高中數(shù)學(xué)階段常見(jiàn)函數(shù)性質(zhì)匯總

1、.專(zhuān)業(yè)整理 .高中階段常見(jiàn)函數(shù)性質(zhì)匯總函 數(shù)名 稱(chēng)：常數(shù)函數(shù)解析式形 式： f(x )= b ( b R)圖象及其性質(zhì) ：函數(shù) f (x)的圖象是平行于x 軸或與 x 軸重合 （垂直于 y 軸）的直線(xiàn)定義域： R值域： b單調(diào)性：沒(méi)有單調(diào)性奇偶性：均為偶函數(shù) 當(dāng) b =0 時(shí)，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 反函數(shù)：無(wú)反函數(shù)周期性：無(wú)周期性函 數(shù)名 稱(chēng)：一次函數(shù)解析式形 式： f(x )= kx + b (k 0,b R)圖象及其性質(zhì) ：直線(xiàn)型圖象 。 |k| 越大，圖象越陡 ； |k| 越小 ，圖象越平緩 ；當(dāng) b =0 時(shí)，函數(shù) f (x)的圖象過(guò)原點(diǎn) ；當(dāng) b =0 且 k =1 時(shí)，函數(shù) f

2、 (x)的圖象為一 、三象限角平分線(xiàn) ；當(dāng) b =0 且 k =-1 時(shí)，函數(shù) f(x )的圖象為二 、四象限角平分線(xiàn) ；定義域：R值域： R單調(diào)性：當(dāng) k 0 時(shí)，函數(shù) f (x )為 R 上的增函數(shù) ；當(dāng) k 0 時(shí)，函數(shù) f(x)的圖象分別在第一、第三象限 ；當(dāng) k 0時(shí)，函數(shù) f (x )為 (,0) 和 (0,) 上的減函數(shù) ；當(dāng) k 0adc別在直線(xiàn) y與直線(xiàn) x；當(dāng) k 0 時(shí)，函數(shù) f( x) 的圖象分別c形成的左下與右上部分c在直線(xiàn) yad形成的左上與右下部分；與直線(xiàn) xcc雙曲線(xiàn)型曲線(xiàn) ，直線(xiàn) yad分別是曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)；與直線(xiàn) xcc圖象成中心對(duì)稱(chēng)圖形da，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)

3、 (,) ；ccadad圖象成軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸有兩條 ，分別為 yx、 ycx；bcadca (cxd ) badbadaxbac 2a由于 f ( x)ccccxdcxdccxddcxc令 kbcad，則 f ( x)kdac2xcc進(jìn)而函數(shù) f (x )的圖象可以看成是由函數(shù)yk 向左平移 d 個(gè)單位 ，向上平移 a個(gè)單位得xcc到的定義域： (, d )(d ,)cc值域： (, a)( a ,)ccdd單調(diào)性：當(dāng) bc ad0時(shí)，函數(shù)在 (,和 () 上均為減函數(shù) ；),d ) 和 (d ,cc當(dāng) bcad0 時(shí)，函數(shù)在 (,) 上均為增函數(shù) ；cc奇偶性：非奇非偶函數(shù)反函數(shù)： yd

4、xbcxa周期性：無(wú) xb2a.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .函 數(shù)名 稱(chēng)：二次函數(shù)解析式形 式：一般式：頂點(diǎn)式 ：yf(x)= ax2bxcf ( x )ax 2bxc(a0)f ( x )a( xk )2h(a0)Ox兩根式 ： f ( x )a( x x1 )( xx 2 )(a 0)圖象及其性質(zhì) ： 圖形為拋物線(xiàn) ，對(duì)稱(chēng)軸為 xb，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (b , 4acb2) 或 (k ,h) ，與 y 軸的2a2a4a交點(diǎn)為 (0, c) ； 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，此時(shí)函數(shù)圖象有最低點(diǎn)(b , 4acb 2) ；當(dāng) a 02a4a時(shí)，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下 ，此時(shí)函數(shù)圖象有最高點(diǎn) (b, 4ac

5、b2) ；2a4a 當(dāng)b240 時(shí)，函數(shù)圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) ，當(dāng)b24ac0時(shí)，函數(shù)圖ac象與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn) ，當(dāng)b24ac 0 時(shí)，函數(shù)圖象與x 軸沒(méi)有交點(diǎn)； 橫坐標(biāo)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，縱坐標(biāo)相等 ；當(dāng) a0 時(shí)，橫坐標(biāo)距對(duì)稱(chēng)軸近則函數(shù)值小，當(dāng) a0時(shí)，橫坐標(biāo)距對(duì)稱(chēng)軸近則函數(shù)值大； 函數(shù) f ( x)ax 2bxc( a0)均可由函數(shù)f (x) ax 2 (a0) 平移得到 ；定義域： R值域：當(dāng) a0時(shí)，值域?yàn)?( 4ac b2,) ；當(dāng) a0時(shí)，值域?yàn)?(, 4ac b2)4a4a單調(diào)性：當(dāng) a0時(shí)， (,b 上為減函數(shù) ， b,) 上為增函數(shù) ；2a2a當(dāng) a0時(shí)， b ,)

