數(shù)值分析試題及答案.

1、一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.3.142和3.141分別作為二的近似數(shù)具有（）和（）位有效數(shù)字A . 4 和 3B . 3 和 2C. 3 和 4D . 4 和 42 1 2 12.已知求積公式1f xdx 6f 1 Af(3) 6f(2)，則 A =()C. 23.通過點Xo，yo , X1，y1的拉格朗日插值基函數(shù)lo X兒X滿足（）A .h X1 i； = 0lxo ) = o h (為)=1h X1= 1% (xo ) = 1 h(X1 ) = 14.設求方程f X =0的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速A .超線性 B .平方 C.線性D .三次X-! 2x2 x3 =

2、02X1 2x2 3x3 = 33個方程（）5.用列主元消元法解線性方程組.一為-3X2 =2作第一次消元后得到的第A.-X2 X3 =2C -2X2 X3 =3B-2x2 1.5x3 = 3.5Dx2 - 0.5x3 - -1.5單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B得 分評卷人、填空題（每小題3分，共15 分）1. 設 X = (2,3, 4),則 | X |1 =, |X 也=2. 一階均差 f X0,Xi =cf )=)= c )=弓c3)3. 已知n =3時，科茨系數(shù)88，那么C3二4. 因為方程f x =x-4在區(qū)間1,21上滿足，所以f x =0在區(qū)間內(nèi)有根。y y(x5.

3、 取步長h =0.1，用歐拉法解初值問題y 1 =1的計算公式.填空題答案f xo- f X11.9 和 292.X。一 X13.4.f 1 f 2 0yk 1 二 yk |1.1y “0.12(1 +0.1k ),k=0,1,2L得 分評卷人5.1012y _1 +x2的一組數(shù)據(jù)：10 50.2求分1.已知函數(shù)段線性插值函數(shù)，并計算f 1.5的近似值.三、計算題(每題15分，共60 分)計算題1.答案x 1x 0%x ：1 ： ：0.5=1-0.5x1.0 -11-0%x 二12匯0.5 十漢0.2 =-0.3x + 0.81-22T0.8 -0.3x0,1111,2%1.5 =0.8 0.

4、3 1.5 =0.3510% -x2 -2x3 = 7.2彳-兇 +IOX2 2x3 =8.32.已知線性方程組兇一x? + 5x3 4.21 一（1）寫出雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式；（2）對于初始值X 二0,0,0，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公 式分別計算X C）（保留小數(shù)點后五位數(shù)字）.計算題2.答案1. 解原方程組同解變形為人=0.1x20.2x3 0.72x2 =0.1x -0.2x3 0.83x3 =0.2人 0.2x20.84雅可比迭代公式為xj1 =0.1x2m0.2x3m0.72x2m 1 =0.1x-0.2x3m 0.83x十）=0.2x）+0.2x2m）+

5、0.84（m =0,仁.）高斯-塞德爾迭代法公式xj1 =0.1x2m0.2x3m0.72x2m 1 =0.1x1 -0.2x3m0.83滅十）=0%十）+0.2x十）+0.84（m=0,仁.）用雅可比迭代公式得X 1二0.720 g。830 g。840 00用高斯塞德爾迭代公式得X 1 = 0.720 OO。902。丄164 403.用牛頓法求方程x3 -3x T =0在1,2之間的近似根（1 ）請指出為什么初值應取 2?(2 )請用牛頓法求出近似根，精確到0.0001.計算題3.答案f 2 =1.033 解 f (x )=x 3x 1f 0 )=3f x =3x2 _3f x =12xf

6、2 =24 0，故取x=2作初始值迭代公式為f xm3xn 13Xn 1 -13x21 -32x31n)3 xn J _ 1n = 1,2,.2 33 1x0 =2X11.88889322 -12 1.888893 1X21.8794531.888892 -12 1.879453 1x2 -x, =0.00944 0.0001x321.87939x3 - x2 =0.00006 ： 0.000131.87 9 45 -14.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分01 丄 dx01 x計算題4.答案b解梯形公式a f (xdxb aRz 2_f a f b應用梯形公式得X10+ 丄=0.7

