拋物線的焦點弦性質(zhì)

1、拋物線的焦點弦性質(zhì) 二、拋物線的焦點弦性質(zhì)二、拋物線的焦點弦性質(zhì) 例例1.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和的焦點的一條直線和 拋物線相交拋物線相交,兩交點為兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通徑長為通徑長為2 p (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; (4)若直線若直線AB的傾斜角為的傾斜角為,則則|AB|=2p/sin2 (5)以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. (6)焦點焦點F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。 O y A B F 112 (7) AFBFp 拋物線

2、的焦點弦性質(zhì) x x y y o o A A BB F x O y A B F 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線的焦點的一條直線和拋物線 相交相交,兩交點為兩交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (1)|AB|=x1+x2+p (2)通徑長為通徑長為2p 拋物線的焦點弦性質(zhì) A X y O F B l l A1 M1 B1 M 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (5)以以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 222 11 1 證

3、明：如圖， AABBAFBFAB MM 故以故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. 拋物線的焦點弦性質(zhì) X y F A O B A1 B1 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (6)焦點焦點F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。 1 2 3 4 5 6 0 00 2356 35180 49090AFB 證明：如圖， 1=， 4=， 又 14， 1，即 拋物線的焦點弦性質(zhì) 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一

4、條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 證明：思路分析：韋達(dá)定理證明：思路分析：韋達(dá)定理 0 1ABx當(dāng)軸時， pp pp 易得A（ ， ），B（ ，- ）， 22 2 2 22 4 p ypx 11 y-，x； 0 2 AB斜率存在時設(shè)為k，（k0） p 則直線AB方程為y=k（x- ） 2 2px 2 代入拋物線方程y 2 2 20 2 yppy pp kk 22 消元得y（）即y 2 2 yp 1 y-； 222 11 2 224 yyp x pp 1 x x O y A B F 拋物線的焦點弦性質(zhì)

5、2 2 22 2 12 2242 12 2 2 2() 2 2 20 ( 2244 ypx p yp my p xmy ypmyp y yp yypp ppp 12 即： （定值） x x定值） 2 p ABxmymR設(shè)方 程 法 二 ： 由 題 知 AB不 為， （ 與 x軸 平 行 ） x O y A BF 拋物線的焦點弦性質(zhì) QPBA,為點作準(zhǔn)線的垂線，垂足，解：過 )0 , 2 (), 2 (), 2 ( 21 p Fy p Qy p P QFPF 0QFPF0),(),( 21 ypyp即 0 21 2 yyp 2 21 pyy即 4 2 21 p xx易得： F x O y A B

6、 P Q 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則(3)x1x2=p2/4; y1y2=-p2; 法法3：利用性質(zhì)焦點：利用性質(zhì)焦點F對對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為在準(zhǔn)線上射影的張角為90 。 拋物線的焦點弦性質(zhì) 代入拋物線得代入拋物線得y2ms， 練習(xí)練習(xí) (1).若直線過定點若直線過定點M(s,0)(s0)與拋物線與拋物線 y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證求證:x1x2=s2;y1y2=- 2ps. 證明：設(shè)證明：設(shè)AB 的方程為的方程為=ms

7、（m） 222 2 12 12 2 2 224 yyps x xs ppp （） 12 2syyp (2). 若直線與拋物線若直線與拋物線y2=2px(p0)交于交于A(x1,y1)、B(x2,y2), 且有且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點求證：直線過定點 (s,0)(s0) 證明證明： 2 11 2 22 2 2 ypx ypx 12 1212 2 AB yyp k xxyy 相減得 11 12 2p AByyxx yy 直線方程為（） 2 1121 022yyy ypxpx令得 2 11 2ypx 12 因為，y y =-2ps代入上式得 0 xsABs 直線必過點

8、（ ， ） l y y2=2 px A M x B 拋物線的焦點弦性質(zhì) 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y1)、B(x2,y2),則則 (4)若直線若直線AB的傾斜角為的傾斜角為,則則|AB|=2p/sin2 x O y A B F 證明證明: 思路分析思路分析 |AB|=|AF|+|BF|= 12 xxp 0 190 pp 20 （）時，k不存在， pp 易得A（ ， ），B（ ，- ）， 22 2p AB =2P= sin 90 0 2 290tantankyx px 1 2 p （ ）時，斜率，直線

9、方程為（） 2 2p 然后聯(lián)立方程組用韋達(dá)定理得 ABx sin 思考：焦點弦何時最短？思考：焦點弦何時最短？過焦點的所有弦中，通徑最短過焦點的所有弦中，通徑最短 拋物線的焦點弦性質(zhì) 12 12 12 12 1212 222 121212 12 12 7) 22 111122 2222 ()() 24442 2 () 2 pp AFXBFX pp XX pppp AFBF XXXX xxpxxp ppppp x xxxxx xxp p p xxp x O y A B F 過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的一條直線和拋物線相交的焦點的一條直線和拋物線相交,兩兩 交點為交點為A(x1,y

