概率論核心概念及公式(全)

1、。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)核心公式第 1 章隨機(jī)事件及其概率（1）排Pmnm!從 m個(gè)人中挑出n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。列組合( m n)!C mnm!公式從 m個(gè)人中挑出n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n! (mn)!加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n 種方（2）加法來(lái)完成，則這件事可由m+n種方法來(lái)完成。法和乘乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事：）mn法原理某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來(lái)完成，則這件事可由mn 種方法來(lái)完成。（3）重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）一些常對(duì)立事件（至少有一

2、個(gè)）見(jiàn)排列順序問(wèn)題（4）隨 如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在機(jī)試驗(yàn) 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。和隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（5）基 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。本事這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用 來(lái)表示?；臼录娜w，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。件、樣一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)（基本事件 ）組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A，B，本空間C， 表示事件，

3、它們是 的子集。和事件為必然事件， 為不可能事件。?不可能事件（ ）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然?事件（）的概率為1，而概率為1 的事件也不一定是必然事件。關(guān)系：如果事件 A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B發(fā)生）：A B如果同時(shí)有 AB ， BA ，則稱(chēng)事件A與事件 B等價(jià)，或稱(chēng)A等于 B：A=B。A、B 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B，或者 A+B。屬于A而不屬于BA與 B的差，記為A-B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為，也可表示為A-AB或者 AB ，它表示 A 發(fā)生而 B不發(fā)生的事件。（6）事 A、B 同時(shí)發(fā)生：AB，或者 AB。A B= ，則表

4、示 A與 B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件 A件的關(guān)?與事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。系與運(yùn)-A 稱(chēng)為事件 A 的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為A 。它表示 A不發(fā)生的事件。算互斥未必對(duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC)德摩根率： AiAiABAB，ABA Bi 1i 1（7）概設(shè)為樣本空間，A 為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A 都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿(mǎn)足下列精選資料，歡迎下載。率的公三個(gè)條件：理化定1 0 P(A)1，義2 P( ) =13 對(duì)于兩兩互不相容的事件 1 ， 2 ， 有AAPA

5、iP( Ai )i1i 1常稱(chēng)為可列（完全）可加性。則稱(chēng) P(A)為事件 A 的概率。11 ,2n ，2 P( 1) P( 2)P( n )1。（8）古設(shè)任一事件 A ，它是由 1 ,n2m 組成的，則有典概型P(A) (1)(2)(m )=P( 1) P(2 )P( m )=mA所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中（9）幾的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A，何概型L(A)P( A)。其中 L 為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積。）L ()（10）P(A+B)=P(A)+P(B)-P

6、(AB)加法公當(dāng) P(AB)0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)式（11）P(A-B)=P(A)-P(AB)減法公當(dāng) BA 時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)式當(dāng) A=時(shí)，P( B )=1- P(B)P(AB)為事件 A發(fā)生條件下，事件 B 發(fā)定義 設(shè) A、B是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱(chēng)（12）P( A)P(AB)條件概生的條件概率，記為P(B / A)P( A)。率條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式：P( AB)P( A)P(B / A)乘法公更一般地，對(duì)事件A1，A2， An，若 P(A1A

7、2 An-1)0，則有式P( A1 A2 An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1 A2)P( An | A1A2 An 1) 。兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A 、 B 滿(mǎn)足P( AB)P( A)P(B) ，則稱(chēng)事件A 、 B 是相互獨(dú)立的。若事件 A 、 B 相互獨(dú)立，且P( A)0 ，則有P( AB)P( A) P( B)P( B)P(B | A)P( A)P( A)（14）若事件 A 、 B 相互獨(dú)立，則可得到A 與 B 、 A 與 B 、 A 與 B 也都相互獨(dú)立。獨(dú)立性必然事件 和不可能事件? 與任何事件都相互獨(dú)立。? 與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè) ABC是三

