如水般的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

1、.如水般的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)以“面積的認(rèn)識”一課為例（管尤躍 云南省教育科學(xué)研究院 650223）在小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版）2008年第5期“教學(xué)如水”一文中我曾提到讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如水流淌一般的自然，只有回歸自然的教學(xué)才是真正的教學(xué)、本色的教學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中就應(yīng)該讓數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程與學(xué)生的認(rèn)知過程水乳交融，如同水與萬物之間密切關(guān)系般的自然。因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一、桃花潭水深千尺小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不“小”，每一個(gè)內(nèi)容，無論大小，都有著“桃花潭水深千尺”的數(shù)學(xué)知識背景。“面積的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)中“空間與圖形”領(lǐng)域中至關(guān)重要的一個(gè)內(nèi)容：其一，它是建立在學(xué)生

2、已經(jīng)掌握了“一維”空間中長度的概念以及認(rèn)識了長方形和正方形等平面圖形的特征、認(rèn)識周長以及會計(jì)算長方形、正方形周長的基礎(chǔ)之上的；其二，在小學(xué)數(shù)學(xué)中起到承上啟下的作用，這是認(rèn)識“二維”空間的第一次接觸，也是為今后認(rèn)識“三維”空間做好準(zhǔn)備；其三，在螺旋上升的認(rèn)知中能正確區(qū)分“周長”與“面積”的含義，也為今后學(xué)習(xí)“面積”與“體積”以及利用這些知識正確地解決實(shí)際問題奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。人民教育家陶行知先生認(rèn)為，“教的法子要根據(jù)學(xué)的法子，學(xué)的法子要根據(jù)做的法子。事怎樣做便怎樣學(xué)，怎樣學(xué)便怎樣教?！?正因?yàn)槿绱?，這幾個(gè)關(guān)鍵性的概念都應(yīng)該按照陶行知先生提出的“教學(xué)做合一”的思想進(jìn)行教學(xué)，這既是教學(xué)的總要求，又是最

3、基本最一般的教學(xué)方法。基于此，我認(rèn)為小學(xué)生數(shù)學(xué)概念教學(xué)的核心環(huán)節(jié)就是給學(xué)生足夠的、充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，教學(xué)中著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作實(shí)踐、猜測、判斷、歸納、類比、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分體現(xiàn)出概念本質(zhì)特征的形成過程，體驗(yàn)概念的“再創(chuàng)造”的過程。二、水碧山青知好處在一次教學(xué)研究過程中，我們對學(xué)生學(xué)習(xí)“面積的認(rèn)識”一課進(jìn)行了前測和后測，正如劉禹錫的詩句：“水碧山青知好處，開顏一笑問何人”，要弄清楚教學(xué)中的問題最好就是問學(xué)生?，F(xiàn)將測試情況介紹如下：1、在日常生活中，你聽說過“面積”這個(gè)詞語嗎？（前測）A、聽說過 B沒有聽說過檢測情況：93%的學(xué)生選A；6%的學(xué)生選B。反映出

4、學(xué)生對“面積”的認(rèn)識在生活中是有這方面的知識經(jīng)驗(yàn)的，無論是農(nóng)村學(xué)生還是城市學(xué)生，從土地面積到住房面積，與孩子們的實(shí)際是有聯(lián)系的。2、在你的腦海中，面積指的是什么呢?根據(jù)你的理解，寫出面積的概念。（前測、后測）前測情況：10%的學(xué)生基本能正確理解“面積”的概念；16%的學(xué)生了解到一點(diǎn)“面積”的內(nèi)涵；74%學(xué)生幾乎對面積沒有認(rèn)識。后測情況：79%的學(xué)生能正確理解“面積”的概念；5%的學(xué)生還不了解面積的概念；16%的學(xué)生不能根據(jù)自己的理解寫出面積的概念。3、在生活中，你看到過比較兩個(gè)物體表面大小的事例嗎？簡單的說一說。（前測、后測）前測情況：6%的學(xué)生能正確舉例；20%的學(xué)生舉的例子有一點(diǎn)沾邊；74

5、%的學(xué)生不會。后測情況：78%的學(xué)生能根據(jù)本節(jié)課所講內(nèi)容舉出比較面積的例子；12%的學(xué)生舉例出錯(cuò)；10 %的學(xué)生沒有作答。4、下面兩個(gè)圖形哪個(gè)大？請說明你的理由。（前測）AB (A) A B (B) A =B (C) AB (B) A =B （答案） (C) AB (B) A =B (C) AB（答案） (B) A =B (C) AB (D)無法比較前測情況：A(73%);B(5%);C(10%);D(3%).沒做（8%）。15%的學(xué)生會用數(shù)方格或面積公式進(jìn)行比較；52%的學(xué)生利用周長比較；33%的學(xué)生不會比較。后測情況：A(86%);B(3.4%);C(6.8%);D(1.7%).沒做（1.