7、511辛卜生公式為bb _ aa 亠 b心衍“)+4f(寧)+仙應用辛卜生公式得f丄dx01 x 6-f (+4f(L2f (1 J11 11二4366 10 1 . 1 1 1得 分評卷人3次代數(shù)精確度四、證明題（本題 10分） 確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有hf x dx = Adf -hAf 0 Af h證明題答案2:求積公式中含有三個待定系數(shù)，即A_i，Ao, A，將f （x） = 1，x,x分別代入求積公式，并令其左右相等，得A 丄 +A)+ A =2h-h(A-A) =02 2 3 h2(At +A) =_h3 、-31A=Ah得34hA 3。所求公式至少

8、有兩次代數(shù)精確度。又由于h 3h3 h 3xdx=3 -h 3 hh 4h4 h 4.x4dx 乜(4)蔦(h4)hh4hfxd3f-h 3f0 3fh具有三次代數(shù)精確度。填空（共20分，每題2 分）1. 設X”二23149541，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=f %,X2 =1-42. 設一階差商fX2，X3=f X3- f X2_ 6-1x3 -x24-2則二階差商f ,X2,X3 =3. 設 X =(2, f),則 |X 卄2=, II X Iloo =4. 求方程x2 _x -1.25 =0的近似根，用迭代公式X = . x d-25 ,取初始值 溝二1那么X1二y、f(x,y)5

9、解初始值問題y(Xo)=yO近似解的梯形公式是ykT (1 1)A =6、廠5 1丿，則A的譜半徑(A) =7、設f (x) =3x +5，Xk = kh, k = 0,1,2,，則 f人，xn*,人七】=和f Xn , Xn 1, Xn 2 , Xn 3o8、若線性代數(shù)方程組 AX=b的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯 塞德爾迭代都9、解常微分方程初值問題的歐拉(Euler)方法的局部截斷誤差為 10、為了使計算y =101x -13(x 一1)的乘除法運算次數(shù)盡量的少，應將表達式改寫成填空題答案1、2.31502、ffXi，X2，X3=X3 -Xi3、 6 和 144、1.5

10、5、h -yk 十2卩(Xk,yk )+f (xg, yk卑7、f k,Xn 1,Xn 210、1y=10 X-11 設X2M3_fX!，X24 -16=3, f IXn,Xn1,Xn2,Xnd = 0 g、收斂 9、匚 h131 +12 (x_1八(x-1)丿丿、計算題(共75分，每題15 分)|19f (x) =X , Xo, X1 =1, X2 :44(1)試求f X在-4 4上的三次Hermite插值多項式.x使?jié)M足H(Xj) = f(Xj), j =0,1,2,. H(xJ = f(X1)：X以升冪形式給出。(2)寫出余項R(x)=f(x)_H(x)的表達式計算題1.答案1、( 1)

11、143263 2233X 丁X 丁X225450450125519：*乜/12/91 9Rx -2(x- )(x-1) (x - ),= (x)(,)4!16444 42 已知mii，試問如何利用個收斂的簡單迭代函數(shù)，使- - : - -0, 1收斂?2、由 x 刊 x)，可得 x_3x“(x)3x , x=2(x)3x)(x)因 屮(X)=(屮(x) 3)，故 W(X)= 申(x) -3 Vi2 1 1 2 21故 兀半=屮(兀)=一一(xJ-3Xk】, k=0,1， 收斂。23. 試確定常數(shù)A, B, C和a,使得數(shù)值積分公式/心 Af -a) +(0) + Q/(a)有盡可能高的代數(shù)精度

12、。 試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？計算題3.答案A1016 丄冋A =C = ,B= ,a = 士 J3、99 5 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，它是 Gauss型的y、f(x,y)4.推導常微分方程的初值問題y(x0 y0的數(shù)值解公式:h yn 1 =yn (yn 1 4y. *n)(提示：利用Simpson求積公式。)計算題4.答案4、數(shù)值積分方法構造該數(shù)值解公式：對方程 y二f (x)在區(qū)間1上積分,x“ +y(xn 1) =y(Xn1). f (x,y(x)dx得xn-，記步長為h,xn +f f(x,y(x)dx對積分xn-用Simpson求積公

