高等數(shù)學(xué)：D2_2求導(dǎo)法則

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié) 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路解決求導(dǎo)問(wèn)題的思路: x xfxxf xf x )()( lim)( 0 ( 構(gòu)造性定義 ) 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則 其它基本初等其它基本初等 函數(shù)求導(dǎo)公式函數(shù)求導(dǎo)公式 0 xcos x 1 ) (C ) sin(x ) ln(x 證明中利用了 兩個(gè)重要極限 初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題初等函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題 本節(jié)內(nèi)容 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

2、回 結(jié)束 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 定理定理1. 的和、 差、 積、 商 (除分母 為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且 下面分三部分加以證明, 并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和 例題 . 可導(dǎo)都在點(diǎn)及函數(shù)xxvvxuu)()( )()(xvxu及 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu )0)(xv 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形. 證證: 設(shè) 則 vuvu )() 1 ( 故結(jié)論成立. 例如, , )()(

3、)(xvxuxf h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()()()( lim 0 h xuhxu h )()( lim 0 h xvhxv h )()( lim 0 )()(xvxu wvuwvu)( 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)vuvuvu ) ( 證證: 設(shè), )()()(xvxuxf 則有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()()()( lim 0 故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxu h hxu h )( lim 0 )(xu )(hxv h xv)( )(xu )(hx

4、v 推論推論: ) () 1uC ) ()2wvu u C wvuwvuwvu ) log()3x a a x ln ln axln 1 ( C為常數(shù) ) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 解解: xsin4 1( 2 1 )1sin , )1sincos4( 3 xxxy. 1 x yy 及求 y )(x x )1sincos4( 2 1 3 xx x 2 3( xx) 1x y1cos4)1sin43( 1cos21sin 2 7 2 7 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()( lim 0 xvhxvh )()( )()

5、()()( xvhxv hxvxuxvhxu h )()(xvxu (3) 2 v vuvu v u 證證: 設(shè))(xf則有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h h lim 0 , )( )( xv xu )( )( hxv hxu )( )( xv xu h hxu )( )(xu )(xv h hxv )( )(xu )(xv 故結(jié)論成立. )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 推論推論: 2 v vC v C ( C為常數(shù) ) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例例2. 求證,sec

6、)(tan 2 xx 證證: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx cos)(sin)(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 類似可證:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )( x f 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知 且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此 ,)()( 1 的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy 在)( 1 yf 0 )( 1 yf且

7、 d d x y 或 ,0 x )()(xfxxfy,0 x y y x ,00yx時(shí)必有 x y xf x 0 lim)( lim 0 y y x y x d d 1 )( 1 yf 1 1 )( 1 yf 1 1 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , ) 2 , 2 (y )(arcsinx )(siny ycos 1 y 2 sin1 1 2 1 1 x 類似可求得 ?)(arccosx , 1 1 )(arctan 2 x x 2 1 1 )arccot( x x 2 1 1 x xxar

8、csin 2 arccos 利用 0cosy , 則 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 設(shè), )1,0(aaay x 則),0(,logyyx a )( x a )(log 1 y a 1 ayln 1 aylnaa x ln xx e)e( ) arcsin(x 2 1 1 x ) arccos(x 2 1 1 x ) arctan(x 2 1 1 x ) cotarc(x 2 1 1 x aaa xx ln)( xx e)e( 特別當(dāng)ea時(shí), 小結(jié)小結(jié): 推論3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim 0 xx u x u uf )( x y x y x 0 lim d

9、 d 三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(xg且 )()( d d xguf x y 在點(diǎn) x 可導(dǎo), 證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo), 故 )(lim 0 uf u y u uuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u 0 故有 )()(xguf u y )(uf )0()( x x u x u uf x y 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求

