2019春重慶市南岸區(qū)高一(下)期末數(shù)學試卷

1、2019 春重慶市南岸區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12 小題，共 36.0 分）1. 在 ABC 中，角 A、B、C 所對的邊分別為 a、b、c，且 b2+c2=a2 +bc若 sin B?sin C=sin2A，則 ABC 的形狀是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形2. 在 ABC 中，角 A， B，C 的對邊分別為 a，b， c，若 ABC 為銳角三角形，且滿足sinB（ 1+2cosC） =2sinAcosC+cosAsinC，則下列等式成立的是（）A.B.C.D.ABC上，D是BC上的點，且AC=CD，2AC=AD， AB=2AD，

2、則 sinB3. 如圖，在 等于（）A.B.C.D.4.F1、F 2 分別是雙曲線 1(a0，b0) 的左、右焦點，過點F 1 的直線 l 與雙曲線的左右兩支分別交于A， B 兩點，若 ABF 2 是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為( )A.B.C.D.5.定義在R上的函數(shù)fxfn（ ）是奇函數(shù)且滿足（ -x） =f （ x）， f（ -2） =-3 ，數(shù)列 a 滿足 ann+n（其中nn的前 n 項和），則 f（ a5）+f（ a ）=（）1=-1 ，且 S =2aS為 a 6A.B. 3C.D. 26.數(shù)列 an 滿足 a1=1，且對任意的nN* 都有 an+1=an+n+1，則數(shù)列 的前

3、 100項的和為（）A.B.C.D.7. 定義 “規(guī)范 01 數(shù)列 ”an 如下： an 共有 2m 項，其中 m 項為 0，m 項為 1，且對任意 k2m， a1， a2， ，ak 中 0 的個數(shù)不少于 1 的個數(shù)，若 m=4 ，則不同的 “規(guī)范 01數(shù)列 ”共有（）A. 18個B. 16個C. 14個D. 12個8.等差數(shù)列 an 和 bn ， bn 的前 n 項和分別為Sn 與 Tn，對一切正整數(shù)n，都有= ，則 等于（）A.B.C.D.9.已知偶函數(shù)f（ x）在區(qū)間 0，+）單調(diào)遞增，則滿足f（2x-1） f（ ）的 x 取值范圍是（）A.B.C.D.第1頁，共 14頁10. 定義在

4、R 上的偶函數(shù) f（ x），其導(dǎo)函數(shù) f（ x）；當 x0時， 恒有 f （ x）+f（ -x）0，若 g（x） =x2f（ x），則不等式 g（x） g（1-2x）的解集為（）A.B.C.D.-11. 已知 F 1， F 2 是橢圓與雙曲線的公共焦點，P 是它們的一個公共點，且|PF12|，| |PF線段 PF 1 的垂直平分線過F 2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A.B.3C.6D.12. 已知函數(shù) f（x）滿足 f（ x）=f（ -x），且當 x（ -，0時， f（x）+xf（ x） 0 成立，若a=（20.6f20.6），b=（ln2fln2），?，則

5、a， b， c） ? （）?（的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4 小題，共12.0 分）13.設(shè)等比數(shù)列 滿足 a+a =-1， a -a =-3，則 a =_ an1213414.a 0b0是8a 與 2b的等比中項，則的最小值是 _已知實數(shù) ，15. 已知 a，b，c 分別為 ABC 的三個內(nèi)角 A，B，C 的對邊， a=2 且（ 2+ b）（ sinA-sinB）=（ c-b）sinC，則 ABC 面積的最大值為_16. 若直線 l ：與曲線：相交于 A， B 兩點， O 為坐標原點，當 AOB 的面積取最大值時，實數(shù)m 的取值 _三、解答題（本大題共6 小題，共 7

6、2.0 分）17. ABC 中，角 A， B， C 所對邊分別是 a、 b、 c，且 cosA= （ 1）求 sin2+cos2A 的值；（ 2）若 a=，求 ABC 面積的最大值18.已知數(shù)列 an 的前 n 項和為，且.（ 1）求數(shù)列 an 的通項公式；（ 2）若，設(shè)數(shù)列 bn 的前 n 項和為，證明 第2頁，共 14頁19. 已知函數(shù) f（ x） =（a2-3a+3） ax 是指數(shù)函數(shù)，（ 1）求 f（ x）的表達式；（ 2）判斷 F（ x） =f（ x） -f（ -x）的奇偶性，并加以證明；（ 3）解不等式： log a（ 1-x） loga（ x+2）。20. 已知函數(shù) f（ x）