6、7%）62%的學(xué)生會用數(shù)方格或面積公式進(jìn)行比較；31%的學(xué)生利用周長比較；7%的學(xué)生不會比較。8、下圖為一張新書桌，現(xiàn)在想在桌面安上一塊玻璃。請問要買多大一塊玻璃才能剛好覆蓋住桌面？你需要測出哪些量？（前測、后測）前測情況：22%的學(xué)生知到測出長和寬，但只是直覺。還不清楚是要測面積；38%的學(xué)生說要測出周長；40%的學(xué)生不會做。后測情況：59%的學(xué)生知到測出需要測出面積，部分學(xué)生說要測出長和寬，部分學(xué)生說利用數(shù)方格；12%的學(xué)生說要測出周長；29%的學(xué)生不會做（可能因?yàn)闀r(shí)間不夠）。（后測）比較下面三個(gè)圖形面積的大?。空堈f明你的理由。ABC（A）AB=C (B) A =BC (C) A=B=C

7、(D) ACB（答案）檢測情況：A(17%);B(5.1%);C(19%);D(50%).沒做（8.9%）。55%的學(xué)生會用數(shù)方格或觀察進(jìn)行比較，大部分學(xué)生用觀察的方法；6.9%的學(xué)生利用周長比較；3.8%的學(xué)生不會比較。（注：沒做（8.9%）是指沒做選擇部分的。后面的剩下約34.3%是沒有回答“理由”的。）（后測）下面兩個(gè)圖形中的方格大小均相等，請把圖（B）中的方格用線分成兩部分，使其中一部分的面積與圖（A）相等。圖（A） 圖（B）檢測情況：51%的學(xué)生會利用數(shù)方格來找到面積相等的部分，并能正確的畫出線； 35%的學(xué)生雖然有意識利用數(shù)方格，但還不能靈活運(yùn)用； 14%的學(xué)生不會做。結(jié)合這次實(shí)踐

8、研究，僅就這次教學(xué)出現(xiàn)的問題反思：課中有學(xué)生回答說，比較兩個(gè)圖形的面的大小，周長越長的圖形面積就越大。自此以后，一直有學(xué)生這樣認(rèn)為，更為重要的問題是一節(jié)課后還有很多學(xué)生還是這樣認(rèn)為。教學(xué)中本應(yīng)水到渠成地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積大小的比較是需要用統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)（面積單位）來度量的，結(jié)果發(fā)現(xiàn)一維空間中“周長”的概念對于學(xué)生認(rèn)識二維空間的“面積”來說具有很強(qiáng)的負(fù)遷移作用，在平面圖形中可以直接用工具（如直尺）來度量的“線”屬于強(qiáng)刺激源，而只能通過間接度量的“面”屬于弱刺激源，另外長度的學(xué)習(xí)在前，學(xué)生在學(xué)習(xí)中就會潛意識地受到長度的影響，總覺得周長越長的圖形的面積就越大似地。三、風(fēng)乍起，吹皺一池春水針對這些情況，我們必須

9、深入思考下面的幾個(gè)問題：問題1：學(xué)生對面的理解已經(jīng)具有相當(dāng)豐富的直觀感知，對“面積”的直觀認(rèn)識也不乏有其感受，但對“物體的表面或圖形的大小就是它們的面積”這樣的話學(xué)生能理解到什么程度？ 問題2：學(xué)生已經(jīng)建立了“一維”空間中長度、周長的概念，這對學(xué)生學(xué)習(xí)“二維”空間中面積的概念所具有的負(fù)遷移功能如何讓其弱化至最小？問題3：如何讓學(xué)生從面積概念的認(rèn)識和理解過渡到對面積單位的產(chǎn)生過程？比較兩個(gè)圖形（或物體表面）的面積大小是不是必經(jīng)過程？設(shè)計(jì)此環(huán)節(jié)的目的和價(jià)值何在？問題4：為學(xué)生提供多樣的學(xué)具操作來引導(dǎo)學(xué)生思考面積的大小需要統(tǒng)一的單位來測量這個(gè)環(huán)節(jié)是擺設(shè)、作秀，還是別有用心？問題5：如何才能做到讓老師

