熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題[教學(xué)應(yīng)用]

1、例4 周期初始溫度分布求解熱傳導(dǎo)方程,給定初始溫度分布。解 .初始高斯溫度分布例 5求解定解問題，其中常數(shù). 解 .3初邊值問題設(shè)長度為,側(cè)表面絕熱的均勻細(xì)桿,初始溫度與細(xì)桿兩端的溫度已知,則桿上的溫度分布滿足以下初邊值問題對于這樣的問題,可以用分離變量法來求解. 將邊值齊次化令再作變換引入新的未知函數(shù),易知它滿足我們先考慮齊次方程,齊次邊界的情形解 設(shè)代入方程這等式只有在兩邊均等于常數(shù)時才成立.令此常數(shù)為,則有 （3.4） （3.5）先考慮（3.5）,根據(jù)邊界條件(3.3),應(yīng)當(dāng)滿足邊界條件 （3.6）情形A： 當(dāng)時,方程（3.5）的通解可以寫成要使它滿足邊界條件（3.6）,就必須由于只能故

2、在的情況得不到非平凡解.情形B： 當(dāng)時,方程（3.5）的通解可以寫成要滿足邊界條件（3.6）,即.也只能恒等于零.情形C： 當(dāng)時,方程（3.5）的通解具有如下形式：由邊界條件知再由可知,為了使就必須于是 （3.7）這樣就找到了一族非零解 （3.8）稱為常微分方程邊值問題的固有函數(shù)（特征函數(shù)）.而稱為相應(yīng)的固有值（或特征值）.將固有值代入方程（3.4）中,可得 （3.9）于是得到一列可分離變量的特解 （3.10）由于方程（3.1）及邊界條件（3.3）都是齊次的,故可利用疊加原理構(gòu)造級數(shù)形式的解 （3.11）其中.由（3.2）,為使在時,取到初值,應(yīng)成立 （3.12）得出. （3.13）得到問題（

3、3.1）（3.3）的解其中,.定理 若則 （3.14）是 的古典解（經(jīng)典解）.證明 由得在上可積.對任意當(dāng)時,成立（任意整數(shù)）又對任意而級數(shù)收斂,所以在上一致收斂.于是，即級數(shù),當(dāng)時,關(guān)于及具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),并且求偏導(dǎo)與求和可以交換.由于級數(shù)的每一項都滿足方程及邊界條件,從而函數(shù)在時,確實滿足方程及邊界條件.再由的任意性,得在時滿足方程及邊界條件,且再證由條件由Bessel不等式,知,從而得到在上一致收斂, 在上一致收斂于,從而得在上連續(xù).于是.3.1初邊值問題解的漸近性態(tài)定理 假設(shè)初始函數(shù)滿足則當(dāng)趨于無窮大時,問題（3.1）（3.3）的唯一的古典解指數(shù)衰減地趨于零,確切地說,當(dāng)時,對一

4、切,其中是一個與解無的正常數(shù).證明 古典解是唯一的,是唯一的古典解,其中在上有界,設(shè),則有當(dāng)時.3.2非齊次方程求解方法齊次化原理考慮非齊次方程.齊次化原理：若是下述問題 （*）的解（其中為參數(shù)）,則是非齊次問題的解.證明 顯然,則滿足.是非齊次問題的解.現(xiàn)在來求問題（*）的解.作變換則問題（*）化為 （*）我們已知問題（*）的解為其中,.于是故是非齊次問題的解.初邊值問題的解為其中,.3.3非齊次初邊值問題的特征函數(shù)展開法 （3.15）方法步驟 把,方程的非齊次項和初值都按照特征函數(shù)系展開：由特征函數(shù)系在區(qū)間上的正交性,可得,.而函數(shù)暫時還是未知的.為確定,把上述展開式問題（3.15）代入方

5、程和初始條件,由特征函數(shù)系的完備性,從而得到適合下列微分方程和初始條件.于是得到從0到積分故非齊次初邊值問題解的表達(dá)式為這與前面的結(jié)果一致.能量衰減估計用乘以方程兩端,在上積分,于是, ,.定理 (Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)在上可積，則有。證明 證法一 對區(qū)間的任意分割：，任取 ，記，；由于成立 ，在上式中，令取極限，則得到 ；證法二 考慮二次函數(shù)，；如果，在上式中取，得到，從而，于是成立；如果，則對，成立 ，必有 ，此時自然成立，。 定理 (Minkowski不等式)設(shè)在上可積，則有.證明 因為，若，則不等式自然成立；若，則消去公因子，所以1. 用Cauchy-Schwarz不等式證明（1） 若f (x)在