《實(shí)數(shù)和二次根式》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識(shí)講解

1、樂(lè)博思實(shí)數(shù)和二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.3.了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實(shí)數(shù)后，概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍.5.理解并掌握二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算.7.了解代數(shù)式

2、的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和立方根 類型項(xiàng)目平方根立方根被開(kāi)方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)符號(hào)表示性質(zhì)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論要點(diǎn)二、無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)要點(diǎn)詮釋：（1）所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù) （2）無(wú)理數(shù)分成三類：開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如，等；有特殊意義的數(shù)，如； 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.101001

3、0001 （3）凡能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，并且無(wú)理數(shù)不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式.2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一 一對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).3.實(shí)數(shù)的三個(gè)非負(fù)性及性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的非負(fù)數(shù)有如下三種形式： （1）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即|0；（2）任何一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，即0；（3）任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即 ().非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）非負(fù)數(shù)有最小值零；（2）有限個(gè)非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；（3）幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算數(shù)的相反數(shù)是；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)

4、值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開(kāi)方、再乘除，最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里. 5.實(shí)數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1. 實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大；法則2正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；法則3. 兩個(gè)數(shù)比較大小常見(jiàn)的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.要點(diǎn)三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫

5、做二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式有意義的條件是，即只有被開(kāi)方數(shù)時(shí)，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.要點(diǎn)詮釋：（1） 一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫(xiě)成它的算術(shù)平方根的平方的形式，即 （），如（）.（2） 中的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).（4）與的異同不同點(diǎn)：中可以取任何實(shí)數(shù)，而中的必須取非負(fù)數(shù)；=，=（）.相同點(diǎn)：被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)取非負(fù)數(shù)時(shí)，=.3. 最簡(jiǎn)二次根式（1）被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如等都是最簡(jiǎn)二次

6、根式.要點(diǎn)詮釋：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開(kāi)方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.要點(diǎn)四、二次根式的運(yùn)算1. 乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開(kāi)方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)

7、只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問(wèn)題【高清課堂：389318 實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)，例1】1、已知，求的值.【思路點(diǎn)撥】由被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0得出的值，從而求出值，及的值.【答案與解析】解：由題意得 ，解得32.【總結(jié)升華】根據(jù)使式子有意義的條件列出方程，解方程，從而得到的值.2、（2016春南昌期末）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求2x的立方根【答案與解析】解：由非負(fù)數(shù)的性

8、質(zhì)可知：2x16=0，x2y+4=0，解得：x=8，y=62xy=286=82x的立方根是2【總結(jié)升華】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、立方根的定義，求得x、y的值是解題的關(guān)鍵類型二、與實(shí)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題3、已知是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分，求的值【思路點(diǎn)撥】一個(gè)數(shù)是由整數(shù)部分小數(shù)部分構(gòu)成的.通過(guò)估算的整數(shù)部分是3，那么它的小數(shù)部分就是，再代入式子求值.【答案與解析】解：是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分，.【總結(jié)升華】可用夾擠法來(lái)確定，即看介于哪兩個(gè)相鄰的完全平方數(shù)之間，然后開(kāi)平方.這個(gè)數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部分.舉一反三：【變式】 已知5的小數(shù)部分為，5的小數(shù)部分為，則的值是 ；的值是_.【

9、答案】；提示：由題意可知，.4、閱讀理解，回答問(wèn)題.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)會(huì)遇到比較兩數(shù)大小的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論特征，采用相應(yīng)辦法，其中巧用“作差法”是解決此類問(wèn)題的一種行之有效的方法：若0，則；若0，則；若0，則.例如：在比較與的大小時(shí)，小東同學(xué)的作法是： 請(qǐng)你參考小東同學(xué)的作法，比較與的大小.【思路點(diǎn)撥】仿照例題，做差后經(jīng)過(guò)計(jì)算判斷差與0的關(guān)系，從而比較大小.【答案與解析】解：【總結(jié)升華】實(shí)數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法，根據(jù)具體情況加以選擇.舉一反三：【高清課堂：389318 實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)，例5】【變式】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的大小關(guān)系是： ；【答

10、案】；類型三、實(shí)數(shù)綜合應(yīng)用【高清課堂：實(shí)數(shù)復(fù)習(xí)，例6】5、閱讀材料：學(xué)習(xí)了無(wú)理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次探究活動(dòng)：估算的近似值.小明的方法：，設(shè)（）.解得 .問(wèn)題：（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算的近似值；（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概括出估算的公式：已知非負(fù)整數(shù)、，若，且，則_(用含、的代數(shù)式表示)；（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算的近似值. 【答案與解析】解：（1），設(shè)（）.解得 .（2），設(shè)（）.對(duì)比，（3），6.083.【總結(jié)升華】此題比較新穎，關(guān)鍵是通過(guò)閱讀材料快速掌握估值的方法.（2）問(wèn)中要對(duì)比式子，找準(zhǔn)和，表示出.類型四、二次根式概念及運(yùn)算6、（2015春石林縣期末）計(jì)算：5+【思路點(diǎn)撥】先二次根式化為最簡(jiǎn)二次根和根據(jù)二次根式的乘除法得到原式=+3=21+3，然后合并即可 【答案與解析】解：原式=+3=21+3=2+2【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算舉一反三：【高清課堂：二次根式 高清id號(hào)：388065關(guān)聯(lián)的位置名