10、導(dǎo). 推廣推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求下列導(dǎo)數(shù):. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxx x 解解: (1)(e)( ln x x xln e )ln(x x x 1 x )(e)( ln xxx x xx ln e)ln( xx x x)1ln(x(2) (3) 2 ee )(sh xx x 2 x e x e xch 說(shuō)明說(shuō)明: 類似可得 ;sh)(chxx axx a ln e )(thx)( x a x x x ch sh th 2 ee sh xx x ; ch 1 2 x .lnaa x 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

11、束 例例5. 設(shè), )cos(eln x y 求 . d d x y 解解: x y d d )cos(e 1 x )sin(e( x x e )tan(ee xx 思考思考: 若)(u f 存在 , 如何求)cos(e(ln x f的導(dǎo)數(shù)? x f d d )( f ) )cos(e(ln x )cos(eln )( x u uf 這兩個(gè)記號(hào)含義不同 )cos(eln x 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè), )1(ln 2 xxy . y 求 解解: 1 1 2 xx y1 12 1 2 x x2 1 1 2 x 記, )1(lnarsh 2 xxx 則 ) (arsh x 1 1

12、 2 x (反雙曲正弦) 其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)看參考書自推. 2 ee sh xx x 的反函數(shù) 雙曲正弦 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P95) ) (C0 ) ( x 1 x ) (sin xxcos ) (cosxxsin ) (tan xx 2 sec ) (cot xx 2 csc ) (secx xxtansec ) (cscxxxcotcsc ) ( x aaa x ln ) (e x x e ) (log x a axln 1 ) (ln x x 1 ) (arcsin x 2 1 1 x ) (a

13、rccosx 2 1 1 x ) (arctan x 2 1 1 x ) cot(arcx 2 1 1 x 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu ) ( uCu C ) ( vuvuvu v u 2 v vuvu ( C為常數(shù) ) )0( v 3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 )(, )(xuufy x y d d )()(xuf 4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), ) (C0 ) (sin xxcos ) (ln x x 1 由定義證 , 說(shuō)明說(shuō)明: 最基本的公式 u y d d x u d d 其它公式 用求導(dǎo)法則推出. 且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)

14、且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求 解解: , 11 11 xx xx y. y 2 122 2 xx y1 2 xx 1 y 12 1 2 x )2( x 1 1 2 x x 例例8. 設(shè)),0( aaaxy xaa axa 解解: 1 a aa xayaa a x ln 1 a xa aa x a ln 求 . y aa x ln 先化簡(jiǎn)后求導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9. 求 解解: ,1arctane 2sin 2 xy x . y 1arctan)( 2 xy ) (e 2 sin x 2 sin e x2 cosxx2 2 1 x12 1 2

15、x x2 x21arctan 2 x 2 sin e x2 cosx 2 sin e x 1 1 2 xx 關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè)求, 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 x x xy. y 解解: y 22 )1(1 1 2 1 x 2 1x x ) 11ln() 11ln( 22 xx 11 1 4 1 2 x 2 1x x 11 1 2 x 2 1x x 2 1 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 23 1)2( 1 xxx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 求導(dǎo)公式及求

16、導(dǎo)法則 (見(jiàn)P95 P96) 注意注意: 1),)(vuuv v u v u 2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) . 4 1 1 4 3 x 1. xx 1 4 3 1 x 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 對(duì)嗎? 2 11 4 3 4 1 xx 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè) , )()()(xaxxf其中)(x在ax 因 )()()()(xaxxxf 故)()(aaf ax afxf af ax )()( lim)( ax xax ax )()( lim )(limx ax )(a 正確解法: )(a f 時(shí), 下列做法是否正確?在求 處連續(xù), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 求

17、下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解解: (1) 1 b x a by 2 x a 1 b b x ba (2) y )(x .)2(,) 1 ( xb b a y x a y x b a b a ln x a b b a ln 或 x a b y a b a b x ln 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0( f 求 解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義. 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x )99()2)(1(lim 0 xxx x !99 方法方法2 利用求導(dǎo)公式. )(xf)(x x )99()2)(1( xxx )99()2)(1(xxx !99)0(f 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P 97 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7)