7、=|x- |+|x+ |， M 為不等式 f（ x） 2 的解集（ ）求 M；（ ）證明：當 a， bM 時， |a+b| |1+ab|21. 已知數(shù)列 an 的前 n 項和 sn，點（ n，sn）（ nN* ）在函數(shù) y= x2+ x 的圖象上（ 1）求 an 的通項公式；（ 2）設(shè)數(shù)列 的前 n 項和為 Tn，不等式Tn loga（ 1-a）對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍22.扇形 AOB 中心角為60 ，所在圓半徑為，它按如下（ ）（ ）兩種方式有內(nèi)接矩形 CDEF （ ）矩形 CDEF 的頂點 C、D 在扇形的半徑 OB 上，頂點 E 在圓弧 AB 上，頂點 F 在半徑

8、OA 上，設(shè) EOB=；（ ）點 M 是圓弧 AB 的中點，矩形 CDEF 的頂點 D、 E 在圓弧 AB 上，且關(guān)于直線 OM 對稱，頂點 C、 F 分別在半徑 OB、OA 上，設(shè) EOM=；試研究（ ）（ ）兩種方式下矩形面積的最大值，并說明兩種方式下哪一種矩形面積最大？第3頁，共 14頁第4頁，共 14頁答案和解析1.【答案】 C【解析】 【分析】本題考查了正弦定理、余弦定理、等邊三角形的判定方法，屬于中檔題b2+c2 =a2+bc，利用余弦定理可得cosA= ，可得由 sinB?sinC=sin2A，利用正弦定2222理可得： bc=a ，代入 b +c =a +bc，可得 b=c22

9、2= = ，解：在 ABC 中， b +c =a +bc，cosA=A（ 0， ）， 2sinB?sinC=sin A，2222代入 b +c =a +bc， （b-c） =0，解得 b=c故選 C2.【答案】 A【解析】 解：在 ABC 中，角 A， B，C 的對邊分別為a， b， c，滿足 sinB（ 1+2cosC）=2sin AcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin （A+C）=sin AcosC+sinB，可得： 2sinBcosC=sinAcosC，因為 ABC 為銳角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a故選： A利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡等式

10、右側(cè)，然后化簡通過正弦定理推出結(jié)果即可本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力3.【答案】 C【解析】 【分析】本題主要考查解三角形，涉及正余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題由題意設(shè) AD =2x，則 AC=CD = x， AB=4x，在 ADC 中由余弦定理可得cosADC ，進而可得 sinADB ，在 ADB 中由正弦定理可得sinB【解答】解：由題意設(shè) AD=2x，則 AC=CD = x， AB=4x，在 ADC 中由余弦定理可得cosADC= ，sinADB =sinADC = ，在 ADB 中由正弦定理可得sinB= .故選 C4.【答案】 D【解析】 解：因為 ABF 2

11、 為等邊三角形，則 AB=BF 2=AF2， A 為雙曲線上一點， F 1A-F2A=F 1A-AB=F 1B=2a，第5頁，共 14頁B 為雙曲線上一點，則 BF2-BF 1=2a， BF2=4a，F(xiàn) 1F2=2c，由 ABF2 =60 ，則 F 1BF 2=120 ，在 F 1BF 2 中應(yīng)用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2?2a?4a?cos120 ，得 c2=7a2，則 e2=7 ，解得 e= 故選： D由雙曲線的定義，可得 F 1A-F 2A=F1A-AB=F 1B=2a， BF2-BF 1=2a， BF 2=4 a，F(xiàn) 1F 2=2 c，再在 F 1BF 2 中應(yīng)用余弦定理

12、得， a， c 的關(guān)系，由離心率公式，計算即可得到所求本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題5.【答案】 B【解析】 解： 函數(shù) f （ x）是奇函數(shù)f（-x）=- f（ x），f（3+ x） =f（ x）f（x）是以 3 為周期的周期函數(shù)a1=-1 ，且 Sn=2an+n，a5=-31 ， a6=-63f（a5） +f （a6 ）=f （-31） +f（ -63） =f（ 2）+f（ 0） =f（ 2） =-f（ -2） =3 故選： B先由函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)和，推知 f（ 3+x）=f（ x），得到 f（ x）是以 3為周期的周期函數(shù)再由 a1

13、=-1，且 Sn=2 an+n，推知 a5=-31 ， a6=-63 計算即可本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用以及數(shù)列的通項及求和公式，在函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用中相互結(jié)合轉(zhuǎn)化中奇偶性，對稱性和周期性之間是一個重點6.【答案】 B【解析】 解： an+1=an+n+1，ann +1-a =n+1 ，又 a1=1，an=（ an-an-1） +（ an-1-an-2） +（ a2-a1） +a1=n+（ n-1） +（ n-2） +2+1=， =2（- ），數(shù)列 的 前 100 項的和為： 2（1- ） +（ - ）+（-）=2（ 1-）=故選： Ban+1 =an+n+1? an+1-an=n+1 ，

