《二元一次方程組》全章復習與鞏固(提高)知識講解

1、樂博思二元一次方程組全章復習與鞏固（提高）知識講解【學習目標】1.了解二元一次方程（組）的有關概念，會解簡單的（數字系數）；能根據具體問題中的數量關系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題，并能檢驗解的合理性.毛2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會方程與函數的關系.3.了解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復雜問題為簡單問題的劃歸思想.【知識網絡】【要點梳理】要點一、二元一次方程組的相關概念1. 二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數（和），并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程. 要點詮釋：（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指

2、方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式. 2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解. 要點詮釋：二元一次方程的每一個解，都是一對數值，而不是一個數值，一般要用大括號聯立起來，即二元一次方程的解通常表示為 的形式.3. 二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組. 此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數.例如，二元一次方程組.要點詮釋：（1）它的一般形式為（其中，不同時為零）（2）更一般

3、地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數，那么它們組成一個二元一次方程組（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思4. 二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點詮釋：（1）方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數個. 要點二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元

4、一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：從方程組中選定一個系數比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數式表示（或），即變成（或）的形式；將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關于（或）的一元一次方程；解這個一元一次方程，求出（或）的值；把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；用“”聯立兩個未知數的值，就是方程組的解.要點詮釋： (1)用代入法解二元一次方程組時，應先觀察各項系數的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程

5、；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數連同它的系數作為一個整體用含另一個未知數的代數式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：根據“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數，等式仍然成立”的性質，將原方程組化成有一個未知數的系數絕對值相等的形式；根據“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數，得到一個一元一次方程；解這

6、個一元一次方程，求出一個未知數的值；把求得的未知數的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數的值；將兩個未知數的值用“”聯立在一起即可.要點詮釋：當方程組中有一個未知數的系數的絕對值相等或同一個未知數的系數成整數倍時，用加減消元法較簡單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：把二元一次方程化成一次函數的形式在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點交點坐標就是方程組的解要點詮釋：二元一次方程組無解一次函數的圖像平行（無交點） 二元一次方程組有一解一次函數的圖像相交（有一個交點） 二元一次方程組有無數個解一次函數的圖像重合（有無數個交點）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似

7、解，要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標可以轉化為求這兩條直線對應的函數表達式聯立的二元一次方程組的解.要點三、實際問題與二元一次方程組要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.要點四、二元一次方程（組）與一次函數1.二元一次方程與一次函數的關系 （1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數.（2）我們知道每個

8、二元一次方程都有無數組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數解有，我們發(fā)現以這些整數解為坐標的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數y的圖像上，反過來，在一次函數的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.要點詮釋：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；2.一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數的圖像相同.2. 二元一次方程組與一次函數每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這時的函數為何值；從“形”的角度看，解方

9、程組相當于確定兩條直線交點的坐標.3.用二元一次方程組確定一次函數表達式待定系數法：先設出函數表達式，再根據所給的條件確定表達式中未知數的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.利用待定系數法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數解析式.2.根據所給條件, 列出一組含有待定系數的方程.3.解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決.要點五、三元一次方程組1定義：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數，每個方程中含未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組. 等都是三元一次方程組.要點詮釋：理解

10、三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數，它們就能組成一個三元一次方程組.2三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應利用代入法或加減法消去一個未知數，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數，最后再求出另一個未知數解三元一次方程組的一般步驟是： （1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另外兩個未知數的二元一次方程組； （2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值； （3）將求得的兩個未知數的值代入原方

11、程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程； （4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值； （5）將求得的三個未知數的值用“”合寫在一起要點詮釋：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據各方程特點尋求比較簡單的解法（2）要檢驗求得的未知數的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解3. 三元一次方程組的應用列三元一次方程組解應用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數量關系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未

12、知數；（2）找出能夠表達應用題全部含義的相等關系；（3）根據這些相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)要點詮釋：(1)解實際應用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的應該舍去(2)“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應注意單位是否統(tǒng)一(3)一般來說，設幾個未知數，就應列出幾個方程并組成方程組【典型例題】類型一、二元一次方程組的相關概念1. （2016春潮州期末）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ） a. b. c. d. 【思路點撥】根據二元一次方程組的定

