框架結構在水平荷載下的計算反彎點法和D值法

1、1 框架所承受 的水平荷載主要 是風荷載和水平 地震作用，它們 都可以轉化成作 用在框架節(jié)點上 的集中力。 (一)水平荷載作用下框架結構的受力特點 一、反彎點法 2 一、反彎點法 (一)水平荷載作用下框架結構的受力特點 水平荷載作用下框架的彎矩圖 1.各桿件的彎矩圖 均為直線，一般情 況下每根桿件都有 一個彎矩為零的點， 稱為反彎點； 2.所有桿件的最 大彎矩均在桿件兩 端。 3 如果在反彎點處將柱 子切開，切斷點處的內力 將只有剪力和軸力。 由此可見，反彎點法的關鍵是反彎點的位置 確定和柱子抗推剛度的確定。 如果知道反彎點的位置 和柱子的抗側移剛度，即 可求得各柱的剪力，從而 求得框架各桿件

2、的內力， 反彎點法即由此而來。 4 .反彎點法的假定及適用范圍 假定框架橫梁抗彎剛度為無窮大。 如果框架橫梁剛度為無窮大，在水平力的作用 下，框架節(jié)點將只有側移而沒有轉角。實際上，框 架橫梁剛度不會是無窮大，在水平力下，節(jié)點既有 側移又有轉角。但是，當梁、柱的線剛度之比大于 3時，柱子端部的轉角就很小，此時忽略節(jié)點轉角 的存在，對框架內力計算影響不大。 由此也可以看出，反彎點法是有一定的適用范 圍的，即框架梁、柱的線剛度之比應不小于3。 5 水平荷載作用下框 架的變形情況： 當梁剛度無限 大時，水平荷載作 用下框架的變形情 況：節(jié)點轉角為0， 各節(jié)點水平位移相 同。 6 假定底層柱子的反彎點位

3、于柱子高度的2/3 處，其余各層柱的反彎點位于柱中。 當柱子端部轉角為零時，反彎點的位置應該 位于柱子高度的中間。而實際結構中，盡管梁、 柱的線剛度之比大于3，在水平力的作用下，節(jié)點 仍然存在轉角，那么反彎點的位置就不在柱子中 間。尤其是底層柱子，由于柱子下端為嵌固，無 轉角，當上端有轉角時，反彎點必然向上移，故 底層柱子的反彎點取在2/3處。上部各層，當節(jié)點 轉角接近時，柱子反彎點基本在柱子中間。 7 .反彎點高度的確定 反彎點高度y的定義為反彎點至柱下端的距離。 2 2 3 h y h 上部各層柱 底層柱 h層高 8 .柱子的抗側移（抗推）剛度d 柱子的抗側移剛度：物理意義表示柱端產生相

4、對單位位移時，在柱子內產生的剪力。 柱子端部無轉角時，柱子的抗側移剛度： 2 12 h i d c c i h 柱子的線剛度； 柱子的層高。 9 .同層各柱剪力的 確定 1 jk jkjm jk k d VV d jk V jk d 第j層第k柱所承受的層間剪力； 第j層第k柱子的抗側剛度； 水平力在第j層產生的層間剪力； j V m 第j層的柱子數。 10 .同層各柱剪力的確定 1 jk jkjm jk k i VV i 一般，當同層各柱的高度相等時， 由 jk i柱子的線剛度 2 12 h i d c 有 11 1 11 1 11 3 2 3 t ckk b ckk h MV h MV .

