第二部分第四章第3講第2課時特殊的平行四邊形

1、第 2 課時特殊的平行四邊形 1掌握矩形、菱形、正方形的概念和性質(zhì)，了解它們之間 的關(guān)系 2掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條件 3了解矩形的重心及物理意義(如一根均勻木棒、一塊均 勻的矩形木板的重心) 1四邊形的相互轉(zhuǎn)化 _正方形 _菱形 _梯形梯形 _梯形梯形 等腰 直角 2四邊形的性質(zhì)和判定 特征 判定 邊角對角線對稱性 平 行 四 邊 形 對邊平 行且相 等 對角相 等，鄰 角互補 對角線 互相平 分 中心對 稱 兩組對邊分別平行 兩組對邊分別相等 一組對邊平行且相等 兩組對角分別相等 兩條對角線互相平分 矩 形 對邊平 行且相 等 _ _ _ 對角線 相等且 互相平 分 軸對稱， 中

2、心對 稱 有一個角是直角的平行四邊形 有三個角是直角的四邊形 兩條對角線相等且互相平分 四個角 都是直 角 特征 判定 邊角對角線對稱性 菱 形 對邊平 行，四 邊相等 對角相 等，鄰 角互補 對角線互相 垂直平分， 每條對角線 平分一組對 角 _ _ _ 有一組鄰邊分別相等 的平行四邊形 四邊相等的四邊形 對角線互相垂直的四 邊形 正 方 形 對邊平 行，四 邊相等 四個角 都是直 角 對角線互相 垂直平分且 相等，每條 對角線平分 一組對角 軸對稱， 中心對 稱 有一組鄰邊相等的矩 形 有一角是直角的菱形 對角線相等且互相垂 直平分的平行四邊形 軸對稱， 中心對 稱 菱形面積 兩條對角線的

3、積底高 3.四邊形的有關(guān)計算 矩形面積長寬 正方形面積邊長邊長 平行四邊形面積底高 【方法規(guī)律】 1(1)若易證是平行四邊形，則再證一角為直角或?qū)蔷€ 相等，即可得矩形 (2)對角線相等的四邊形不一定是矩形(如等腰梯形)，對角 線相等且互相平分的四邊形為矩形 2(1)若已知四邊形是平行四邊形，只需證一組鄰邊相等， 或?qū)蔷€互相垂直就能說明是菱形 (2)對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，對角線互相垂 直平分的四邊形才是菱形 3一般證明正方形的步驟是先證出四邊形是矩形或菱形， 再根據(jù)以上判定方法證出所需要的條件 菱形的性質(zhì)與判定 例題：(2012 年山西)如圖 435，已知菱 形ABCD的對角線

4、 AC，BD 的長分別為 6 cm,8 cm， AEBC 于點E，則 AE的長是（ ） 圖 435 思路分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)求出 BC，利用菱形面積等于對 角線乘積的一半，也等于 BCAE，可得出 AE 的長度 小結(jié)與反思：靈活運用菱形面積的兩種方法 答案：D 【題型突破】 類型一：菱形的性質(zhì) 1(2012 年陜西)如圖 436，在菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，OEAB，垂足為點 E，若ADC130， 則AOE 的大小為() A75B65C55D50 圖 436 B 類型二：菱形的判定 2(2012 年江蘇蘇州)如圖 437，矩形 ABCD 的對角線 AC，BD 相交

5、于點 O，CEBD，DEAC，若 AC4，則四邊 形 CODE 的周長() A4B6C8D10 圖 437 C 矩形的性質(zhì)和判定 例題：(2012 年吉林)如圖 438，在 ABC 中，ABAC，D 為邊 BC 上一點， 以 AB，BD 為鄰邊作 ABDE，連接 AD， EC.若 BDCD，求證：四邊形 ADCE 是圖 438 矩形 思路分析：利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知 AD BC ，即ADC 90 ；由平行四邊形的判定定理證得四邊形 ADCE 是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩 形 證明：四邊形 ABDE 是平行四邊形(已知)， BDAE，BDAE(平行四邊形的對邊平行

6、且相等) AECD. 又BDCD，AECD(等量代換) 四邊形 ADCE 是平行四邊形(對邊平行且相等的四邊形 是平行四邊形) 在ABC 中，ABAC，BDCD， ADBC(等腰三角形的“三合一”性質(zhì)) ADC90. ADCE 是矩形 小結(jié)與反思：矩形的判定定理是“有一個角是直角的平行 四邊形是矩形”，而不是“有一個角是直角的四邊形是矩形”. 【題型突破】 類型一：矩形的性質(zhì) 3(2012 年江蘇南通)如圖 439，矩形 ABCD 的對角線 )AC8 cm，AOD120，則 AB 的長為( A. cm B2 cm C2 cm D4 cm D 圖 439 類型二：矩形的判定 4(2012 年江蘇