10、1)、B(x2,y2),則則 112 AFBFp 拋物線的焦點弦性質(zhì) 例例2.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的焦點F的一條直線和的一條直線和 拋物線相交于拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (1)AO交準(zhǔn)線于交準(zhǔn)線于C,則直線則直線CB平行于拋線的對稱軸平行于拋線的對稱軸 . 2 22 2 1212 : ,2, 2 20. . AB p xmyypx ypmyp AyByy yp 12 證明 設(shè)直線的方程 代入得 設(shè)（x， ），（x ， ）則 xC 11 11 ypypp y=，x=-聯(lián)立得（- ，-） x222x 12 1 2 2 1 y y y p y y 11

11、c2 11 pypy y- y2x 2 2p |BCX軸 y F A B C O 拋物線的焦點弦性質(zhì) 例例2.過拋物線過拋物線y2=2px(p0)的焦點的焦點F的一條直線和的一條直線和 拋物線相交于拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2), (2)過過B作作BC準(zhǔn)線準(zhǔn)線l,垂足為垂足為C,則則AC過原點過原點O共線共線. (2001年高考題年高考題) 2 22 2 1212 : ,2, 2 20. . AB p xmyypx ypmyp AyByy yp 12 證明 設(shè)直線的方程 代入得 設(shè)（x， ），（x ， ）則 |BX軸 2 Cy p （-， ）， 2 2 1 p C y p 即（

12、-，） 2 2 2 111 1111 21 2 OA p yyyp k p yxyx OC k |OC OAO且共點 ，ACO直線過點 y F A B C O 拋物線的焦點弦性質(zhì) 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的上的 兩點，且兩點，且OAOB， 1. 求求A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 2. 求證：直線求證：直線AB過定點；過定點； 3. 求弦求弦AB中點中點P的軌跡方程；的軌跡方程； 4. 求求AOB面積的最小值；面積的最小值； 5. 求求O在在AB上的射影上的射影M軌跡方程軌跡方程. 二、拋物線中的直角三角形問題二、拋物

13、線中的直角三角形問題 拋物線的焦點弦性質(zhì) 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且 OAOB， (1) 求求A、B兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積； 解答解答 (1)設(shè)設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，中點，中點P(x0, y0)， 2 2 1 1 , x y k x y k OBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 0 22 21 2 2 2 1 yy p y p y y10, y20, y1y2= 4p2 x1x2=4p2. 拋物線的焦點弦性質(zhì)

14、 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且OAOB， (2) 求證：直線求證：直線AB過定點；過定點； 解答解答(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1 y2)(y1+y2) = 2p(x1 x2) 2121 21 2 yy p xx yy 21 2 yy p k AB )( 2 : 1 21 1 xx yy p yyAB 直直線線 21 1 1 21 22 yy px y yy px y 21 211 2 1 21 22 yy yypxy yy px y 2 211 2 1 4,2pyypxy 21 2 21 42 yy p yy px

15、 y )2( 2 21 px yy p y AB過定點過定點T(2p, 0). 拋物線的焦點弦性質(zhì) ) 2 , 2 ( 2 k p k p A 同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) . k 1 ) 1 ( ) 1 ( 0 2 2 0 k k py k kpx 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且 OAOB， (3) 求弦求弦AB中點中點P的軌跡方程；的軌跡方程； 2) 1 ( 1 2 2 2 k k k k 2)( 2 00 p y p x 即即 y02 = px0-2p2， 中點中點M軌跡方程軌跡方程 y2 = px-2p2

16、 (3)設(shè)設(shè)OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: k 0， 拋物線的焦點弦性質(zhì) |)|(|)|(| 2 1 2121 yypyyOT SSS BOMAOMAOB (4) 2 21 4|2pyyp 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時，等號成立時，等號成立. 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且OAOB， (4)求求AOB面積的最小值；面積的最小值； 拋物線的焦點弦性質(zhì) (5)法一：設(shè)法一：設(shè)M(x3, y3), 則則 3 3 x y kOM 3 3 y x k AB )(: 3 3 3 3 xx y x yyAB 得代入即p

17、xyxyy x y x2)( 2 33 3 3 , 02 22 3 3 2 3 3 3 2 px x py y x py y 例例3.3. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且OAOB， (5)求求O在在AB上的射影上的射影M軌跡方程軌跡方程. 由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 2 3 3 2 3 42 2 ppx x py 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 點點M軌跡方程為軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉去掉(0, 0). 拋物線的焦點弦性質(zhì) M在以在以O(shè)T為直徑的圓上為直徑的圓上 點點M軌跡方程為軌跡方程為(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉 (0, 0). 評注：此類問題要充分利用評注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論的結(jié)論. OMT=90 , 又又OT為定線段為定線段 法二：法二： AB過定點過定點T(2p, 0). 7.7. A、B是拋物線是拋物線 y2 = 2px(p0)上的兩點，且上的兩點，且OAOB， (5)求求O在在AB上的射影上的射影M軌跡方程軌跡方程.