學(xué)生講義-巧解外接球問題

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 快速解決巧解外接球問題 如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上， 那么稱這個多面體是球 的 內(nèi)接多面體 ，這個球稱為多面體的外接球 .有關(guān) 多面體外接球 的問題，是立體 幾何的一個重點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn) . 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的 外接球問題，既 要運(yùn)用多面體的知識， 又要運(yùn)用球的知識， 并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何 元素與球的半徑之間的關(guān)系， 而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至 關(guān)重要的作用 . 一、直接法 （公式法 ） 1、求正方體的外接球的有關(guān)問題 【例 1 】（上海中學(xué)）若棱長為 3 的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則

2、該球 的表面積為 . 【例 2 】（交大附中）一個正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方 體的表面積為 24 ， 則該球的體積為 . 2、求長方體的外接球的有關(guān)問題 一球面上，且一個頂 【例 3 】（復(fù)興高級中學(xué)）一個長方體的各頂點(diǎn)均在同 點(diǎn)上的三條棱長分別為 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 2,3 ，則此球的表面積為 例 4 】（七寶中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四 棱柱高為 4，體積 為 16 ，則這個球的表面積為（） A.16 B.20 C.24 D.32 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 3. 求多面體的外接球的有關(guān)問題 【例 5 】（上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底 9 面

3、，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 8 ，底面周長 為 3 ，則這個球的體積為 . 二、構(gòu)造法 （補(bǔ)形法 ） 1 、構(gòu)造正方體 【例 6 】（2015 年上海高考題） 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直， 且側(cè)棱長均 為 3 ， 則其外接球的表面積是 . 【例 7】（上海中學(xué)）若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3 ， 則其外接球的表面積是 . 【小結(jié)】 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為 a、b、c ，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長 就是該三棱錐的外接球的直徑 .設(shè)其外接球的半徑為 R ，則有 2R a2 b2 c2 . 出

4、現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體。 【原理】長方體中從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為 ，則體對角線長 為， 幾何體的外接球直徑為 體對角線長 即 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 個球面上 A 0 E D B C 圖 D O C 是 D 這個 圖5 A.3 B.4 C.3 3 D.6 DAB=60 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 例 10 】（華二附中）在等腰梯形 ABCD 中， AB=2DC=2 例11 】（交大附中）已知球 O的面上四點(diǎn) A、B、C、D，DA 平面ABC ， 2、構(gòu)造長方體 例 12 】（ 20GG 年上海高考題）已知點(diǎn) A、B、C、 例 9 】（建平中學(xué)） 上，則此球的表面積為（） A.

5、27 B. 2 C. 8 D. 24 則三棱錐4 P3-DCE 的6外接球的6 體積為6（） AB 平面BCD ，BC DC ，若AB 6,AC=2 13,AD=8 ， B 2 ，四個頂點(diǎn)在同一球面 AB BC ， DA=AB=BC= 3，則球 O 的體積等于 圖4 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 D 在同一個球面上 A 則球的體積 為 AB 的中點(diǎn)，將 ADE 與 BEC 分布沿 ED 、EC 向上折起， 使A、B重合于點(diǎn) P， 中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為 球的表面積。 【例 8 】：在四面體 ，若該四面體的四個頂點(diǎn) 個四面體的所有棱長都為 本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大

6、小的問題。 O B A 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 三. 多面體幾何性質(zhì)法 【例 13 】（大同中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱柱的高為4， 體積為 16 ， 則這個球的表面積是（） A.16 B.20 C.24 D.32 【小結(jié)】本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一 性質(zhì)來求解的 . 四. 尋求軸截面圓半徑法 例 14 】（西南位育中學(xué)）正四棱錐 S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為 2 ，點(diǎn) S、A、 B、 C、D 都在同一球面上，則此球的體積 為 . 【小結(jié)】根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正 棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就 是所求的

7、外接球的半徑 .本題提供的這種思路是探求正棱錐外 接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的 一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究 .這種等價轉(zhuǎn)化 的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí) 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 五 . 確定球心位置法 【例 15 】（上海第二中學(xué)）在矩形 ABCD中， AB 4,BC 3，沿AC 將矩 D O C 形 ABCD 折成一個直二面角 B AC D ，則四面體 ABCD 的外接球的 體積為（） 125 125 125 125 A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 圖4 B 原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形 斜邊中點(diǎn)。 【例 16 】（復(fù)旦附中） 已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上， 且 ，