2020年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、2020 年北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10 小題，共 40.0 分）1.已知集合 ?= 1, 3， 5 ， ?= ?|(?- 1)(? - 4) ?于 ?若. ?= 4， ?= 60 ，則拋物線 C 的方程為 ()A.2B.2C.22? = 8? = 4? = 2?D.?=?6.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5 種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3 種作為教師“停課不停學(xué)”的教學(xué)工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為 ( )A.22393B. 5C. 5D. 107.在? ?= ? ?= 120 . AB為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C，則該中，若以，雙曲線的離心率為 ( )A

2、. 5B.7C.3+1D. 32228.已知函數(shù) ?(?)=3sin(?- ?)?(? 0) 的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為?，則“?)?=”是“ ?(?)的圖象關(guān)于直線?=對稱”的 (63A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件9.已知函數(shù) ?(?)=2? - 2?+ 2?,? 1,若關(guān)于 x 的不等式 ?(?) 在 R 上恒成立，2?- ?,1.2則實數(shù) a 的取值范圍為 ()A. (- ,2 ?3C.D. 0,2 ?B. 0, 20,210.如圖，在正方體 ?-?1?11 ?1中， M， N 分別是棱 AB ，?的中點(diǎn)，點(diǎn) P 在對角線 ?

3、上運(yùn)動當(dāng)11?的面積取得最小值時，點(diǎn)P的位置是 ( )A.線段1的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)?1?B. 線段 ?1的中點(diǎn)第1頁，共 16頁C. 線段 ?1的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)CD. 線段 ?的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C1二、填空題（本大題共5 小題，共25.0 分）11. 復(fù)數(shù) ?=2 ，則 |?|= _ 1+?12. 已知某三棱錐的三視圖如圖所示， 則該三棱錐的最長棱的長為 _，它的體積為_13.某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機(jī)號只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品規(guī)則如下： ( )搖號的初始中簽率為 0.19 ；( )當(dāng)中簽率不超過 1 時，可借助“好友助力”活動增加

4、中簽率，每邀請到一位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05. 為了使中簽率超過 0.9，則至少需要邀請 _位好友參與到“好友助力”活動?14.已知函數(shù)?(?)= ?.2 數(shù)列 ?滿足 ? = ?(?)+ ?(?+ 1)(? ? ) ，則數(shù)列 ?的前 100項和是 _15.223=數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線， 曲線 C：(? + ?)2 2 被稱為“四葉玫瑰線” ( 如圖所示 ). 給出下列三4?個結(jié)論： 曲線 C 關(guān)于直線 ?= ?對稱； 曲線 C 上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1； 存在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為 2的正方形， 使得曲線 C 在此正方形區(qū)域內(nèi)( 含邊界 ) 其中，正確結(jié)

5、論的序號是_三、解答題（本大題共6 小題，共85.0 分）?16. 在 ?中， ?= ?(?-6)() 求 B；( ) 若?= 5，求 a?從 ?= 7 ，? =這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答4第2頁，共 16頁17. 如圖，在三棱柱 ?-?中，平面 ? 平面 ABC，四邊形 ?是正方1111111形，點(diǎn) D， E 分別是棱 BC， ?的中點(diǎn)， ?=4 ， ?11 = 2， ?= 25；( ) 求證： ?1( ) 求二面角 ?- ?1-?的余弦值；( ) 若點(diǎn) F 在棱 ?1 ?1上，且 ?1 ?1 =4?1 ?，判斷平面 ?1與平面 ?1?是否平行，并說明理由18.某科研團(tuán)隊研

6、發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒 為了解該試劑盒檢測的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū) (人數(shù)眾多 ) 隨機(jī)選取了 80 位患者和 100 位非患者，用該試劑盒分別對他們進(jìn)行檢測，結(jié)果如表：患者的檢測結(jié)果人數(shù)陽性76陰性4非患者的檢測結(jié)果人數(shù)陽性1陰性99( ) 從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對其檢測一次，估計此患者檢測結(jié)果為陽性的概率；( ) 從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取3 人，各檢測一次，假設(shè)每位患者的檢測結(jié)果相互獨(dú)立，以 X 表示檢測結(jié)果為陽性的患者人數(shù)，利用( ) 中所得概率，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望；第3頁，共 16頁( ) 假設(shè)該地區(qū)有10 萬人，患病率為0.01. 從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑

7、盒對其檢測一次若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.5？并說明理由2222219. 已知橢圓 ?：?+?22= 1(? ? 0) ，圓 O：? + ? = ?(?為坐標(biāo)原點(diǎn) ). 過點(diǎn) (0, ?)?且斜率為 1 的直線與圓 O 交于點(diǎn) (1,2) ，與橢圓 C 的另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 -85( ) 求橢圓 C 的方程和圓 O 的方程；( ) 過圓 O 上的動點(diǎn) P 作兩條互相垂直的直線，?，若直線 ?的斜率為 ?(? 0) 且?211與橢圓 C 相切，試判斷直線?與橢圓 C 的位置關(guān)系，并說明理由?12? ?+120. 已知函數(shù) ?(?)= ? - ?-1( ) 求曲線 ?=

8、?(?)在點(diǎn) (0, ?(0)處的切線方程；( ) 判斷函數(shù) ?(?)的零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；( ) 設(shè)?0是 ?(?)的一個零點(diǎn)，證明曲線?= ?在點(diǎn) (?0, ?0 ) 處的切線也是曲線 ?=?的切線21. 設(shè)數(shù)列 A：?1，?， ， ?的各項均為正整數(shù)，且?1 ?2 ? ?.若對任2?(? 3)意 ?3,4， ， ?，存在正整數(shù) i， ?(1 ? ? ?)使得 ? = ?+ ?，則稱數(shù)列 A? ?具有性質(zhì) T124，7123，6是否具有性質(zhì)T( ) 判斷數(shù)列 ?1： ，與數(shù)列 ?：，； ( 只需寫出2結(jié)論 )( ) 若數(shù)列 A 具有性質(zhì) T，且 ? = 1，? =2，? =200 ，求

9、 n 的最小值；2312?，且?= ?( ) 若集合 ?= 1,2019， ，2020= ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6?任意 i ，?1, 2， ，6 ，? ?)求.證：存在?，使得從?中可以選取若干元素(可重?復(fù)選取 ) 組成一個具有性質(zhì)T 的數(shù)列第4頁，共 16頁第5頁，共 16頁答案和解析1.【答案】 C【解析】 解：集合 ?= ?|(?- 1)(?- 4) 0 時， ?= 2 ?是增函數(shù)，故D 對故選： D根據(jù)冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、以及二次函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律和奇偶性的定義判斷即可本題考查奇偶性、單調(diào)性的定義與性質(zhì)，注意轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題3.【答案】 A【解析】解：設(shè)公比為

10、q，由? =1，? =-8 可得 ?= -2 ，前 6 項和1-(-2)6，?6= -21141+2故選： A先由 ?1= 1，?4 = -8求出公比 q，再代入前 n 項和公式求和本題主要考查等比數(shù)列基本量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】 B【解析】 解： ?中，點(diǎn)D，E滿足?，?= 2 ?= 3 ? ?1? 1?1?1 ?1? 1?，?=+?= 2+ 3?=2 (?-) -3?= -2+ 6?又?，? ?+ ?= ?(?,?)?=1-?=1 2，6111?+ ?= -2 +6 = -3 故選： B? ? ? ? ?用在 ?中，?，因為，?通過轉(zhuǎn)化的思想， 將= 2 ?= ?+ ?= 3 ?.

11、和 ?表示，求出 x 和 y 的值，計算即可本題主要考查平面向量的基本定理，屬基礎(chǔ)題，解題時需認(rèn)真審題，注意向量線性運(yùn)算的合理性5.【答案】 B第6頁，共 16頁【解析】 解：如圖所示，由拋物線的定義可知，?= ?= 4， ?= 60 ， ?為等邊三角形，?= 4， ?= 60 ，?， ?/?軸， ?= ?= 60 ，?1?60= 即2=，?= 2，?4拋物線的方程為2? = 4?，故選： B由拋物線的定義可知，?= ?= 4 ，從而確定 ?為等邊三角形， 于是得到 ?= 4， ?= 60 ，再結(jié)合平行關(guān)系和三角函數(shù)即可求得p 的值，進(jìn)而得解本題考查拋物線的方程、定義與幾何性質(zhì)，熟練運(yùn)用拋物線

12、的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的觀察力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題6.【答案】 D【解析】 解：甲、乙、丙、丁、戊5 種在線教學(xué)軟件，某學(xué)校要從中隨機(jī)選取3 種作為教師“停課不停學(xué)”的教學(xué)工具，基本事件總數(shù)3?= ?= 10，533甲、乙、丙至多有 2 種被選取包含的基本事件個數(shù)，?= ?-?=9532 種被選取的概率?=?9則其中甲、乙、丙至多有?= 10 故選： D基本事件總數(shù)3= 10，甲、乙、丙至多有2 種被選取包含的基本事件個數(shù)3?= ?= ? -3552種被選取的概率?3 = 9 ，由此能求出其中甲、乙、丙至多有本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是