8、個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)精選資料，歡迎下載。那么 A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于 n 個(gè)事件類(lèi)似。設(shè)事件B1, B2, Bn 滿(mǎn)足，1B,B, B兩兩互不相容，1,2, ,n)nP(B ) 0(i（15）12in全概公2 ABi ，式i 1則有P( A) P( B1) P( A | B1) P( B2) P( A | B2)P(Bn)P( A | Bn) 。設(shè)事件1，B2， ，B 及A滿(mǎn)足Bn1 B1， B2 ， ， Bn 兩兩互不相容，P(Bi ) 0，

9、 i1，2， ，n ，n2 Ai 1Bi ， P( A)0 ，（16）則P(Bi ) P( A / Bi )貝葉斯P( Bi / A)n，i=1，2， n。公式P( B j ) P( A / B j )j 1此公式即為貝葉斯公式。（17）伯努利概型P( Bi )，（ i1，2 ， ，n），通常叫先驗(yàn)概率。，（i1，2 ， ，n），P(Bi / A)通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。我們作了n 次試驗(yàn)，且滿(mǎn)足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A 發(fā)生或 A 不發(fā)生；n 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A 發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn) A 發(fā)生與

10、否與其他次試驗(yàn)A 發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為n 重伯努利試驗(yàn)。用 p 表示每次試驗(yàn)A 發(fā)生的概率，則A 發(fā)生的概率為1 p q ，用Pn (k ) 表示 n 重伯努利試驗(yàn)中A 出現(xiàn)k (0 k n) 次的概率，n(k )kkqn k， k 0,1,2, , n 。PCn p第二章 隨機(jī)變量及其分布（1）離散設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的可能取值為Xk(k=1,2, ) 且取各個(gè)值的概率，即事件型隨機(jī)變(X=X) 的概率為k量的分布P(X=xk)=pk，k=1,2, ，律則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：Xx1, x2, , xk,P(

11、Xk | 12k。x ) p , p , , p ,顯然分布律應(yīng)滿(mǎn)足下列條件：（1） pk0 ， k 1,2,， （2） pk 1。k 1（2）連續(xù)設(shè) F (x) 是隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f ( x) ，對(duì)任意實(shí)數(shù)x ，有型隨機(jī)變xF (x)f ( x) dx ，量的分布則稱(chēng) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量。f ( x) 稱(chēng)為 X 的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度密度。密度函數(shù)具有下面4 個(gè)性質(zhì)：1f ( x) 0 。2f ( x)dx 1。精選資料，歡迎下載。（3）離散P( Xx)P( xXxdx)f (x)dx與連續(xù)型 積分元 f ( x)dx 在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用

12、與P( X xk) pk 在離散型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。的關(guān)系（4）分布設(shè) X 為隨機(jī)變量，x 是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)函數(shù)F ( x)P(Xx)稱(chēng)為隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a X b) F (b) F (a) 可以得到 X落入?yún)^(qū)間(a,b 的概率。分布函數(shù) F (x) 表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（，x 內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：123450 F (x)1,x；F( x) 是單調(diào)不減的函數(shù)，即x1x2 時(shí)，有 F ( x1)F ( x2) ；F ()lim F ( x)0， F() lim F ( x)1 ；xxF (x0)F (x) ，即 F ( x)

13、 是右連續(xù)的；P( Xx) F ( x) F ( x 0) 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn) ( x)pk ；xkxx對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn) ( x)f ( x) dx 。（5）八大0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q分布二項(xiàng)分布在 n 重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A 發(fā)生的概率為 p 。事件 A 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X ，則 X 可能取值為0,1,2, , n 。P( X k) Pn (k ) C nk p k qn k ， 其中q 1 p,0 p1, k 0,1,2, n ，則稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為n ， p 的二項(xiàng)分布。記為 X B( n, p) 。當(dāng) n 1 時(shí)，P( Xk) p

14、k q1k ， k0.1 ，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為k0 ， k0,1,2 ，P( X k)e ，k!則稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 的泊松分布，記為X ( ) 或者 P( )。超幾何分布幾何分布泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=，n）。knkk0,1,2 , lP(X k )CMCNM,min(M , n)CNnl隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。P(Xk)q k 1 p, k1,2,3,，其中 p0，q=1-p。隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為p 的幾何分布，記為G(p)。精選資料，歡迎下載均勻分布。設(shè)