7、鹽城)如圖 4310，在四邊形 ABCD 中， 已知 ABDC，ABDC.在不添加任何輔助線的前提下， 要想該四邊形成為矩形，只需再添加的一個條件是_ (填上你認(rèn)為正確的一個答案即可) 圖 4310 A90 正方形的性質(zhì)和判定 例題：(2011 年貴州貴陽)如圖 4311， 圖 4311 點 E 是正方形 ABCD 內(nèi)一點，CDE 是等邊三 角形，連接 EB，EA，延長 BE 交邊 AD 于點 F. (1)求證：ADE BCE； CDEDCE60，DECE. ADEBCE30.ADEBCE. (2)求AFB 的度數(shù) (1)證明：四邊形 ABCD 是正方形， ADCBCD90，ADBC. CDE

8、 是等邊三角形， (2)解：ADEBCE， AEBE.BAEABE. BAEDAE90，ABEAFB90， BAEABE， DAEAFB. ADCDDE，DAEDEA. ADE30，DAE75.AFB75. 【題型突破】 類型一：正方形性質(zhì)的應(yīng)用 5(2012 年遼寧沈陽)如圖 4312，正方形 ABCD 中， 對角線 AC，BD 相交于點 O，則圖中的等腰三角形有() A4 個B6 個C8 個D10 個 圖 4312 C 類型二：正方形的判定 6如圖 4313，在四邊形 ABCD 中，ABBCCD DA，對角線 AC 與 BD 相交于點 O，若不增加任何字母與輔助 線，要使四邊形 ABCD

9、是正方形，則還需增加一個條件是 _. 圖 4313 ACBD 或 ABBC 1(2012 年廣東廣州)在平面中，下列命題為真命題的是 () A四邊相等的四邊形是正方形 B對角線相等的四邊形是菱形 C四個角相等的四邊形是矩形 D對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形 C B 2(2011 年廣東茂名)如圖 4314，兩條筆直的公路 l1， l2 相交于點 O，村莊 C 的村民在公路的旁邊建三個加工廠 A，B， D，已知 ABBCCDDA5 公里，村莊 C 到公路 l1 的距離 為 4 公里，則村莊 C 到公路 l2 的距離是() A3 公里B4 公里C5 公里D6 公里 圖 4314 3(2012

10、年廣東肇慶)菱形的兩條對角線長分別為 6 和 8， 則這個菱形的周長為_ 4(2010 年廣東珠海)如圖 4315， P是菱形 ABCD 對角線 BD 上一點，PEAB 于點 E，PE4 cm，則點 P 到 BC 的距離是 _cm. 圖 4315 解析：BD 平分ABC，且點 P 在線段 BD 上， 點 P 到角兩邊的距離相等 20 4 5(2012 年廣東深圳)如圖 4316，RtABC 中，C 90，以斜邊 AB 為邊向外作正方形 ABDE，且正方形對角 線交于點 O，連接OC，已知 AC5，OC 6，則另一直 角邊BC 的長為_ 圖 4316 易證OMAONB， OMON，MANB. 點

11、O在ACB的平分線上 OCM為等腰直角三角形 OC6 ，CM6. MACMAC651. BCCNNB617. 答案：7 解析：如圖D11所示，過點O作OMCA，交CA的N. 延長線于點M；過點O作ONBC于點 圖D11 6(2011 年廣東廣州)如圖 4317，AC 是菱形 ABCD 的對角線，點 E，F(xiàn) 分別在邊 AB，AD 上，且 AEAF. 求證： ACE ACF. 圖 4317 解：四邊形 ABCD 為菱形， BACDAC. 又AEAF，ACAC， ACE ACF(SAS) 7(2012 年廣東肇慶)如圖 4318，四邊形 ABCD 是矩 形，對角線 AC，BD 相交于點 O，BEAC 交 DC 的延長線于 點 E. (1)求證：BDBE； (2)若DBC30，BO4，求四邊形 圖 4318 ABED的面積 (1)證明：四邊形 ABCD 是矩形， ACBD，ABCD. BEAC，四邊形 ABEC 是平行四邊形 ACBE.BDBE. (2)解：在矩形 ABCD 中，BO4， BD2BO248. ABCD4，DECDCECDAB448. 在RtBCD中，BC2BD2CD2824248. 8(2011 年廣東肇慶)如圖 4319，在正方形 ABCD 中， E 為對角線 AC 上一點，連接 EB，ED. (1)求證：BEC DEC； (2)延長 BE 交 AD 于點