13、基礎(chǔ)題7.【答案】 C【解析】 解：設(shè) ?= ?= 2 ，取 AB 的中點(diǎn)為 O，由題意可得雙曲線的一條漸近線為直線 OC，在三角形 OBC 中，1?= - 2，?=2+ 2213，- 222(- ) = 22所以23- 2=， 2?= 2，2?第7頁，共 16頁?13+1所以雙曲線的離心率為：?= 3-1 =2故選： C設(shè) ?= ?= 2 ，取 AB 的中點(diǎn)為 O，由余弦定理可得AC，通過雙曲線的定義，求解離心率即可本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題8.【答案】 A【解析】 解：函數(shù) ?(?)= 3sin(?- ?)?(? 0) 的圖象上相鄰兩個最

14、高點(diǎn)的距離為?，2? ? = ?，解得 ?= 2?2?(?)的圖象關(guān)于直線?=對稱，sin(2? - ?)= 1，解得-?= ?+ (?)332，?解得 ?= -?+ 6 (?)?則“ ?= 6 ”是“ ?(?)的圖象關(guān)于直線?= 3 對稱”的充分不必要條件故選： A?，可得2?函數(shù) ?(?)= 3sin(?-?)?(? 0) 的圖象上相鄰兩個最高點(diǎn)的距離為? = ?，?解得 ?= 2.根據(jù) ?(?)的圖象關(guān)于直線?=對稱，可得 sin(2? -?)= 1，解得 ?，即可3判斷出結(jié)論本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、 簡易邏輯的判定方法， 考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9.【答案】 C2【

15、解析】 解： (1) 當(dāng)? 1 時， ?(?)= ? - 2?+ 2?，?(?)的對稱軸為 ?= ?，開口向上 當(dāng) ? 1時， ?(?)在 (- ,?)遞減， (?,1) 遞增，當(dāng) ?= ?時， ?(?)有最小值，即 ?(?)= -?2? ?1 時， ?(?)=2?-?，? (?)=2- ?=? ，當(dāng) ? 0 時， ? (?)0 ， ?(?)在 (1, +)上遞增，?(?)?(1) = 2 ， ? 4， 此時 ? 0；2?當(dāng)0 2 1，即 0 ? 2時， ?(?)在 (1, +)上遞增，同理可得0 1(1,?(?當(dāng)2，即 ? 2時， ?(?)在2)遞減，2,+)遞增，第8頁，共 16頁?(?)

16、 ?( ) = ?- ?，222ln ? 1 ，解得 2 1時， ? 2 ?；關(guān)于 x 的不等式?(?)?2在 R 上恒成立，0 ? 2，故選： C22?+ 2?，分? 1當(dāng) ? 1時，?(?)= ? -時， ?(?)= 2?-?，分? 0、 0 2三類討論，可求得；取其? 2?公共部分即可得到答案本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，著重考查分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力和推理能力，屬于難題10.【答案】 B【解析】 解：以 A 為原點(diǎn)，ABxADy為為為軸，?1軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體 ?-? ?1111中棱長為1， P 為?上的動1點(diǎn)

17、，設(shè) ?(?,?,1 - ?)，其中 0 ?111 ， ?(2 , 0,0) ， ?(1,0， 2) ，|?|= (?-12+222)?+ (1 -?) =25， 3?3?+4-| (?-1)22?-12=+?+(1-2)253?+， 3?-4|?|= |?|， ?為等腰三角形，底邊|?|=2 ，2設(shè)底邊MN 上的高為 h，則有2(|?|221? = |?| -2)= |?|-82512+1， ?=1時?的面積取得最小值，3? -3?+ 4 = 3(?-2)22此時 P 為?的中點(diǎn)1故選： B以 A 為原點(diǎn)， AB 為 x 軸， AD 為 y 軸， ?為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

18、1能求出 ?的面積取得最小值時，P 為 ?的中點(diǎn)1本題考查點(diǎn)的位置瓣判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題11.【答案】 2第9頁，共 16頁【解析】 【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計算公式即可得出本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的計算公式，屬于基礎(chǔ)題【解答】解： 復(fù)數(shù)?=22(1-?)=2(1-?)=1-?=1+?(1+?)(1-?)222|?|= 1 + (-1)= 2故答案為： 212.【答案】 5 4【解析】 解：由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為三棱錐?- ?，底面三角形ABC 為等腰直角三角形，?= ?= 22 ，高 ?= 3 最長棱為

