簡單曲線的極坐標(biāo)方程

1、精選課件精選課件1 精選課件精選課件2 3 3、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式 1、極坐標(biāo)系的四要素、極坐標(biāo)系的四要素 2 2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件 極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位 及它的正方向。及它的正方向。 ) 0(tan, 222 x x y yx sin,cos yx )2 , 0, 0 精選課件精選課件3 在平面直角坐標(biāo)系中，平面曲線C可以 用f(x,y)=0表示。曲線與方程滿足： （1）曲線）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解；的解； （2）以方程）以方程f(x,y)

2、=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上。上。 思考：在極坐標(biāo)系中，平面曲線是否可以用思考：在極坐標(biāo)系中，平面曲線是否可以用 方程方程 表示？表示？ 0),(f 精選課件精選課件4 如圖，半徑為a的圓的圓 心坐標(biāo)為(a,0)(a0)，你能用一個(gè)等式表示 圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)(,)滿足的條件？ xC(a,0) O M A (,) 探究：探究： )1 ()0 ,2(), 2 , 0( )1.(.cos2cos ),(,2 的坐標(biāo)滿足等式可以驗(yàn)證，點(diǎn) 即中 。在以外的任意一點(diǎn)，那么 ，為圓上除點(diǎn)設(shè)，那么是 交點(diǎn)。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)解：圓經(jīng)過極點(diǎn) aAO aMOAOAOM AMORtAMO

3、M AOMaOAA O 精選課件精選課件5 的點(diǎn)都在這個(gè)圓上。等式 ，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合滿足的條件，另一方面 坐標(biāo)就是圓上任意一點(diǎn)的極所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 一.圓的極坐標(biāo)方程: ) 1 ()0 ,2(), 2 , 0( ) 1.(.cos2cos ),(,2 的坐標(biāo)滿足等式可以驗(yàn)證，點(diǎn) 即中 。在以外的任意一點(diǎn)，那么 ，為圓上除點(diǎn)設(shè)，那么是 交點(diǎn)。設(shè)圓與極軸的另一個(gè)解：圓經(jīng)過極點(diǎn) aAO aMOAOAOM AMORtAMOM AOMaOAA O 精選課件精選課件6 的極坐標(biāo)方程。叫做曲線那么方程 上，的點(diǎn)都在曲線并且坐標(biāo)適合方程 一個(gè)滿足方程一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有 上任意，如

4、果平面曲線一般地，在極坐標(biāo)系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圓的極坐標(biāo)方程。為 半徑就是圓心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 曲線的極坐標(biāo)方程: 精選課件精選課件7 與直角坐標(biāo)系里的情況一樣 建系建系 （適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）（適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系） 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) （設(shè)（設(shè)M M（ ，) )為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)）為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)） 列等式（構(gòu)造列等式（構(gòu)造，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于M M的等式）的等式） 將等式坐標(biāo)化將等式坐標(biāo)化 化簡化簡 （此方程此方程f(,)=0即為曲線的方程）即為曲線的方程） 求曲線極坐標(biāo)方程的

5、步驟: 精選課件精選課件8 例例1.已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐標(biāo)，建立怎樣的極坐標(biāo) 系，可以使圓的極坐標(biāo)方程簡單？系，可以使圓的極坐標(biāo)方程簡單？ xO r M 簡單。上比 式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重 即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè) 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如 出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 簡單。上比 式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重 即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè) 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如 出發(fā)的一條射線為

6、極點(diǎn)，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精選課件精選課件9 簡單。上比 式合時(shí)的極坐標(biāo)方程在形顯然，使極點(diǎn)與圓心重 即為圓上任意一點(diǎn)，則設(shè) 都等于半徑何特征就是它們的極徑 幾圖），那么圓上各點(diǎn)的為極軸建立坐標(biāo)系（如 出發(fā)的一條射線為極點(diǎn)，從解：如果以圓心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精選課件精選課件10 特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程 的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程最最簡簡單單？ 使使圓圓，怎怎樣樣建建立立極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系，的的半半徑徑為為：圓圓問問題題rO1 x r O )( P r . )(,( 極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 的的

7、圓圓的的，圓圓心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為：求求半半徑徑為為問問題題002aaa Ox ),(0aM )( P cosa2 .)( ),( 的的圓圓的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 ，圓圓心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為：求求半半徑徑為為問問題題 0 2 3 a aa sina2 Ox ),( 2 aM )( P 精選課件精選課件11 一般的圓的極坐標(biāo)方程一般的圓的極坐標(biāo)方程 )( P r 0 0 )( 00 M 2 00 2 0 2 2r)cos( r aar aar 時(shí)，時(shí)， 時(shí)，時(shí)， 時(shí)，時(shí)， 003 2 2 2 201 00 00 00 )( sin)( cos)( 求圓心在求圓心在M( 0, )，半徑為，半徑為r圓的極

