裂項(xiàng)相消法求和附答案

1、裂項(xiàng)相消法利用列項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)公式列項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使列項(xiàng)前后等式兩邊保持相等。（ 1）若是 a n等差數(shù)列，則11.( 11 ) ,11 .(11 )an an 1d anan 1an an 22d anan 2（ 2）1111） nn1n（ n（ 3）1k)1 ( 1n1)n( nknk（ 4）11 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1（ 5）12)1 1( n1n( n1)(n2n(n 1)1)( n2)（ 6）1n1nn1n（ 7）1k1 (nkn )nnk1.已知

2、數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 解析 (1) 時(shí) , 得 :第1頁共14頁 3 , 5 2.andnSnS4=2S2+8da1=1TnnTnn N*mna d4S=2S2+84a1+6d=2(2a 1+d) +84d=8d=2 4 a1=1d=2an=2n-1 5 = 6 nT= 8 TnnN*第2頁共14頁 10m2-5m-6 0 -1 m 6 m6123.)a S =14, a ,a ,a.n41 3 7( )an;( )Tnn,T2 012. ( )d,(3 )d=1 d=0(), a)1=2. (5an =n+1. (6 )( )=-,(

3、8 )n+-+ +-= -=.(10 ) T= - T2012=.(12 )4.)an ,-=8n+4,|a n |nSn ,nT .n(1)an;(2): Tn1. (1)and,an=a1+(n-1)d. (2)- =8n+4,(an+1+an)(a n+1-an)=d(2a1 -d+2nd)=8n+4.第3頁共14頁當(dāng) n=1 時(shí),d(2a 1+d)=12;當(dāng) n=2 時(shí),d(2a 1+3d)=20.解方程組得或(4 分)經(jīng)檢驗(yàn)知 ,an=2n 或 an =-2n都滿足要求 .an=2n 或 an=-2n. (6 分 )(2)證明 :由 (1) 知 :an=2n 或 an=-2n. |a

4、n|=2n.Sn=n(n+1). (8 分 )=-.Tn=1-+ - + +-=1-. (10 分 ) Tn1. (12 分 )5.已知等差數(shù)列an 的公差為2,前 n 項(xiàng)和為 Sn ,且 S1,S2,S4 成等比數(shù)列 .( )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;( )令b n=(-1)n-1,求數(shù)列 b n的前 n 項(xiàng)和 Tn . 答案 查看解析 解析 ()因?yàn)?S1=a1,S2=2a1+ 2=2a1+2,S =4a + 2=4a+12,411由題意得 (2a1+2)2=a1(4a1+12),第4頁共14頁解得 a1=1,所以 an =2n-1.( )bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-

5、1.當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,Tn=-+ +-=1-= .當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,T =-+ -+=1+=.n所以 Tn =6. 已知點(diǎn)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列第5頁共14頁的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和( 求)數(shù)列和的通項(xiàng)公式；( 若)數(shù)列的前項(xiàng)和為，問的最小正整數(shù)是多少？解析 解： ( )因?yàn)?，所以，所以，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，又公比，所以，因?yàn)?，又，所以，所以，所以?shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1 的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，第6頁共14頁所以. （6分）(由)()得，（10 分）由得，滿足的最小正整數(shù)為72. （12 分）7. 在數(shù)列，中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（） .（）求，及，由此歸納出，的通項(xiàng)公式，

6、并證明你的結(jié)論；（）證明：. 解析 （ ）由條件得，由此可得.猜測(cè). （4分）用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，第7頁共14頁那么當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. （ 7 分）（）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，由（ ）知.所以.綜上所述，原不等式成立. (12 分）8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；第8頁共14頁 1 1 4 6 21 8 .12第9頁共14頁9. a n S4=14 a1 a3 a7 I an IITnnTn 122.d. 3 6 9 1210.II第 10頁共 14頁解析 （）成等差數(shù)列 ,，當(dāng)時(shí)，,兩式相減得：.所

7、以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2 的等比數(shù)列，.（ 6 分）( )， （8分），.（12 分）11.等差數(shù)列 an 各項(xiàng)均為正整數(shù), a1=3, 前 n 項(xiàng)和為 Sn, 等比數(shù)列 bn 中 , b1 =1, 且 b 2S2=64, 是公比為 64 的等比數(shù)列 . ( 求) an 與 b n;(證)明:+ + . 答案 (設(shè)) an的公差為d, b n 的公比為q, 則 d 為正整數(shù) ,an=3+(n-1) d, bn =qn-1.依題意有第 11頁共 14頁由 (6+d) q=64 知 q 為正有理數(shù) , 又由 q= 知 , d 為 6 的因子 1, 2, 3, 6 之一 , 解 得 d=2, q=8

8、.故 an =3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1.( 證)明 :Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2) ,所以+ +=+ +=0, 故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= .故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an =.( )nb=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-,故=-=-2,第 12頁共 14頁+ + =-2+ +=-.所以數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 -.13.等差數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) ,a1=3,其前 n 項(xiàng)和為 Sn,bn為等比數(shù)列 ,b1=1,且 b2S2=16,b 3S3=60.( )求an 和 bn;()求+

9、 +. 答案 ()設(shè)an 的公差為d,且 d 為正數(shù) ,b n的公比為q,an=3+(n-1)d,b n=qn-1,依題意有b2S2=q (6+d)=16,b3S3=q2 (9+3d)=60,(2分 )解得 d=2,q=2.(4 分 )故 an =3+2(n-1)=2n+1,b n =2n-1 .(6 分 ) ( )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分 )所以+ +=+ +=(10 分)= -.(12 分 )14.設(shè)數(shù)列 a n的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 :Sn=nan -2n(n -1). 等比數(shù)列 b n的前 n 項(xiàng)和為 Tn,公比為 a1, 且 T5=T3+2b5.第 13頁共 14頁(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 ;(2)設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 M n,求證 : Mn . 答案 (1)T5=T3+2b 5, b4+b5=2b 5,即 (a1-1)b4=0,又 b 4 0, a1=1.n2時(shí) ,an=Sn-Sn -1=na n-(n-1)an-1-4(n-1),即 (n-1)an -(n-1)an-1 =