14、又 a1=1，可求得an=，利用裂項法可求得=2（ -），累加可求得數(shù)列 的 前 100 項的和本題考查數(shù)列的求和，由an+1-an=n+1 ，a1=1，求得 an=是關(guān)鍵，考查裂項法與累加法求和的應(yīng)用，屬于中檔題7.【答案】 C第6頁，共 14頁【解析】 【分析】由新定義可得， “規(guī)范 01 數(shù)列 ”有偶數(shù)項2m 項，且所含 0 與 1 的個數(shù)相等，首項為0，末項為 1，當 m=4 時，數(shù)列中有四個 0和四個 1，然后一一列舉得答案本題是新定義題，考查數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，枚舉時做到不重不漏，是壓軸題【解答】解：由題意可知， “規(guī)范 01 數(shù)列 ”有偶數(shù)項 2m 項，且所含 0 與

15、 1 的個數(shù)相等， 首項為 0，末項為 1，若 m=4，說明數(shù)列有 8 項，滿足條件的數(shù)列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0， 0， 1， 1， 1， 0， 1；0， 0，1， 0， 0， 1， 1， 1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0， 1， 1， 0， 0， 1， 1；0， 1，0， 0， 0， 1， 1， 1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1， 0， 1， 0， 1， 0， 1

16、共 14 個故選 C8.【答案】 C【解析】 【分析】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)， 以及等差數(shù)列的前 n 項和公式， 熟練掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式是解本題的關(guān)鍵利用等差數(shù)列的前 n 項和公式 ,表示出等差數(shù)列 an 和 bn 的前 n 項的和分別為Sn 和 Tn，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，得到 a5= S9，b5= T9，然后將 n=9 代入已知的等式中求出的值，即為所求式子的值【解答】解： S9=9a5， T9=9b5，a， b，5= T95= S9又 當 n=9 時，=， = = ，故選 C9.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性 ,同時考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇

17、偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解： f（ x）是偶函數(shù)，f（ x）=f（ |x|），不等式等價為f（ |2x-1|） ，f（x）在區(qū)間 0，+）單調(diào)遞增，解得故選 A第7頁，共 14頁10.【答案】 A【解析】 【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)f（ x）為偶函數(shù)，則g（ x）也為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可以判斷g（ x）在 0，+）為減函數(shù)，則不等式g（ x） g（ 1-2x）轉(zhuǎn)化為 |x| |1-2x|求解即可 .【解答】解 : 定義在 R上的偶函數(shù) f（ x），f（-x）=f （ x）

18、x0時，恒有f（ x）+f（ -x） 0，2x f（ x） +2 xf（ x） 0，2g（ x） =2xf（ x） +x f（x） 0，f（x）為偶函數(shù)，g（ x）為偶函數(shù)，g（ x） g（ 1-2x） ,即 g(|x|)g(|1-2x|),|x| |1-2x|，即（ x-1）（ 3x-1） 0，解得 x 1，故選 A.11.【答案】 C【解析】 解：由題意可知：F1F 2=F 2P=2c，又 F 1P+F2P=2 a1， F1 P-F 2P=2a2，F(xiàn) 11，F(xiàn) 12，P+2c=2aP-2c=2a兩式相減，可得：a1 -a2=2c，=，=4+2 + ，2+2?=2 ，當且僅當時等號成立，的最

19、小值為6，故選： C通過圖象可知F1 F2 =F 2P=2c，利用橢圓、雙曲線的定義及離心率公式可得的表達式，通過基本不等式即得結(jié)論本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題12.【答案】 B【解析】 解：根據(jù)題意，令h（ x） =xf（ x），因為 f（ x） =f（ -x）對 xR 成立，第8頁，共 14頁所以 h（ -x）=-xf（ -x） =-xf（ x） =-h（x），因此函數(shù)h（ x）為 R 上奇函數(shù)又因為當x（ -， 0時， h（ x）=f （ x） +xf（ x） 0，所以函數(shù)h（ x）在（ -，0 上為減函數(shù)，又因為函數(shù)h（ x）為奇函數(shù)，所以函

20、數(shù)h（ x）在 R 上為減函數(shù)，因為 ，所以 h（log 2 ） h（ ln2） h（20.6 ），即 c b a故選： B構(gòu)建函數(shù)h（ x） =xf（ x），利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)h（x）為 R 上奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)h（ x）在 R 上為減函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象知 ，再利用單調(diào)性比較大小得結(jié)論本題考查了函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和比較大小13.【答案】 -8【解析】 解：設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q， a1+a2=-1， a1-a3=-3 ，2a1（ 1+q） =-1 ，a1 （1-q ）=-3 ，則 a4=（ -2） 3=-8 故答案為