8、坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程。 精選課件精選課件12 B 精選課件精選課件13 極徑的推廣極徑的推廣 負(fù)極徑 “負(fù)”的意義是什么？ 標(biāo)準(zhǔn)之下3攝氏度與-3攝氏度. 方向相反a 與. a 與. O x (, )M ( , ) 13 若M的坐標(biāo)為 則M的坐標(biāo)也可以是(, ) ( ,). 若0，則規(guī)定點(diǎn)(，)與點(diǎn)(，)關(guān)于極點(diǎn)對稱 精選課件精選課件14 負(fù)極徑小結(jié)：負(fù)極徑小結(jié)：極徑變?yōu)樨?fù)極徑變?yōu)樨?fù)，極角增加極角增加 。 練習(xí)：寫出點(diǎn)練習(xí)：寫出點(diǎn) 的負(fù)極徑的極坐標(biāo)的負(fù)極徑的極坐標(biāo) （6， ） 6 答：（答：（6， +） 6 特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），特別強(qiáng)調(diào)：一般情況下（若不作特別說明時(shí)），

9、 認(rèn)為認(rèn)為 0 。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。因?yàn)樨?fù)極徑只在極少數(shù)情況用。 精選課件精選課件15 二.直線的極坐標(biāo)方程: x o 4 l 精選課件精選課件16 和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程 的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的 直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來很不方便，要用兩條射 線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許 極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直 線的極坐標(biāo)方程可以表示為線的極坐標(biāo)方程可以表示為 () 4 R 或或 5 ()

10、 4 R 精選課件精選課件17 例例2.求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于 極軸的直線極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn) ( , )M 為直線為直線L上除點(diǎn)上除點(diǎn)A外的任外的任 意一點(diǎn)，連接意一點(diǎn)，連接OM o x A M 在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。的坐標(biāo)也滿足上式。 精選課件精選課件18 求直線的極坐標(biāo)方程步驟求直線的極坐標(biāo)方程步驟 1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖； 2、設(shè)點(diǎn)、設(shè)點(diǎn) 是直線上任意一點(diǎn)；是直線上任意一點(diǎn)；( , )M 3、連接、連接

11、MO； 4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 的方的方 程，并化簡；程，并化簡； , 5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。 精選課件精選課件19 兩種特殊的直線的極坐標(biāo)方程兩種特殊的直線的極坐標(biāo)方程 . )(,( 的的直直線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 且且與與極極軸軸垂垂直直：求求過過點(diǎn)點(diǎn)問問題題004aaA O x A M cosa . )(,( 的直線的極坐標(biāo)方程的直線的極坐標(biāo)方程 且與極軸平行且與極軸平行：求過點(diǎn)：求過點(diǎn)問題問題0 2 5aaA O x AM a sin . )(,( 的的直直線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程 且且傾傾斜斜角角為為：求求

12、過過點(diǎn)點(diǎn)問問題題 006aaA O M x Asin()sina 精選課件精選課件20 例例3. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為 ，直線，直線 過點(diǎn)過點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 11 (,) l l o x M P 1 1 精選課件精選課件21 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn) ( , )M 點(diǎn)點(diǎn)P外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接OM 為直線上除為直線上除 則則 由點(diǎn)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知的極坐標(biāo)知 ,OMxOM 1 OP 1 xOP 設(shè)直線設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)與極軸交于點(diǎn)A。則。則在在 MOP 1 ,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定

13、理得 1 1 sin()sin() 11 sin()sin() 顯然點(diǎn)顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo) 也是它的解。也是它的解。 精選課件精選課件22 方程互化方程互化 )0( ,tan , sin cos 222 x x y yx y x 精選課件精選課件23 例例4.圓圓O1和圓和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為的極坐標(biāo)方程分別為4cos， 4sin. (1)把圓把圓O1和圓和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過圓求經(jīng)過圓O1，圓，圓O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程. 精選課件精選課件24 【解】【解】以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸

14、正半軸，建立軸正半軸，建立 平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位. (1)xcos，ysin，由，由4cos得得24cos. 所以所以x2y24x. 即即x2y24x0為圓為圓O1的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程 同理同理x2y24y0為圓為圓O2的直角坐標(biāo)方程的直角坐標(biāo)方程 精選課件精選課件25 【名師點(diǎn)評】【名師點(diǎn)評】掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之 間的互化是解決本題的關(guān)鍵間的互化是解決本題的關(guān)鍵 精選課件精選課件26 精選課件精選課件27 精選課件精選課件28 2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為A ，直，直 線線

15、過點(diǎn)過點(diǎn)P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直 線線 的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。 ( ,0)a l l 解：如圖，設(shè)點(diǎn)解：如圖，設(shè)點(diǎn) ( , )M 為直線為直線 上異于的點(diǎn)上異于的點(diǎn) l 連接連接OM， o M x p 在在 中有中有 MOA sin()sin() a 即即 sin()sina 顯然顯然A點(diǎn)也滿點(diǎn)也滿 足上方程。足上方程。 精選課件精選課件29 3.(2,) 4 A 求過點(diǎn)平行于極軸的直線。 O H M A ) 4 , 2( ( , ) (2,) 4 2 sin2 4 sin , sin2 (2,) 4 sin2 lM A MH Rt OMHMHOM A 解：在直線 上任意取點(diǎn) 在中， 即 所以，過點(diǎn)平行于極軸的直線方程 為 精選課件精選課件30 1.在極坐標(biāo)系中，過圓在極坐標(biāo)系中，過圓6cos的圓心，且垂直于的圓心，且垂直于 極軸的直線的極坐標(biāo)方程為極軸的直線的極坐標(biāo)方程為_. 解析：由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解析：由題意可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程