15、隨機(jī)變量X 的值只落在a ，b 內(nèi)，其密度函數(shù)f ( x) 在a ，b 上為常數(shù) 1 ，即ba1,a xbf ( x)ba0,其他，指數(shù)分布則稱(chēng)隨機(jī)變量X 在a ，b 上服從均勻分布，記為XU(a，b) 。分布函數(shù)為0，xb 。當(dāng) ax1x2b 時(shí)，X落在區(qū)間（x1 ,x2 ）內(nèi)的概率為P(x1 X x2 )x2x1 。baex ,x0,f (x)x0,0,其中0 ，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為1 e x ,x0 ,F ( x)0,x0。記住積分公式：x n e x dxn!0精選資料，歡迎下載。正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為( x) 2122，x，f ( x )e2其

16、中 、0 為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 、 的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為X N ( , 2 ) 。f (x) 具有如下性質(zhì)：1 f ( x) 的圖形是關(guān)于x對(duì)稱(chēng)的；2 當(dāng) x時(shí)， f ()1為最大值；2若X N( ,2 ) ，則 X 的分布函數(shù)為1(t)2x2。F ( x)e 2dt2參數(shù)0 、1時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X N (0,1) ，其密度函數(shù)記為1x2e 2 ，x，(x)2分布函數(shù)為xt 21e 2 dt 。( x)2( x) 是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x) 1-(x) 且(0) 1 。如果X N( ,2)，則X2 N (0,1)

17、。P(x1Xx2 )x2x1。（6）分位 下分位表：P( X)；數(shù)上分位表：P( X)。（7）函數(shù) 離散型已知 X 的分布列為分布Xx1, x2, xn ,，P( Xxi) p1, p2, pn,Y g( X ) 的分布列（ yig (xi ) 互不相等）如下：Yg(x1), g( x2), g(xn),P(Yyi )12,，np ,p ,p ,若有某些g (xi) 相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的pi 相加作為 g( xi ) 的概率。連續(xù)型先利用 X的概率密度f(wàn) X(x)寫(xiě)出 Y 的分布函數(shù)FY(y) P(g(X)y) ，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出f Y(y) 。第三章二維隨機(jī)變量及其分布精選資料

18、，歡迎下載。（1）聯(lián)合離散型如果二維隨機(jī)向量 （X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有分布序?qū)Γ▁,y ），則稱(chēng) 為離散型隨機(jī)量。設(shè) =（X，Y）的所有可能取值為(xi, y j )(i , j 1,2, ) ，且事件=( xi , y j ) 的概率為 pij, , 稱(chēng)P( X ,Y ) ( xi , y j ) pij (i , j 1,2,)為 =（X，Y）的分布律或稱(chēng)為X和 Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示：Yy1y2yjXx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij這里 pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：pij （ ）；（1）0 i,j=1,2,（2）pij

19、 1.ij連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量( X ,Y ) ，如果存在非負(fù)函數(shù)f ( x, y)(x,y) ，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1時(shí)，有 F（x2,y ）F(x1,y); 當(dāng) y2y1時(shí)，有 F(x,y 2) F(x,y 1);（3）F（x,y ）分別對(duì) x 和 y 是右連續(xù)的，即F ( x, y)F ( x0, y), F (x, y)F (x, y0);（4）F ( ,) F (, y) F ( x,)0,F(,)1.（5）對(duì)于 x1x2，y1y2，F(xiàn) ( x2，y2 )F ( x2，y1 )F ( x1，y2 )F ( x1，y1 )

20、 0 .精選資料，歡迎下載。（4）離散P( X x， Yy)P(xX xdx， y Yydy) f ( x， y)dxdy型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣離散型X的邊緣分布為分布PiP( Xxi )pij (i , j1,2,) ；jY的邊緣分布為P jP(Yy j )pij (i , j1,2,) 。i連續(xù)型X的邊緣分布密度為f X ( x)f (x, y)dy；Y的邊緣分布密度為fY ( y)f (x, y) dx.（6）條件離散型在已知 X=xi的條件下，Y取值的條件分布為分布P(Yy j| X xi )pij ；pi在已知Y=yj的條件下， 取值的條件分布為XP( Xxi|Y y j )pi