13、義判斷即可.【答案】c.【解析】c選項是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項符合題意，選c.【總結升華】熟記二元一次方程組的定義是解此題的關鍵.舉一反三：【高清課堂：二元一次方程組章節(jié)復習409413 例1（3）】【變式1】若關于x、y的方程是二元一次方程，則m = 【答案】1【變式2】已知方程組有無數多個解，則a、b 的值等于 【答案】a3，b14類型二、二元一次方程組的解法 2.解方程組【思路點撥】本題結構比較復雜，一般應先化簡，再消元仔細觀察題目，不難發(fā)現，方程組中的每一個方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一個整體，消去(x-y)可得到一個關于y的一元一次方程【答案與

14、解析】 解：由9得：6(x-y)+9y45 4得：6(x-y)-10y-12 -得：19y57， 解得y3 把y3代入，得x6所以原方程組的解是【總結升華】本題巧妙運用整體法求解方程組，顯然比加減法或代入法要簡單，在平時求方程組的解時，要善于發(fā)現方程組的特點，運用整體法求解會收到事半功倍的效果舉一反三：【變式】（2015黃岡模擬）若關于x，y的二元一次方程組的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值【答案】解：由方程組得：此方程組的解也是方程2x+3y=6的解27k+3（2k）=6即k=3.方程的整數解的個數是 【思路點撥】把1表示成兩個非負整數的和，這兩個數只能是1與0，于是一個方程裂

15、變?yōu)槎鄠€方程組，通過解方程組來求解的個數【答案】2組【解析】解：由條件得或 即 或即或或或，解得，或或或【總結升華】根據已知條件構造出方程組，再選擇恰當方法求得方程組的解，然后再所求得出答案舉一反三：類型三、實際問題與二元一次方程組4.（2015朝陽）為響應國家節(jié)能減排的號召，鼓勵居民節(jié)約用電，各省先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，如表中是某省的電價標準（每月）例如：方女士家5月份用電500度，電費=1800.6+220二檔電價+100三檔電價=352元；李先生家5月份用電460度，交費316元，請問表中二檔電價、三檔電價各是多少？階梯電量電價一檔0180度0.6元/度二檔181400度二檔

16、電價三檔401度及以上三檔電價【答案與解析】解：設二檔電價是x元/度、三檔電價是y元/度，根據題意得，解得，答：二檔電價是0.7元/度、三檔電價是0.9元/度【總結升華】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是正確列出方程組舉一反三：【變式】甲、乙兩班學生到集市上購買蘋果，價格如下： 甲班分兩次共購買蘋果70千克(第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班則一次購買蘋果70千克。(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分別購買蘋果多少千克？ 【答案】解：（1） （元）答：乙班比甲班少付出49元（2）設甲班第一次、第二次分別購買蘋果、千克，則依據題意得：當，則有：，解得：，

17、經檢驗滿足題意； 當，則有： ，解得：，經檢驗不滿足題意；當，則有：，不滿足題意答：甲班第一次購買蘋果28千克，第二次購買42千克類型四、二元一次方程（組）與一次函數5.在同一坐標系中畫出函數y=2x+1和y=2x+1的圖象，并利用圖象寫出二元一次方程組的解【答案與解析】解：如圖，兩直線的交點坐標為（0，1），所以，方程組的解是【總結升華】本題考查了一次函數與二元一次方程組的關系，函數圖象交點坐標即為方程組的解6. 甲車以某一速度沿公路從a地勻速駛往b地，到達b地停留m小時后，立即以原速沿原路勻速返回a地，共用11小時甲車出發(fā)一段時間后，乙車沿同一條公路以每小時120千米的速度從a地勻速駛往b

18、地，甲車從a地出發(fā)9小時后，兩車在距離a地160千米處相遇，甲車回到a地的同時乙車到達了b地如圖所示的折線是甲車離a地的距離y1（千米）與行駛時間 x（小時）之間的函數圖象（1）求乙車離a地的距離y2（千米）與所用時間x（小時）之間的函數關系式，并在同一坐標系中畫出其函數圖象；（2）求m的值【思路點撥】（1）設y2=kx+b，根據題意可得當x=9時，y=160，當x=10時，y=160+120=280，然后利用待定系數法求一次函數解析式，再求出x=11時的y值，然后作出圖形即可；（2）先求出甲車的速度，再求出甲車往返兩地的時間，然后求解即可【答案與解析】解：（1）設y2=kx+b（k0），當x=9時，y=160，乙車以120千米/小時的速度從a地勻速