6、上為減函數(shù) ， (,b 上為增函數(shù) ；2a2a奇偶性：當(dāng) b0 時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù) ；當(dāng) b0 時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)反函數(shù)：定義域范圍內(nèi)無(wú)反函數(shù)，在單調(diào)區(qū)間內(nèi)有反函數(shù)周期性：無(wú).學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .f(x)= ax (0 a 1) yf(x)= a x ( a 1)函 數(shù)名 稱(chēng)：指數(shù)函數(shù)解析式形 式： f ( x ) a x (a 0, a 1)Ox圖象及其性質(zhì) ： 函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1) ，與 x軸不相交 ，只是無(wú)限靠近 ； 函數(shù) f ( x) a x與 f (x) (1) xa x 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) ；a 當(dāng) a 1時(shí)， y 軸以左的圖象夾在在直線(xiàn)y 1與 x 軸之間 ， y

7、軸以右的圖象在直線(xiàn)y 1以上 ；當(dāng) 0a 1 時(shí)， y 軸以左的圖象在直線(xiàn) y 1以上 ， y 軸以右的圖象夾在在直線(xiàn) y 1與 x 軸之間 ； 第一象限內(nèi) ，底數(shù)大 ，圖象在上方 ；定義域： R值域：(0,)單調(diào)性：當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)為增函數(shù) ；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)為減函數(shù) ；奇偶性：無(wú)反函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù) f ( x ) log a x (a 0,a1)周期性：無(wú)yf(x)= log a x(a1)Ox函 數(shù)名 稱(chēng)：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)= log a x(0 a 1)解析式形 式： f ( x ) log a x (a 0, a 1)圖象及其性質(zhì) ： 函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0) ，與 y 軸不相交 ，

8、只是無(wú)限靠近 ； 函數(shù) f ( x)log a x 與 f (x)log 1 xlog a x 的圖象關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng) ；a.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 . 當(dāng) a1時(shí)， x 軸以下的圖象夾在在直線(xiàn)x1 與 y 軸之間 ， x 軸以上的圖象在直線(xiàn)x1 以右 ；當(dāng) 0a1 時(shí)， x 軸以下的圖象在直線(xiàn)x1以右 ， x 軸以上的圖象夾在在直線(xiàn) x1 與 y 軸之間 ； 第一象限內(nèi) ，底數(shù)大 ，圖象在右方 ；定義域：R值域：(0,)單調(diào)性：當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)為增函數(shù) ；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)為減函數(shù) ； 與系數(shù)函數(shù)的單調(diào)性類(lèi)似，因?yàn)閮珊瘮?shù)互為反函數(shù)奇偶性：無(wú)y反函數(shù)：指數(shù)函數(shù) f ( x ) ax (a 0,a

9、 1)f(x)=2x1xOx周期性：無(wú)1函 數(shù)名 稱(chēng)：對(duì)鉤函數(shù)解析式形 式： f ( x )x1x圖象及其性質(zhì) ： 函數(shù)圖象與 y 軸及直線(xiàn) y x 不相交 ，只是無(wú)限靠近 ；當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) yf ( x) 有最低點(diǎn) (1,2)，即當(dāng) x 1時(shí)函數(shù)取得最小值 f (1)2 ；當(dāng) x0 時(shí)，函數(shù) yf ( x) 有最高點(diǎn) ( 1,2) ，即當(dāng) x1 時(shí)函數(shù)取得最大值f (1)2 ；定義域： (,0)(0,)值域： (,2 2,)單調(diào)性：在(,1和 1,) 上函數(shù)為增函數(shù) ；在 1,0) 和 (0,1 上函數(shù)為減函數(shù) ；.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .奇偶性：奇函數(shù)反函數(shù)：定義域內(nèi)無(wú)反函數(shù)周期性：無(wú)

10、23 函數(shù)單調(diào)性 （考點(diǎn)疏理 + 典型例題 + 練習(xí)題和解析 ）23 函數(shù)單調(diào)性【典型例題 】例 1 (1) 設(shè)函數(shù) f (x) (2 a1)xb是 R上的減函數(shù) , 則 a 的范圍為 ( D)1B a111A a2C aD a222提示： 2 a10 ，在其定義域內(nèi)下列函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)的為 yaf ( x) （為常數(shù) ）； yaf ( x) （ a為常數(shù) ）；y1；y f (x) 2f ( x)提示 ：借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 .8 函數(shù) f (x)axlog a( x 1)在 0,1上的最大和最小值的和為a ，則 a =12提示 ： f ( x) 是 0,1 上的增函數(shù)或減函數(shù),故 f (0)