13、式得2h h xf(x,y(x)dxuf(xn4f(xn)+f(xM 尹4yn所以得數(shù)值解公式：h yn 1 二 yn1 -(yn 1 4yn n)3x1 2x2 3x3 =14 2x5x2 2x3 = 18I5.利用矩陣的LU分解法解方程組 3X1 X2 5X3 =20計算題5.答案5、解:A 二 LUj2213 1-4令 Ly 二b 得 y =(14,一10, _72)t, Ux 二 y 得 x =(1,2,3)丁 .三、證明題 (5分)1設，證明解 /W = o 的Newt on迭代公式是線性收斂的證明題答案3 -a),由Newton迭達公式：證明：因 f(x) =(x3 a)2,故 f

14、 (x) =6x2(xf(Xn) ,n =0,1，得f (Xn)xn 1 X n2 326xn(Xna)66Xn(x_a)25xn a ,n -0,1,.因迭達函數(shù)(x)x a2,而 0=5_,6 6x26 3又x =祐,貝V (Va =(Va)=_0,63632故此迭達公式是線性收斂的。、填空題(20分)（1）設X二2.40315是真值X二2.40194的近似值，則X有位有效數(shù)字（2）.對 f（x） =x3 x J,差商 f0,1,2,3H（）。（3）.設 X =（2,-3,7）丁，則 IIXIAn7 Ckn）=（4） 牛頓一柯特斯求積公式的系數(shù)和k-。填空題答案（1）3 （ 2）1（ 3）

15、7（ 4）1二、計算題1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多項式L2（x）計算sin。34的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40,0.3894）。計算題1.答案Lor（-恥乜）f .）（X。一Xj（Xo X2）（X1 怡）（乂1 X2）（X2 X）（X2 X1）1）=0.3333362）.（ 15分）用二分法求方程在口。1.5區(qū)間內(nèi)的一個 根，誤差限；=10。計算題2.答案N =6為=1.25x2 =1.375x3 =1.31252） x4 =1.34375 x5 =1.328125 & =1.32031254x +2x2 + x3 = 11x

16、1 4x2 2x3 二 183）.（ 15分）用高斯-塞德爾方法解方程組2x1 x2 5X3 = 22，取x（0） = （0,0,0）T，迭代三次（要求按五位有效數(shù)字計算）.o計算題3.答案3）迭代公式xl) J(112x2k) x3k)4.xri(ixr2x3k)x3k 1)4k000012.75 13.8125 12.537520.209383.17893.680530 240432.599731839A*)4). (15分)求系數(shù)AA和A使求積公式1丄f(x)dx : A1 f ( -1) A2f -) A3f()對于次數(shù)乞2的一切多項式都精確成立3 35). (10分)對方程組3x1

17、2x2 10x3 = 15* 10X1 4X2 - X3 =52x1 +10x2 4x3 =8試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題4.答案1 11 1 2A1A2Ab =2- A1 一厲A3 =33A A2 - A3 =99313A 二 cA2 = 0Ab =4)22計算題5.答案5)解：調整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10x1 -4x2 - x3 =52x110x2 -4x3 =83x1 2x2 10x3 =15故對應的高斯一塞德爾迭代法收斂迭代格式為x =-(4x2k)+x3k) +5)10* x2=1(/Xi(5+4妒 +8)102x2k#)+15)10取x(0)

18、 =(OQO)T,經(jīng)7步迭代可得：x* 址 x=(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T .三、簡答題1) (5分)在你學過的線性方程組的解法中，你最喜歡那一種方法，為 什么？2) ( 5分)先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它。一、填空題(20分)1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，貝U a有()位有效數(shù)字.2. Io(x), lx)，ln(x)是以0,1,，n為插值節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則nili(x)二v ().3. 設f (x)可微，則求方程x二f(x)的牛頓迭代格式是().(k D(k)4. 迭代公式X

19、-BX f收斂的充要條件是 。5. 解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0)的迭代格式x = Bx f9% - x2 = 8中的B稱為().給定方程組 *-5X2 = -4，解此方程組的雅可比迭代格式為()。填空題答案2. xXn 1 二 Xn3.Xn - f(XO1 -f %)x；1 (8 x2k)9x嚴=l(4+x1k)得 分評卷人5.迭代矩陣,5、判斷題(共10 分)1. 若 f (a)f (b) ：0，則 f(x) =0在(a,b)內(nèi)一定有根。2. 區(qū)間a,b上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。()3. 若方陣A的譜半徑:(A) : 1，則解方程組Ax=b的Jacob