5、柱端彎矩 求得各柱子所承受的剪力以后，由假定(2)便可 求得各柱的桿端彎矩。 對底層柱 上部各層柱，上 下柱端彎矩相等 2 jtb cjkcjkjk h MMV j h第j層柱高 cjk表示第j層第k號柱，t(top)、b(bottom)分別表示柱 的頂端和底端。 12 bc MM .梁端彎矩 梁端彎矩按節(jié)點平衡及線剛度比得到。 （）邊節(jié)點 12bcc MMM 一般邊節(jié)點： 頂部邊節(jié)點： 13 .梁端彎矩 （）中節(jié)點：按線剛度比 進行分配。 14 .梁內剪力 15 .柱內軸向力 自上而下逐層 疊加節(jié)點左右的 梁端剪力。 16 1、計算柱子的抗側剛度； 2、將層間剪力在柱子中進行分配，求得 各柱

6、剪力值； 3、按反彎點高度計算柱子端部彎矩； 4、利用節(jié)點平衡計算梁端彎矩，進而求 得梁端剪力； 5、計算柱子的軸力。 反彎點法的主要計算步驟： 17 例題：用反彎點 法計算右圖所示 框架的彎矩，并 繪出彎矩圖。圖 中圓括號內的數 字為桿件的相對 線剛度。 18 解：作三個截面通過各柱的反彎點（一般層反反彎 點高度為1/2柱高，首層為2/3柱高），如圖所示： 19 由于框架同層各柱高h相等，可直接用桿件線剛度 的相對值計算各柱的分配系數。 （1）柱的剪力 三層： 20 二層 21 首層 22 （2）柱端彎矩 三 層 23 （2）柱端彎矩 二 層 24 （2）柱端彎矩 首 層 其余計算從略。 2

7、5 （3）梁端彎矩 其余計算從略。 16 26 (4) 彎 矩 圖 27 用反彎點法求下圖框架的彎矩圖。圖中括號內的數用反彎點法求下圖框架的彎矩圖。圖中括號內的數 值為該桿的線剛度比值值為該桿的線剛度比值。 2.7m8.1m 3.3m 3.3m 3.9m 37kN 74kN 80.7kN A B C D E F G H I J K M (0.6) (0.7) (0.7) (0.8) (0.9) (0.6) (0.8) (0.9) (0.9) (2.4)(1.2) (1.7)(1.0) (1.5)(0.8) 28 解：由于框架同層各柱解：由于框架同層各柱 h 相等，可直接用桿件線剛度的相對值計算

8、各柱的相等，可直接用桿件線剛度的相對值計算各柱的 分配系數分配系數。 （1）求各柱剪力分配系數）求各柱剪力分配系數： 頂層： 409. 0 9 . 06 . 07 . 0 9 . 0 273. 0 9 . 06 . 07 . 0 6 . 0 318. 0 9 . 06 . 07 . 0 7 . 0 MK HG DC 二層： 360. 0 9 . 09 . 07 . 0 9 . 0 280. 0 9 . 09 . 07 . 0 7 . 0 KJGF CB A B C D E F G H I J K M (0.7)(0.6)(0.9) (0.7)(0.9)(0.9) (0.6)(0.8)(0.8)

9、 29 364. 0 8 . 08 . 06 . 0 8 . 0 272. 0 8 . 08 . 06 . 0 6 . 0 JIFE BA 底層： （2）求各柱在反彎點處的剪力： kNV kNV kNV BABA CBCB DCDC 14.52)7 .807437( 08.31)7437( 77.1137 （3）求各柱柱端彎矩： mkNVMM mkNVMM mkNVMM BABAAB BCCBBC DCCDDC 56.135 3 9 . 32 2 28.51 2 3 . 3 42.19 2 3 . 3 A B C D E F G H I J K M 37kN 74kN 80.7kN 30 （4

10、）求梁端彎矩：梁端彎矩按梁線剛度分配 kNMM DCDH 42.19 D kNM DH 42.19 kNM DC 42.19 kNMMM GFGHGK 56.30 0 . 17 . 1 0 . 1 )( kNMMM GFGHGC 04.52 0 . 17 . 1 7 . 1 )( G KNMGF93.65 ? GC M kNM GH 67.16 ? GK M kNM GK 56.30 kNMGC04.52 A B C D E F G H I J K M (2.4)(1.2) (1.7)(1.0) (1.5)(0.8) 31 二、改進反彎點法值法 當框架的高度較大、層數較多時，柱 子的截面尺寸一