11、f (1)1a ，可求得 a =29 設(shè) f ( x) 是定義在 (0,) 上的單調(diào)增函數(shù) ，滿(mǎn)足 f ( xy)f (x)f ( y), f (3)1求：（ 1） f（ 1）；（ 2）當(dāng) f (x)f ( x8)2 時(shí) x 的取值范圍 .解 :(1)令 xy1 可得 f (1)0(2) 又 2=1+1=f (3)f (3)f (9)由 f (x)f ( x8)2 ,可得 f x( x8)f (9)因?yàn)?f ( x)是定義在 (0,) 上的增函數(shù) ,所以有 x0 且 x80 且 x( x8) 9，解得：8x910 求證 :函數(shù) f ( x)xa (a0)在(a ,) 上是增函數(shù) .x證明 :設(shè)

12、 x1x2a 則f (x1)f (x2 )( x1a )( x2a )(x1x2 )(1a) ( x1x2 )( x1x2a )x1x2x1x2x1 x2.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .當(dāng) x1 x2a 時(shí) x1x20 , x1 x20 , x1 x2 a ，所以 f (x1) f (x2 ) 0所以函數(shù)f ( x) xa (a0) 在 ( a,) 上是增函數(shù) .x2 4 函數(shù)的奇偶性 （考點(diǎn)疏理 + 典型例題 + 練習(xí)題和解析 ）【典型例題 】例 1（ 1）下面四個(gè)結(jié)論中 ，正確命題的個(gè)數(shù)是（ A） 偶函數(shù)的圖象一定與y 軸相交 ； 函數(shù) f ( x)為奇函數(shù)的充要條件是f (0) 0 ； 偶函數(shù)

13、的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng) ； 既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f （ x） =0 （xR）A 1B 2C3D 4提示 ： 不對(duì) ，如函數(shù) f (x)1y 軸沒(méi)有交點(diǎn) ； 不對(duì) ，因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域x2 是偶函數(shù) ，但其圖象與可能不包含原點(diǎn) ； 正確； 不對(duì)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f（ x） =0 x（ a ， a ），答案為 A（ 2 ）已知函數(shù) f ( x)ax 2bx3a b 是偶函數(shù) ，且其定義域?yàn)?a1, 2a ， 則（）A a1B a1 ， b 0C a 1 ， b 0D a 3 ， b 0， b 03提示 ：由 f ( x) ax 2bx3ab 為偶函數(shù) ，得 b 0又定義

14、域?yàn)?a1, 2a ， (a 1) 2a0，a13（ 3 ）已知 f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù) ，當(dāng) x0 時(shí)， f ( x)表達(dá)式是 （） 故答案為Ax22x ，則 f ( x) ）在 R 上的A y x( x2)B yx(| x |2)C y| x |( x 2)D y x(| x | 2)提示 ：由 x0 時(shí)， f ( x)x22x ， f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)得 ：當(dāng) x0 時(shí)， x0 ， f ( x)f ( x)( x22x)x( x 2) f ( x)x( x2)( x0)，即 f ( x)x(| x |2) ，答案為 Dx( x2)( x0)（ 4 ）已知

15、 f (x)x5ax3bx8 ，且 f (2)10 ，那么 f（ 2）等于26提示 ： f ( x) 8x5ax3bx 為奇函數(shù) ， f (2)818 ， f (2) 818 ， f (2)26 （ 5 ）已知 f ( x)是偶函數(shù) ， g( x) 是奇函數(shù) ，若 f ( x)g (x)1，則 f ( x) 的解析式為x1提示 ：由 f ( x) 是偶函數(shù) ， g( x) 是奇函數(shù) ， 可得 f ( x)g( x)1，聯(lián)立 f ( x)g ( x)1x 1，得：x1f (x)1 (11)1， f (x)2112 x1x1x21x.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .例 2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（ 1 ）

16、 f ( x)( x1)1x ； (2) f ( x)1x2x21 ；1x（ 3 ） f ( x)lg(1x2 )；（ 4） f ( x)x2x(x0)22 |2x2x( x| x0)解：（ 1）由 1x0，得定義域?yàn)?1,1)，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng) ， f ( x) 為非奇非偶函數(shù) 1x1x2021x 1 ， f ( x)0 f ( x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (2)1xx20（3）由1x20得定義域?yàn)?(1,0) U (0,1) ， f ( x)lg(1 x2 )lg(1x2 )| x2( x22) 2x2，2|20 f (x)lg1(x) 2 lg(1x2 )f (x) f ( x) 為偶函數(shù)