21、j ,p j連續(xù)型在已知 Y=y的條件下，X的條件分布密度為f ( x | y)f ( x, y)fY ( y) ；在已知 X=x的條件下，Y的條件分布密度為f ( y | x)f ( x, y)f X ( x)（7）獨(dú)立一般型F(X,Y)=FX(x)F Y(y)性離散型pijpi p j有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)二維正態(tài)分布隨機(jī)變量的函數(shù)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形122 ( x 1 )( y 2 )21x 1y 22(1 2)11 22f ( x, y)e,221210若 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn 相互獨(dú)立， h,g 為連續(xù)函數(shù)，則

22、：h（X1，X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互獨(dú)立。特例：若 X與 Y 獨(dú)立，則：h（X）和 g（Y）獨(dú)立。例如：若 X與 Y 獨(dú)立，則：3X+1和 5Y-2獨(dú)立。精選資料，歡迎下載（8）二維均勻分布。設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為1( x, y) DSDf ( x, y)0,其他其中 SD為區(qū)域D的面積，則稱(chēng)（X，Y）服從 D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖 3.1 、圖 3.2 和圖 3.3。y1D1O1x圖 3.1y1D 2O12x圖 3.2ydD3cO abx圖 3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為x 122112 ( x 1 )(

23、y 2 )y 2f ( x, y)2(12 )11 222e,2112其中1,2,10,20, | 1是 5 個(gè)參數(shù)，則稱(chēng)（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（ 1 ,2,12 ,22 ,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 XN（ 1, 12 ),Y N( 2, 22 ).但是若 XN（1 , 12 ),Y N ( 2 ,22 ) ，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。精選資料，歡迎下載（10）函數(shù) Z=X+Y 分布Z=max,min(X1,X2,Xn)。根據(jù)定義計(jì)算：FZ ( z)P(Zz) P( X Yz)Zf xzxdx對(duì)于連續(xù)型，f (z)

24、( ,)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（ 12, 1222 ）。n 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。C i222i ，Ciiii若X1, X2X n 相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx( x)， Fx(x) Fx (x)1 2n12n，則 Z=max,min(X,X ,X) 的分布函數(shù)為：2 分布Fmax ( x)Fx1 (x)Fx2 (x)Fmin (x)11Fx1 ( x)設(shè) n 個(gè)隨機(jī)變量X 1 , X 2 , 可以證明它們的平方和nW X i2i 1的分布密度為Fxn (x)1Fx2 ( x)1Fxn ( x), X n 相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，t 分布n1u1e

25、u0,nu 22f (u)22n20,u0.我們稱(chēng)隨機(jī)變量W服從自由度為n 的 2 分布，記為W 2 (n) ，其中nn1x dx.x 2e20所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2 分布滿(mǎn)足可加性：設(shè)Yi2 ( ni ),則k2 ( n1 n2ZYi nk ).i 1設(shè) X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X N(0,1),Y 2 (n),可以證明函數(shù)XTY / n的概率密度為n 12n12t2(t).f (t)1nnn2我們稱(chēng)隨機(jī)變量T 服從自由度為n 的 t 分布，記為T(mén)t(n) 。t1( n)t (n)精選資料，歡迎下載。F 分布設(shè) X 2 (n1 )

26、, Y X / n12 (n2 ) ，且 X與 Y獨(dú)立，可以證明FY / n2的概率密度函數(shù)為n1n2n1n1n1n 2221n1 y2f ( y)n1n2n1y 21, y 0n2n2220, y0我們稱(chēng)隨機(jī)變量F 服從第一個(gè)自由度為n1，第二個(gè)自由度為n2的 F分布，記為 Ff(n 1, n 2).F1 (n1 , n2 )1F (n2 , n1 )第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征（1）離散型連續(xù)型一維期望設(shè) X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概隨機(jī)期望就是平均值布律為 P(Xxk率密度為 f(x) ，變量k ) p ，k=1,2, ,n ，E(X )xf ( x)dx的數(shù)nE(