11、般較大，這時梁、柱的線 剛度之比往往要小于3，反彎點法不再適 用。進行框架內力計算，就必須對反彎點 法進行改進改進反彎點（D值）法。 改進內容 ： 抗側剛度 反彎點位置 V D 32 二、改進反彎點法值法 （一）基本假定 假定同層各節(jié)點轉角相同； 承認節(jié)點轉角的存在，但是為了計算 的方便，假定同層各節(jié)點轉角相同。 假定同層各節(jié)點的側移相同。 這一假定，實際上是忽略了框架梁的 軸向變形。這與實際結構差別不大。 33 柱 D 值計算 計算假定 例 ：柱 AB 的 D 值計算 層間側移相等 ， 剪切角為 梁、柱結點轉角相等，設為 計算柱與相鄰柱線剛度相同 與柱B端相交的梁的線剛度為 、 與柱A端相交

12、的梁的線剛度 為 、 c i 2 i 3 i 4 i 1 i c i 2 i 3 i 4 i 1 i c i c i B A V D j j h u （二）柱的抗側剛度D值 34 35 A B C D i h i u 36 柱 AB 剪力與 相鄰梁 、柱桿端的側移及轉角 相關 因此需求出轉角和位移的關系 預備公式 ： 轉角位移方程 A、B 端均為剛結的桿端 l i iiM baa 6 24 l i iiM abb 6 24 2 1266 l i l i l i V ba a b AB l 37 計算轉角和位移的關系 節(jié)點 A 、B 處 0)(6)(2)(4: 4343 j j cccccc h

13、 u iiiiiiiiiiA l i iiM baa 6 24 0M 2 1266 l i l i l i V ba c b i i K 2 j j j j c h u Kh u iiii i 2 2 )( 2 1 2 2 4321 0)(6)(2)(4: 2121 j j cccccc h u iiiiiiiiiiB 38 2 12 j c jk h i D 22 12121266 l i l i V l i l i l i V ba ba c b j c jk i i K K K K K h iV D 2 , 2 , 2 12 2 則 n 框架梁的線剛度無窮大時 ， 同理可推導底層柱 D

14、值 2 12 , 1 j c h i D c b i i K K K , 2 5 . 0 2 12 2 , 2 2 l i K K V lK 可得代入上式將 a b AB l a b A B j h a b AB l 39 柱的抗側剛度D值 式中 層高 柱的線剛度， ； 柱混凝土彈性模量； 柱截面慣性矩； 與梁柱剛度比有關有剛度修正系數 h c i hEIi cc / E c I （二）柱的抗側剛度D值 2 12 h i D c 40 c i c i c i c i 2 i 4 i 4 i 3 i 2 i 1 i 1 i 2 i 2 i c i iiii K 2 4321 c i ii K 2

15、 42 c i ii K 21 c i i K 2 K K 2 K K 2 5 . 0 梁柱剛度比 41 特殊情況： 1.當同一樓層中有個別柱與一般柱的高度不相等時，這 些個別柱的抗推剛度按下列公式計算： （二）柱的抗側剛度D值 2 1 1 1 12 h i D c 42 2 2 2 22 2 1 1 11 12 12 h i D h i D c c c c 2.帶有夾層的柱，其抗推剛度按下式計算： 21 21 21 11 1 DD DD DD D （二）柱的抗側剛度D值 43 計算各柱所分配的剪力： 44 上、下端約束對梁反彎點的影響 上下都是固端 上端為簡支承 上端約束小 反彎點在柱中點