20、i迭代法收 斂。 ()n4. 若f (x)與g (x)都是n次多項式，且在n+1個互異點Xii上f (xj =g(Xj)，貝y f (x)三 g(x)。()5.x x2近似表示ex產(chǎn)生舍入誤差判斷題答案1. x 2. x 3. x 4. V5. x得 分評卷人三、計算題(70分)1. (10分)已知f(0) = 1, f(3)= 2.4，f=5.2，求過這三點的二次插值基函數(shù)li(x)=(P2(X)=(計算題1.答案用三點式求得),f0,3,4=(f(4)=().),插值多項式由插值公式可求得它們分別為:32. ( 15分)已知一元方程x3x -1.2=0 o1) 求方程的一個含正根的區(qū)間；2

21、) 給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性)；3) 給出在有根區(qū)間的Newton迭代法公式。計算題2.答案2. ( 1)f(0) =1.2c0, f(2) =1.8a0 又f (x)連續(xù)故在(0,2)內(nèi)有一個正根，(2) 上1x =茁3x +1.2, (x) = (3x +1.2) (15分)確定求積公式4使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度, max(x)l 蘭2 1/. xn* =引3xn +1.2收斂1.2f(x)dx ： Af(-0.5) Bfg)Cf(0.5)的待定參數(shù)3. 假設公式對f (x) =1,x,x2,x3精確成立則有 A+B+C=2-0.5A + BXT +0.5

22、C =02 20.25A +Bx2 +0.25C =3-0.125ABx30.125C=03 2解此方程組得A=C=4,B=3 3求積公式為1 1f(x)dx ：匕4 f(-0.5) - 2f (0) 4f (0.5),當f (x) =x4時,2 1 、左邊二-右邊=-左邊=右邊.代數(shù)精度為3o4 64.（15分）設初值冋題V = 3x+2yy(0) = 10 ： x 1（1）寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；（2）寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數(shù)值解 的公式，并求解力2，保留兩位小數(shù)。計算題4.答案4 (1) yn# =yn +

23、0.1(3xn +2yn) =0.3xn +1.2yn yn 1 二 yn Qxn2%) 3(X. 0.2)2% “=yn0.1(6Xn 2yn 2yn1 0.6)yn/3yn 3Xn 3n 124 n 403 33 6333迭達得勺1.575, y22.585124022x404翅.2+405.（15分）取節(jié)點X。=, x1 =0.5, X2才，求函數(shù)y = e在區(qū)間0,1上的二次插值多項式B（x），并估計誤差。J_0.5_0.5丿e -e e -10.5.o e 11 0.50.5 0 ,p2 (x) = e 亠(x - 0)亠(x - 0)(x - 0.5)0.501 - 0f ()x(

24、x_0.5)(x_1) 3!=1+2(e為 f(x)=x2+1,貝y f1,2,3=, f1,2,3,4 =。填空題答案1.相對誤差絕對誤差 -1)x2(eJ _2e51)x(x _0.5)xM3=maxy =1,e _p2(x) = x0,1 10 蘭X 蘭1 時，|ex-p2(x)| 篤|x(x0.5)(x1)|一、填空題(每題4分，共20分)1、 數(shù)值計算中主要研究的誤差有 和。2、設lj(x)(j二0,1,2川n)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則nS11 (x)=(Xi)二(i,j=0,1,2 川n) ； jj 703、設lj(x)( j =0,1,2川n)是區(qū)間a,b上的一組

25、n次插值基函數(shù)。則插值型求積公式的代數(shù)精度為 ;插值型求積公式中求積系數(shù)Aj二;且n二 Aj =j =0o4、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式1,i =j,2. U3.至少是nba lk(x)dx ab-a4. 3b-a (b180( 2)4f ()，(a,b)5. 10二、計算題1、已知函數(shù)y=f(x)的相關數(shù)據(jù)I01230123x 二 O13927由牛頓插值公式求三次插值多項式 P3(x)，并計算 = P(2)的近似值計算題1.答案解：差商表由牛頓插值公式:4 32 . 8P3(x) =N3(x)x -2x 亠-x 1,33r 14 1 312.81,3 :mJ)(J -2()2 )1 =223 223 22、( 10分)利用尤拉公式求解初值問題，其中步長 h二0，y = -y x 1, y(0) =1.x (0,0.6)0計