化為 所以該行列式可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)矩陣乘積的行列式，即 = = 3.2 分離線性因子法3.2.1 分離線性因子法 分離線性因子法就是把行列式看成含有一個(gè)或一些字母的多項(xiàng)式，將它變換，如果它可被一些因子互素的線性因子所整除，同時(shí)它也可被這些因子的積所整除，就可將行列式的某些項(xiàng)與線性因子的項(xiàng)進(jìn)行比較，繼而找出多相式的

12、所有因子，然后用這些因子的乘積除行列式的商，從而求得行列式的表達(dá)式。3.2.2 一般的解題思路如果行列式有些元素是某一變量（參數(shù)）的多項(xiàng)式，不妨設(shè)此變量為，那么可將該行列式 看作關(guān)于的多項(xiàng)式，然后找出因子互素的線性因子，即； 在和中選出一個(gè)特殊項(xiàng)進(jìn)行比較，如果與的次數(shù)相等，就用待定系數(shù)法，確定出的值；如果的次數(shù)比的次數(shù)小，繼續(xù)找出的線性因子，直至將的所有線性因子全部找出，從而求出行列式的值。例7 利用分離線性因子法計(jì)算階行列式 其中解：將行列式最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此類推，直至第2行為止，得顯而易見，是一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，且=0由行列式的性質(zhì)知 所以 的根為0， 故 進(jìn)而可得

13、的次項(xiàng)系數(shù)，令其為，即 =綜上可得： =3.2.3 利用分離線性因子法的注意能夠利用分離線性因子法進(jìn)行計(jì)算的行列式大都是含有字母變量（參數(shù)）的行列式，當(dāng)某個(gè)變量（參數(shù)）取某個(gè)特定值的時(shí)候行列式的值為0，則該行列式必含有某個(gè)特定因子。3類如： 、等3.3 借用“第三者”法 借用“第三者”法計(jì)算行列式，就是當(dāng)所給的行列式不易計(jì)算時(shí)，乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)闹挡粸?的行列式，且,使其轉(zhuǎn)化為求乘積的行列式。使用這種方法有優(yōu)越，但的選取不易，需要有足夠的知識和經(jīng)驗(yàn)。例8 計(jì)算階行列式 解：取， = 上題中不但計(jì)算出了行列式的值，而且同時(shí)也證明了相似于一個(gè)對角矩陣。3.4 利用范德蒙德行列式來計(jì)算范德蒙德行列式是一

14、類比較特殊的行列式，通過觀察其中的任一列可以發(fā)現(xiàn)，它都是某個(gè)數(shù)（字母）的不同方冪，且從上至下其冪次數(shù)由0遞增至，通過證明已經(jīng)得知階范德蒙德行列式的值就等于組成這個(gè)行列式的個(gè)元素的所有可能差的乘積。利用范德蒙德行列式的時(shí)候，應(yīng)先根據(jù)范德蒙德行列式的特點(diǎn)，將所給的行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙德行列式，再利用其結(jié)果計(jì)算出所給行列式的值。例9 利用范德蒙德行列式計(jì)算階行列式 解： 鑲邊得 再將第一列的（-1）倍加到其它各列得：將此行列式拆分為兩項(xiàng)即得 - = = =3.5 利用拉普拉斯定理展開計(jì)算拉普拉斯定理：設(shè)在行列式中任意取定了個(gè)行，由這行元素所組成的一切級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式。 在利

15、用拉普拉斯定理計(jì)算行列式的時(shí)候，應(yīng)先根據(jù)行列式的性質(zhì)對所給行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其每行（列）的0元素盡可能的多，然后再利用行列式按行（列）展開定理將其中含0元素多的某一行（列）進(jìn)行展開。實(shí)質(zhì)上，拉普拉斯定理是對行列式按行（列）展開定理的推廣。1例10 利用拉普拉斯定理計(jì)算階行列式 解：在所給行列式中取定第一、二行，得到六個(gè)子式：， ， ， , 它們對應(yīng)的代數(shù)余子式為, , , 根據(jù)拉普拉斯定理得 例11利用拉普拉斯定理計(jì)算階行列式 解：如果從第3行開始每一行都減去第2行，再從第3列開始每一列都加到第2列，可使行列式中更多的元素變?yōu)?。 = =再由拉普拉斯定理得 =4.結(jié)束語行列式的計(jì)算方法有很多，

16、上面只是列舉出了其中的一部分，并且根據(jù)所給行列式的不同特點(diǎn)給出了適用的方法以及使用時(shí)的注意，但這并不是孤立的，有時(shí)可以使用不同的方法計(jì)算出一個(gè)行列式的結(jié)果。行列式是解決線性代數(shù)的工具，它的產(chǎn)生和應(yīng)用都是在解線性方程組中?，F(xiàn)在它的應(yīng)用已拓寬的較為廣泛，它在消元法、矩陣論、坐標(biāo)變換、多重積分中的變量替換、解行星運(yùn)動的微分方程組、將二次型化簡為標(biāo)準(zhǔn)型等諸多問題中都有著廣泛的應(yīng)用。5本文只是總結(jié)了幾種較為常用的一般和特殊的行列式計(jì)算方法，隨著行列式應(yīng)用的增多，會出現(xiàn)新類型的行列式，也隨之會出現(xiàn)很多新的計(jì)算行列式的方法。這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)中，善于發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系并及時(shí)總結(jié)好的方法。參考文獻(xiàn)：1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版，2003.2 古家虹.關(guān)于行列式的計(jì)算方法J.廣西：廣西大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2005-30（增刊）.3 楊立英.階行列式的計(jì)算方法與技巧J