27、X)xk pk字特k 1（要求絕對(duì)收斂）征（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)n方差D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差(X)D(X) ，E(Y)g (xk ) pkE(Y)g( x) f ( x) dxk 1D(X) xk E( X ) 2 pkD(X ) x E( X ) 2 f ( x)dxk矩對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量 X的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為X的 k 階原點(diǎn)矩，記為vk, 即kkxi pi ,k=E(X)=ik=1,2, .對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為X的 k 階原點(diǎn)矩，記為vk, 即kkk=E(X)=x f ( x)dx,k=1,2,.對(duì)于正整數(shù)k

28、，稱(chēng)隨機(jī)變量 X 對(duì)于正整數(shù)k，稱(chēng)隨機(jī)變量X與 E（X）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期 與 E（X）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 X的 k 階中心矩，記為 k ， 望為 X的 k 階中心矩，記為 k ，即即E( X E( X ) kkE( X E( X ) kk.E( X ) k pi ，.=(xi=( xE ( X ) k f ( x) dx,ik=1,2,.k=1,2,.精選資料，歡迎下載。2切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差 D（X）= ，則對(duì)2P(X)2切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率P( X)的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2） E(C)=C期望）

29、E(CX)=CE(X)的性nnC i X i )Ci E( X i )質(zhì)） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E (i 1i 1） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和 Y獨(dú)立；充要條件：X和 Y不相關(guān)。（3）D(C)=0；E(C)=C2方差） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)2的性） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b2 2質(zhì) ） D(X)=E(X)-E (X)） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和 Y獨(dú)立；充要條件：X和 Y不相關(guān)。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y) ，無(wú)條件成立。而 E(X+Y

30、)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。（4）常見(jiàn)0-1 分布 B(1, p)分布二項(xiàng)分布B(n, p)的期泊松分布P( )望和方差幾何分布G ( p)超幾何分布H ( n, M , N )均勻分布U (a, b)指數(shù)分布e( )正態(tài)分布N(,2)2 分布t 分布（5）期望二維隨機(jī)變量的數(shù)字特函數(shù)的期望征期望方差pp(1p)npnp(1p)11ppp 2nMnMMNnNN1N1Nab(ba) 22121122n2n0n(n2)n2nE(X)xi piE(X)xf X ( x) dxi1nE(Y)y j p jE(Y)yf Y ( y)dyj1EG(X , Y) EG( X ,Y ) G (xi ,

31、 y j ) pijG( x, y) f ( x, y)dxdyij精選資料，歡迎下載。方差D(X) x E( X ) 2 f X ( x)dxD(X) xiE( X ) 2 piiD (Y) x jE(Y ) 2 p jD(Y) y E(Y ) 2 fY ( y)dyj協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與 Y，稱(chēng)它們的二階混合中心矩 11 為 X與 Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為 XY 或 cov( X , Y) ，即XY11 E( X E( X )(YE(Y).與記號(hào)XY 相對(duì)應(yīng)，X 與 Y的方差 D（X）與 D（Y）也可分別記為XX 與 YY。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，則稱(chēng)XYD(X )D(Y)協(xié)方差矩陣混合矩為 X與 Y的相關(guān)系數(shù)，記作 XY （有時(shí)可簡(jiǎn)記為 ）。| | 1，當(dāng)| |=1 時(shí)，稱(chēng) X與 Y完全相關(guān)：P( X aY b) 1正相關(guān)，當(dāng)時(shí)0)，完全相關(guān)1 (a負(fù)相關(guān)，當(dāng)時(shí)，1 ( a0)而當(dāng)0 時(shí)，稱(chēng) X與 Y不相關(guān)。以下五個(gè)命題是等價(jià)的： XY0；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).XXXYYXYY對(duì)于隨機(jī)變量X與 Y，如果有E( X k Y l ) 存在，則稱(chēng)之