2011專升本數學全真模擬試題二

1、2010專升本數學全真模擬試題（二）一. 選擇題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內。 *1. 函數在點不連續(xù)是因為（ ） a. b. c. 不存在d. 不存在 答案：c不存在。 2. 設為連續(xù)函數，且，則下列命題正確的是（ ） a. 為上的奇函數 b. 為上的偶函數 c. 可能為上的非奇非偶函數 d. 必定為上的非奇非偶函數 *3. 設有單位向量，它同時與及都垂直，則為（ ） a. b. c. d. 解析： ，應選c。 4. 冪級數的收斂區(qū)間是（ ） a. b. c. d. *5. 按照微分方程通解的

2、定義，的通解是（ ） a. b. c. d. （其中是任意常數） 解析：，故選a。二. 填空題：本大題共10個小題，10個空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線上。 6. 設為連續(xù)函數，則_。 *7. 函數的單調遞減區(qū)間是_。 解析： 當時，故y單調遞減，故單調區(qū)間是（-2，1） 8. 設是的一個原函數，則_。 *9. 設，則_。 解析： *10. 設，其中k為常數，則_。 解析： 11. 設，則_。 *12. 微分方程的通解為_。 解析：方程改寫為，兩邊積分得： 即 13. 點到平面的距離_。 *14. 冪級數的收斂區(qū)間是_（不含端點）。 解析：，收斂半徑 由得：，故收斂區(qū)間是（-3，5

3、） 15. 方程的通解是_。三. 解答題：本大題共13個小題，共90分，第16題25題每小題6分，第26題第28題每小題10分，解答時應寫出推理，演算步驟。 16. 求極限。 *17. 設，求。 解： 所以 *18. 求函數在區(qū)間上的最大值與最小值。 解：函數在處不可導， 令得駐點，求得 于是y在上的最大值為，最小值為 19. 求不定積分。 20. 設由方程確定，求。 21. 若區(qū)域d：，計算二重積分。 *22. 求過三點a（0，1，0），b（1，-1，0），c（1，2，1）的平面方程。 平面方程為： ，即 *23. 判定級數的收斂性。 解：因為是公比的等比級數從而收斂，再考察級數 其中滿足，

4、 由萊布尼茲判別法知收斂，級數收斂。（兩收斂級數之和收斂） 24. 求方程的一個特解。 *25. 證明： 解： 又 由、得： 26. 設為連續(xù)函數，且，求。 *27. 設拋物線過原點（0，0）且當時，試確定a、b、c的值。使得拋物線與直線，所圍成圖形的面積為，且使該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積最小。 解：因拋物線過原點（0，0），有 依題意，如圖所示陰影部分的面積為 該圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為 令，得駐點： 由問題的幾何意義可知，當，從而時，旋轉體的體積最小，于是所求曲線為 *28. 求冪級數的和函數，并由此求級數的和。 解：令，則且有 又 于是【試題答案】一. 1. c不存在。

5、 2. c正確 例：，則在上非奇非偶，但。 3. ，應選c。 4. 故收斂區(qū)間是（-1，1），故選b。 5. ，故選a。二. 6. 7. 當時，故y單調遞減，故單調區(qū)間是（-2，1） 8. 9. 10. 11. 12. 方程改寫為，兩邊積分得： 即 13. 點到平面的距離公式為 所求 14. ，收斂半徑 由得：，故收斂區(qū)間是（-3，5） 15. 特征方程為：，特征根為 通解為三. 16. 解： 17. 解： 所以 18. 解：函數在處不可導， 令得駐點，求得 于是y在上的最大值為，最小值為 19. 解：令，于是 20. 解：令，則 于是， 21. 解：d用極坐標表示為 22. 平面方程為： ，即 23. 解：因為是公比的等比級數從而收斂，再考察級數 其中滿足， 由萊布尼茲判別法知收斂，級數收斂。（兩收斂級數之和收斂） 24. 解：特征方程為，特征值 ，這里不是特征根，可設特解為： 代入原方程并整理得： 解得： 于是 25. 解： 又 由、得： 26. 解：令，則 即 于是 27. 解：因拋物線過原點（0，0），有 依題意，如圖