10、結(jié)合實(shí)際（教學(xué)水平、教學(xué)藝術(shù)、教學(xué)特色）在多種多樣的教學(xué)設(shè)計(jì)中選取比較適合于自己的教學(xué)，讓教學(xué)順其自然，水流成河？韓愈在答李翊書中說：“水大而物之浮者大小畢浮”，教學(xué)中的問題就應(yīng)該如大海中的水，能讓浮者畢浮。面對如此多的質(zhì)疑或問題，如何應(yīng)對、分析和解決成為教學(xué)這部分內(nèi)容最為關(guān)鍵的問題，今后學(xué)習(xí)“體積的認(rèn)識”的時(shí)候同樣存在類似的問題。全國著名特級教師華應(yīng)龍老師寫過一篇文章“讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然”，我想：學(xué)習(xí)如此，教學(xué)亦如此，教學(xué)設(shè)計(jì)的流暢就應(yīng)該像呼吸一樣的自然，我再想：教學(xué)如水，像“冰山上的來客”一路奔流而來，像山間水庫般地靜謐，還是像海水奔騰時(shí)的洶涌澎湃？四、問渠那得清如許教學(xué)也是不怕疑問就怕

11、無疑，朱熹在觀書有感中有兩句詩“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”。教學(xué)之水，猶如長江之水，有源頭之水才能清如許，我們不妨從以下幾個(gè)方面來看：（一）、關(guān)于面積。僅就面積的概念來看，現(xiàn)行的幾套小學(xué)數(shù)學(xué)教材的處理是有差異的，人教版、新世紀(jì)版（北師大版）、西師版是有結(jié)語的，而蘇教版和青島版是沒有結(jié)語的。表述方式上也是有區(qū)別的。人教版的是：物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積；北師大版為：物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。西師版的是：物體表面或平面圖形的大小叫做它們的面積。幾個(gè)結(jié)語的不同主要表現(xiàn)在“封閉圖形”和“平面圖形”、“就是”和“叫做”這幾個(gè)關(guān)鍵詞方面，當(dāng)然使用某種教材教學(xué)時(shí)還得注意需要

12、強(qiáng)化和突出概念中的哪些內(nèi)容。不過要處理好“社會數(shù)學(xué)”（對面積的生活經(jīng)驗(yàn)）與“學(xué)校數(shù)學(xué)”（面積概念的理解）之間的關(guān)系，也就是指學(xué)生對面積的認(rèn)識是一個(gè)漸進(jìn)的過程，需要不斷地完善與豐富。（二）、關(guān)于測試。如果僅就上面的測試結(jié)果來看，其中反映出來的教學(xué)中的問題是不應(yīng)該出現(xiàn)的，甚至是不可原諒的，但是幾次試教都出現(xiàn)這種情況就絕不是偶然，雖不能說是必然，至少可以說是自然。此次測試的成功之處在于：深入了解了學(xué)生對認(rèn)識面積前后的思維狀況，暴露出學(xué)生思維深處根深蒂固的認(rèn)知對新知學(xué)習(xí)的干擾，感受到學(xué)生認(rèn)識事物前后不斷更新、矯正的過程。測試不僅僅是一種手段，一種了解學(xué)生思考問題的手段，也是一種工具，是診斷教學(xué)的工具。

13、（三）、關(guān)于設(shè)計(jì)。僅就此內(nèi)容，幾易其稿，先后完全不一樣的教學(xué)設(shè)計(jì)使教學(xué)效果也大相徑庭，特別是對于面積概念的內(nèi)涵和外延，學(xué)生理解的層次是千差萬別的。如引入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)就分別從教材主題圖、生活中比手掌印、土地測量、圖形比大小等方面嘗試過；“比一比，哪個(gè)圖形面積大”這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)最主要是思考和嘗試是否為學(xué)生提供學(xué)具、提供什么樣的學(xué)具、如何組織引導(dǎo)學(xué)生操作學(xué)具；比較圖形面積大小的方法（如觀察、重疊、測量）有沒有必要刻意為之，是為了比較方法的多樣化還是對學(xué)生理解概念真有其用等等。（四）、關(guān)于教學(xué)。實(shí)際上，要想讓教學(xué)如水，不僅是流水般的自然，還應(yīng)該成為滋潤學(xué)生心田的甘露，就應(yīng)該讓教學(xué)在精心的設(shè)計(jì)之下順勢而行

14、、順應(yīng)而生。結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，在前測和后測的基礎(chǔ)上，靈活地設(shè)計(jì)教學(xué)，根據(jù)教學(xué)現(xiàn)實(shí)適時(shí)地作出應(yīng)對和調(diào)整。關(guān)鍵是理清教學(xué)思路：面積的認(rèn)識認(rèn)識物體的面物體的面有大有小面積的含義比較物體表面的大小比大小封閉圖形的大小面積的含義觀察重疊測量統(tǒng)一測量標(biāo)準(zhǔn)（五）、關(guān)于問題。問題1：對于學(xué)生對面的理解已經(jīng)具有相當(dāng)豐富的直觀感知，對“物體的表面或封閉圖形（平面圖形）的大小就是（叫做）它們的面積”這種描述性的語言，學(xué)生基本上是能理解的，但是這句話對于學(xué)生真正理解“面積”的概念在突出和強(qiáng)化其內(nèi)涵方面是很有價(jià)值的，如果不注重處理好操作和理解過程僅僅一句話是沒有多少實(shí)際意義的。問題2：學(xué)生已經(jīng)建立了“一維”空間中長度