17、( x)2x2（ 4 ）當(dāng) x0 時(shí)， x0 ，則 f ( x)( x) 2x( x2x)f ( x) ，當(dāng) x0 時(shí)， x0 ，則 f (x)( x)2x( x2x)f ( x) ，綜上所述 ，對(duì)任意的 x(,) ，都有 f (x)f (x) ， f (x) 為奇函數(shù) 例 3 若奇函數(shù) f ( x) 是定義在 （， 1）上的增函數(shù) ，試解關(guān)于 a 的不等式 ：1f (a2)f (a24)0 解：由已知得 f (a2)f ( a 24)因 f(x) 是奇函數(shù) ，故f (a24)f (4a2 ) ，于是 f (a2)f (4a2 ) 又 f ( x) 是定義在 （1，1）上的增函數(shù) ，從而a24

18、a23a 21a211a33a21 a 24 15 a3或 3 a5即不等式的解集是(3,2) 例 4 已知定義在R 上的函數(shù)f ( x) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 、 y ，恒有 f ( x) f ( y)f (xy) ，且當(dāng) x0 時(shí)，f (x)0 ，又 f (1)23（ 1）求證： f ( x)為奇函數(shù) ；（ 2）求證 ： f ( x) 在 R 上是減函數(shù) ；（ 3）求 f ( x ) 在3 ，6 上的最大值與最小值 （ 1）證明：令 xy0 ，可得f (0)f (0)f (0 0)f (0) ，從而 ，f(0) = 0令 yx ，可得f ( x)f (x)f ( xx) f (0)0 ，即 f (

19、x)f (x) ，故 f(x ) 為奇函數(shù) （ 2）證明：設(shè) x1 , x2 R，且 x1x2 ，則 x1x20 ，于是 f ( x1 x2 ) 0 從而f ( x1 )f ( x2 )f ( x1x2 )x2 f ( x2 )f ( x1x2 ) f (x2 )f (x2 )f ( x1 x2 ) 0.學(xué)習(xí)幫手 .專(zhuān)業(yè)整理 .所以 ， f ( x) 為減函數(shù) （ 3）解：由（ 2）知，所求函數(shù)的最大值為f (3) ，最小值為 f (6) f ( 3)f (3) f (2)f (1)2 f (1)f (1)3 f (1) 2f (6)f ( 6) f ( 3)f ( 3)4于是 ， f ( x

20、) 在 -3 ， 6上的最大值為2，最小值為-4 【課內(nèi)練習(xí) 】1 下列命題中 ，真命題是 （ C ）A 函數(shù) y1是奇函數(shù) ，且在定義域內(nèi)為減函數(shù)xB函數(shù) yx3 (x1)0 是奇函數(shù) ，且在定義域內(nèi)為增函數(shù)C 函數(shù) yx2是偶函數(shù) ，且在（ 3， 0）上為減函數(shù)D 函數(shù) yax2c( ac 0) 是偶函數(shù) ，且在（ 0 ， 2）上為增函數(shù)提示 ： A 中， y1； D 中，當(dāng) a在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性 ； B 中，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)xy ax2 c( ac 0) 在（ 0 ， 2）上為減函數(shù) ，答案為 C2 若 ( x) ， g( x) 都是奇函數(shù) ， f ( x) a ( x)

21、bg(x)2 在（ 0 ，） 上有最大值5，則 f ( x)，0）上有（）A 最小值 5B最大值 5C最小值 1D 最大值 30 時(shí)，在（提示 ： (x) 、 g (x) 為奇函數(shù) ， f ( x) 2 a(x)bg( x) 為奇函數(shù) 又 f (x) 有最大值 5，2 在（ 0 ，） 上有最大值 3 f ( x) 2 在 ( , 0)上有最小值 3， f ( x) 在 (,0) 上有最小值 1 答案為 C3 定義在R 上的奇函數(shù)f ( x) 在（ 0 ， + ） 上是增函數(shù)，又 f ( 3)0 ，則不等式xf ( x)0 的解集為（ A ）A（ 3， 0）（ 0， 3）B（， 3 ）（ 3 ， + ）C（ 3， 0）（ 3， + ）D（， 3）（ 0， 3）提示 ：由奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合圖象來(lái)解答案為 A4.已知函數(shù) yf ( x) 是偶函數(shù) ， yf ( x2)在 0，2上是單調(diào)減函數(shù) ，則（A ）A. f (0)f (1)f (2)B.f (1)f (0)f (2)C. f ( 1)f(2)f (0)D