19、?= 32 + 4 2 = 5 ，體積 ?= 13 12 22 2 2 3 = 4故答案為： 5； 4由三視圖還原原幾何體， 可知該幾何體為三棱錐 ?- ?，底面三角形 ABC 為等腰直角三角形， ?= ?= 22，高 ?= 3.再由勾股定理求最長棱的長，由棱錐體積公式求體積本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題13.【答案】 15【解析】 解：某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個手機(jī)號只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品規(guī)則如下：( )搖號的初始中簽率為0.19 ；( )當(dāng)中簽率不超過1 時，可借助“好友助力”活動增加中簽率，每邀請到一

20、位好友參與“好友助力”活動可使中簽率增加0.05 為了使中簽率超過0.9，設(shè)至少需要邀請n 位好友參與到“好友助力”活動，則 0.19 + 0.05? 0.9 ，解得 ? 14.2 為了使中簽率超過0.9 ，則至少需要邀請15 位好友參與到“好友助力”活動故答案為： 15為了使中簽率超過0.9，設(shè)至少需要邀請n 位好友參與到“好友助力”活動，則0.19 +0.05? 0.9，由此能求出結(jié)果本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題14.【答案】 100【解析】 解：由題意，當(dāng)?= 4?- 3， ?時，?(?)+ ?(?+ 1) + ?(?+ 2) + ?

21、(?+ 3)第10 頁，共 16頁= ?(4?-3) + ?(4?-2) + ?(4?- 1) + ?(4?)= (4?-(4?-3)?2) ?cos(4?- 2)?(4?- 1)?3) ?cos2+ (4?-+ (4?- 1) ?cos+ 4?224?cos2= (4?-3) ?0 + (4?-2) ?(-1)+(4?-1) ?0 + 4?1= 2設(shè)數(shù)列 ? 的前 n 項和為 ?，則?= ?+ ?+ ?+ ? + ?+ ?10012399100=?(1) + ?(2) + ?(2) + ?(3) + ?(3) +?(4) + ? + ?(99) + ?(100) + ?(100)+?(101

22、)=2 ?(1) + ?(2) +? + ?(99) + ?(100) + ?(101) - ?(1)=2(2+2+?+2)+0- 0= 2225= 100故答案為：100本題先根據(jù)余弦函數(shù)的周期性可計算出當(dāng)?= 4?- 3，?時，?(?)，?(?+ 1) ，?(?+2) ，?(?+3) 連續(xù)四項和的值，可發(fā)現(xiàn)為固定值2，然后設(shè)數(shù)列 ? 的前 n 項和為 ?，?然后 ?= ?1 + ?2 + ?3 + ? + ?99 + ?100代入 ?100?= ?(?)+ ?(?+ 1) 進(jìn)行整理轉(zhuǎn)化，利用周期性得到的規(guī)律即可計算出結(jié)果本題主要考查數(shù)列的三角函數(shù)的綜合問題考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，余弦

23、函數(shù)的周期性的應(yīng)用，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力本題屬中檔題15.【答案】 【解析】 解：對 ，用 (-?, -?) 替換方程中的 (?,?)，方程形式不變，所以曲線C 關(guān)于直線 ?= ?對稱，正確；223=22對 ，設(shè)點(diǎn) ?(?,?)是曲線上任意一點(diǎn)，則 (?+ ?)4? ?，則點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離為22 ，+ ? ?2222322? +?222(由 (?+ ?)= 4? 42)，解得 ? + ? 1，正確；對 ，由 可知，包含該曲線的以原點(diǎn)為圓心的最小的圓的半徑為1，所以最小圓應(yīng)該是包含該曲線的最小正方形的內(nèi)切圓，即正方形的邊長最短為2，所以不正確；故答案為： 根據(jù)曲線的方程以及圖象逐個判斷

24、3個結(jié)論即可得出本題主要考查函數(shù)曲線的性質(zhì)應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和分析能力，屬于中檔題16.【答案】 解： ( )在 ?中，由正弦定理得?=?=?，得，?又 ?=?(?-6).?=?cos(?-?3?(?-)，即 ?=6) =?+?=?+666212 ?，?= 3 ，又 ?(0, ?)，第11 頁，共 16頁?= 3 ( )若選 ?= 72222，則在 ?中，由余弦定理 ?= ? + ? - 2?，可得? - 5?-24 = 0 ，解得 ?=8 ，或 ?= -3(舍去 ) ，可得 ?=8若選 ? =?=6+ 2，則 ?= sin(? + ?)=sincos4+ cos3sin4443?52 =5 3+5由正弦定理=6+2，解得?=，可得 ?422?= ?(?-B【解析】 ( )由正弦定理得 ?