15、、周長的概念，盡量弱化其對學(xué)生學(xué)習(xí)“二維”空間中面積的概念所具有的負(fù)遷移功能使之最小。需要一個(gè)過程，教學(xué)如水之流淌需要一個(gè)過程，一個(gè)兼容、流失、蒸發(fā)、補(bǔ)充的過程。陶行知先生如是說：“我以為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)?！比~圣陶先生也曾指出：“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)?！币关?fù)遷移功能失效或低效的最好的方法就是因勢利導(dǎo)。根據(jù)教學(xué)生成設(shè)計(jì)一組或者一系列的情境讓其辨識，以盡力幫助學(xué)習(xí)解決認(rèn)知沖突的問題。問題3：讓學(xué)生經(jīng)歷從面積概念的認(rèn)識和理解過渡到對面積單位的產(chǎn)生過程，就是認(rèn)真履行概念教學(xué)注重“概念形成過程”的要求。在教學(xué)中設(shè)計(jì)“比較兩個(gè)或幾個(gè)圖形（或物體表面）的面積大小

16、”應(yīng)該是必經(jīng)過程，設(shè)計(jì)這個(gè)環(huán)節(jié)的目的和價(jià)值最主要就是體現(xiàn)在：落實(shí)教材安排的 “物體有面每個(gè)面都有大小面的大小是面積比較面積的大小多種比較方法統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)”線索；通過比較的過程，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中得到經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，在如何選擇度量方式的過程中使大家都體會到方法的多樣性。問題4：為學(xué)生提供多樣的學(xué)具操作來引導(dǎo)學(xué)生思考面積的大小需要統(tǒng)一的單位來測量這個(gè)環(huán)節(jié)雖不能說是獨(dú)具匠心，當(dāng)然不是擺設(shè)、作秀，這是一種數(shù)學(xué)思想方法化歸思想的體現(xiàn)，化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易，在此，將所要比較的圖形的面積采取大化小的方法，只是在實(shí)際的教學(xué)中學(xué)生真的是不可能想到用小長方形、小三角形、圓形、正方形來測量，但是學(xué)

17、生參與這個(gè)探索和研究的過程是很有價(jià)值的，“別有用心”之處在于讓學(xué)生體驗(yàn)到測量工具的別樣導(dǎo)致測量方法的優(yōu)劣，感受到不管用什么工具度量能做到密鋪和統(tǒng)一是測量面積最為有價(jià)值的好方法。問題5：在教學(xué)中老師如何設(shè)計(jì)出結(jié)合自身實(shí)際（教學(xué)水平、教學(xué)藝術(shù)、教學(xué)特色）的教學(xué)，如何在多種多樣的教學(xué)設(shè)計(jì)中選取比較適合于自己的教學(xué)，讓教學(xué)順其自然，如水般地滲透到能滲透之地，關(guān)鍵在于“預(yù)則立不預(yù)則廢”，教學(xué)的務(wù)實(shí)設(shè)計(jì)、教學(xué)目標(biāo)的制定、教學(xué)方法的選取等因素直接制約著概念教學(xué)的成敗，正如華東師范大學(xué)張奠宙教授所說：定義很重要，但不是所有的定義都重要，如此看來，教學(xué)概念亦如此，遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)才是適合于自己的教學(xué)。小學(xué)

18、數(shù)學(xué)中的概念具有下面的特點(diǎn)：準(zhǔn)確、簡練、嚴(yán)密、抽象、概括性強(qiáng)。當(dāng)然不是每個(gè)概念都同時(shí)具有這幾點(diǎn)，小學(xué)數(shù)學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域中的幾個(gè)的概念值得我們?nèi)ド钊胙芯?，如線段、射線和直線；長度的認(rèn)識；體積和容積等，一線教師最大的困惑就在于：面對這些生活中就自然形成的描述性的概念，要講清楚非常困難（甚至自己也不清楚），也把握不好應(yīng)該講到什么程度。五、水光瀲滟晴方好“教學(xué)如水，水是由氫和氧兩種元素組成的，教學(xué)是由教和學(xué)兩個(gè)方面有機(jī)結(jié)合而成的。”“教學(xué)如水，水是自然界中一種極普通、極常見的物質(zhì)，無形無色也無味。水的性質(zhì)如此，教學(xué)的性質(zhì)亦如此。因其無形，才可以無孔不如地滋潤學(xué)生的心田；因其無色，才可以了無痕跡地洗凈眼中的灰塵；因其無味，才會不知不覺地滲透相對蒼白的靈魂。”小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)亦如水，在動(dòng)與靜之間尋找位置。教學(xué)中建議采