16、無反彎點或 下端約束大 反彎點在頂點 反彎點在上半柱 間 約束越大 ，反彎點偏離越多 2 h yh hyh hyh h 2 （三）確定柱反彎點高度比y 45 反彎點法 D 值法 考慮梁 、柱線剛度比 DF 1 2 12 h i D dF 1 2 12 h i d 2 1266 l i l i l i V ba 46 （三）確定柱反彎點高度比y 柱反彎點高度，取決于柱子兩端轉角的相對大小。 如果柱子兩端轉角相等，反彎點必然在柱子中間；如 果柱子兩端轉角不一樣，反彎點必然向轉角較大的一 端移動。 影響柱子反彎點高度的因素主要有以下幾個方面： 結構總層數及該層所在的位置； 梁、柱線剛度比； 荷載形式

17、； 上、下層梁剛度比； 上、下層層高變化。 47 Y表示柱反彎點高度 h柱高度 3210 yyyyy 標準反彎點高度比，由附表2.1-2.2查??； 上、下層梁剛度不等時的修正值，由附表2.3查??； 上、下層層高不等時的修正值，由附表2.4查取。 0 y 1 y 2 y 3 y （三）確定柱反彎點高度比y 在改進反彎點法中，柱子反彎點位置用反彎 點高度比來表示: Y y h 48 .標準反彎高度比y 標準反彎點高度比是在各層等高、各跨相等、 各層梁和柱線剛度都不改變時框架在水平荷載作 用下的反彎點高度比。 按該框架總層數n，所在樓層數j以及梁柱線 剛度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0時

18、，風荷載（均布水平荷載）作用下 和水平地震作用（三角形荷載）下應采用相應的 表格。 （三）確定柱反彎點高度比y 49 .上、下層梁剛度不等時的修正值 當某柱的上梁與下梁的剛度不等，柱上、下 結點轉角不同時，反彎點位置會有變化，應將 標準反彎點高度比加以修正，往線剛度小的方 向修正。 用a1與值(梁柱線剛度比)查附表2.3。 1 y （三）確定柱反彎點高度比y 50 .上、下層層高不等時的修正值y2、y3 用a2、a3與值查附表2.4。 （三）確定柱反彎點高度比y h上、h下上層、下層層高 51 （三）確定柱反彎點高度系數y 當反彎點高度為0時，反 彎點在本層；當時，本層無反點， 反彎點在上層；

19、當0時，反彎點在下 層。 Yyh 4.反彎點高度 52 Vij第i層第j柱的剪力； h層高； y反彎點高度比； ij 第i層第j柱的彎矩。 （四）確定柱端彎矩 1 t ijij b ijij MV hy MV hy 上端彎矩 下端彎矩 53 二、改進反彎點法值法 （五）D值法進行計算步驟： 在水平力作用下求出各樓層剪力 ； 將樓層剪力 按該層各柱的D值比例分配到各柱 得到柱剪力 ； 求出柱的反彎點Y，由剪力 及反彎點高度Y計算 出柱上下端彎矩； 根據梁柱節(jié)點平衡條件，梁柱節(jié)點的上下柱端彎 矩之和應等于節(jié)點左右邊梁端彎矩之和，從而求 得梁端彎矩值； i V i V ij V ij V 54 將框

20、架梁左右端彎矩之和除以梁的跨度， 則可得到梁端剪力； 從上到下逐層疊加梁柱節(jié)點左右邊梁端 剪力值，可得到各層柱在水平力作用下 的軸力值。 （二） D值法進行計算步驟（續(xù)）： 55 例5-2：要求用值法分析圖5-8所示框架結構的內力， 剖面圖中給出了水平力及各桿件的線剛度的相對值。 56 解:(1)各桿件的值、各層所有柱之和，以及每根柱 分配到的剪力見表5-2。每層有5根中柱與10根邊柱。 2 12 h KD cc 57 58 (2)各柱的反彎點位置 59 (2)各柱的反彎點位置 60 （）彎矩圖： 61 作業(yè)：用D值法計算下圖框架各桿件的彎矩，并繪出 彎矩圖。圓括號內的數字為桿件的相對線剛度，各層 框架節(jié)點處的作用力為風荷載的簡化力。 62 解：.計算各層柱的值及每根柱分配