21、： -8設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q，由 a1+a2 =-1，a1-a3=-3 ，可得： a1（ 1+q）=-1，a1（ 1-q2）=-3，解出即可得出本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題14.【答案】 5+2【解析】 【分析】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)運算性質(zhì)、乘 1 法與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題實數(shù) a 0， b 0，是 8a 與 2b 的等比中項，8a 2b=2，可得 3a+b=1再利用乘1 法與基本不等式的性質(zhì)即可得出【解答】ab解：實數(shù)a 0， b0，是 8 與 2 的等比中項，則=（ 3a+b）=5+5+2 ?=5+2

22、 ，當且僅當 b= a=-2 時取等號故答案為：15.【答案】【解析】 【分析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題由正弦定理化簡已知可得222a -b = c -bc，結(jié)合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面積公式即可計算得解【解答】第9頁，共 14頁解：因為：（2+ b）（ sinA-sinB） =（ c-b） sinC因為： a=2，所以（ a+b）（ a-b） =（ c-b） c所以：?，ABC面積，而 b2+c2-a2=bc222? b +c -bc=a? b2+c2-bc=4?

23、bc4，當且僅當 b=c 時取等號，所以：，即 ABC 面積的最大值為故答案為16.【答案】【解析】 解：曲線表示圓心在原點，半徑為1 的圓的上半圓，若直線 l 與曲線相交于A， B 兩點，則直線l 的斜率 m0，則點 O 到 l 的距離，又 ?，當且僅當 1-d2=d2 ，即時， SAOB 取得最大值所以，解得舍去）故答案為：將 AOB 的面積用圓心到直線的距離表示，然后利用基本不等式即可求解本題考查直線與圓的位置關(guān)系及利用基本不等式求最值22217.【答案】 解：（ 1） sin+cos2A=sin+2cos A-1=cos2 +2cos2A-1=+2cos2A-1= +2 -1=- ；（

24、2）在中， cosA= ，可得： sinA= ，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2- bc2bc- bc= bc，2即有 bca = ，當且僅當b=c= 時，取得等號則 ABC 面積 S= bcsinA=即有 b=c= 時， ABC 的面積取得最大值第10 頁，共 14頁【解析】 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，注意運用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面積公式，以及基本不等式的運用，屬于中檔題（ 1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式對式子化簡，代入即可得到所求值；（ 2）運用余弦定理和面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值18.時 ,，得 a1=1，【答案】

25、解：（ 1）當 n=1當 n2時，即 an=3an-1 ，所以數(shù)列 an 是以 1 為首項， 3 為公比的等比數(shù)列，所以 an=3n-1（ 2）由（ 1）得，所以,所以， 兩式相減得，即，所以 Tn= - 【解析】 （ 1）利用遞推關(guān)系即可得出（ 2）利用 “錯位相減法 ”、等比數(shù)列的求和公式即可得出本題考査了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、 “錯位相減法 ”、數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2x19.【答案】 解：（ 1） 函數(shù) f（x） =（ a -3a+3 ）a 是指數(shù)函數(shù)，2a -3a+3=1 ，可得 a=2 或 a=1（舍去），xf（x） =2 ；（ 2）由題意得，

26、 F（ x） =2x-2-x， xR，F(xiàn) （ -x） =-F （x），F(xiàn) （ x）是奇函數(shù)；（ 3） a=2， log a（1-x） log a（ x+2）可化為： log 2（ 1-x） log 2（x+2），即 1-x x+2 0，-2 x - ，所以不等式的解集為 x|-2 x - 【解析】 本題考查指數(shù)函數(shù)，考查函數(shù)的奇偶性，考查不等式的解法，屬于中檔題（ 1）利用指數(shù)函數(shù)的定義，求出a，即可求f（ x）的表達式；x - x（ 2） F（ x） =2 -2 ，即可判斷 F （ x） =f（x）-f （ -x）的奇偶性；（ 3）原不等式可以等價為：log2 （1-x） log 2（ x+

27、2），即 1-x x+2 0，解之即可 .20.【答案】 解：（ I）當 x時，不等式f （x） 2 可化為：-x-x- 2，第11 頁，共 14頁解得： x-1，-1 x，當x時，不等式f（ x） 2 可化為：-x+x+ =1 2，此時不等式恒成立，x，當 x 時，不等式 f（ x） 2 可化為： - +x+x+ 2，解得： x1， x1，綜上可得： M=（ -1， 1）；證明：（ ）當 a，bM 時，（ a2-1）（ b2-1） 0，即 a2b2+1 a2+b2，2222即 a b +1+2aba +b +2ab，即（ ab+1） 2（ a+b）2，即 |a+b| |1+ab|【解析】 本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，不等式的證明，難度中檔（ I）分當 x時，當x時，當 x 時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；（ ）當 a， bM 時，（ a2-1）（ b2-1） 0，即 a2b2+1 a2+b2，配方后，可證得結(jié)論21.【答案】 解：（ 1） 點（ n， sn）在函數(shù) y= x2+ x 的圖象上， ，當時， - 得 an=n，當 n=1 時，符合上式，an=n；