史上最全初三數(shù)學二次函數(shù)知識點歸納總結(jié)（經(jīng)典實用）

1、二次函數(shù)知識點歸納及相關(guān)典型題第一部分 基礎(chǔ)知識1.定義：一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì)（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系. 當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù) 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. 的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相

2、同. 平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口

3、大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè). （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸. 以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時開口向上當時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0, )(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）一般式：.已知圖像上三

4、點或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與軸的交點 二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離. （4）平行于軸的直線與拋物線的交點 同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2

5、個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根. （5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點. （6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故第二部分 典型習題.拋物線yx22x2的頂點坐標是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0 第,題圖 第4題圖.二次函數(shù)的圖象如圖

6、所示，則下列結(jié)論正確的是（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設(shè)E到BC的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（ ）.拋物線與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為 4 6.已知二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標為、（），則對于下列結(jié)論：當x2時，y1；當時，y0；方程有兩個不相等的實數(shù)根、；，；，其中所有正確的結(jié)論是（只需填寫序號）7.已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線上，試確定這條拋物線的解

7、析式；（2）過點B作直線BCAB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線的解析式.解：（1）或 將代入，得.頂點坐標為，由題意得，解得.（2）8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時, 相應(yīng)的輸出值分別為5,（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當輸出值為正數(shù)時輸入值的取值范圍. 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即 ,解得故所求的解析式為:.（2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當輸出值為正數(shù)時，輸入值的取值范圍是或第9題9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫

8、會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖請根據(jù)圖象回答：第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間? 第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到 22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解 析式解：第一天中，從4時到16時這頭駱駝的體溫是上升的 它的體溫從最低上升到最高需要12小時第三天12時這頭駱駝的體溫是39 10.已知拋物線與x軸交于A、 B兩點，與y軸交于點C是否存在實數(shù)a，使得ABC為直角三角形若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由解：依題意

9、，得點C的坐標為（0，4） 設(shè)點A、B的坐標分別為（，0），（，0）， 由，解得， 點A、B的坐標分別為（-3，0），（，0） ， ，當時，ACB90 由， 得 解得 當時，點B的坐標為（，0）， 于是 當時，ABC為直角三角形當時，ABC90由，得解得當時，點B（-3，0）與點A重合，不合題意當時，BAC90由，得解得不合題意綜合、，當時，ABC為直角三角形11.已知拋物線yx2mxm2. （1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且 MNC的面積等于27，試求m的值.解: (1)（x

10、1，0）,B(x2，0) . 則x1 ，x2是方程 x2mxm20的兩根.x1 x2 m , x1x2 =m2 0 即m2 ;又ABx1 x2 , m24m3=0 . NMCxyO解得：m=1或m=3(舍去) , m的值為1 . （2）M(a，b)，則N(a，b) . M、N是拋物線上的兩點, 得：2a22m40 . a2m2 .當m2時，才存在滿足條件中的兩點M、N. .這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為, 又點C坐標為（0，2m）,而SM N C = 27 ,2（2m）=27 .解得m=7 . 12.已知：拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；（2）D是拋物

11、線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為52的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使APE的周長最小?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由解法一：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x2 拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）， 由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）（2） 拋物線與x軸的一個交點為A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點C在拋物線 上， C（4，3a）

12、 AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， a1 所求拋物線的解析式為或（3）設(shè)點E坐標為（，）.依題意， 且 設(shè)點E在拋物線上，解方程組 得 點E與點A在對稱軸x2的同側(cè)， 點E坐標為（，）設(shè)在拋物線的對稱軸x2上存在一點P，使APE的周長最小 AE長為定值， 要使APE的周長最小，只須PAPE最小 點A關(guān)于對稱軸x2的對稱點是B（3，0）， 由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x2的交點設(shè)過點E、B的直線的解析式為， 解得 直線BE的解析式為 把x2代入上式，得 點P坐標為（2，）設(shè)點E在拋物線上， 解方程組 消去，得 0 . 此方程無實數(shù)根綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（2，），使AP

13、E的周長最小解法二：（1） 拋物線與x軸的一個交點為A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且點C在拋物線上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面積為9， 解得OD3 a1 所求拋物線的解析式為或（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x2的交點 如圖，過點E作EQx軸于點Q設(shè)對稱軸與x軸的交點為F由PFEQ，可得 點P坐標為（2，）以下同解法一13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點

14、Q當點N在線段BM上運動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍； （3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（4）將OAC補成矩形，使OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標（不需要計算過程）解：（1）設(shè)拋物線的解析式， 其頂點M的坐標是 （2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為，點N的坐標為N（t，h）， 解得， 線段BM所在的直線的解析式為 ，其中 s與t間的函數(shù)關(guān)系式是，

15、自變量t的取值范圍是（3）存在符合條件的點P，且坐標是，設(shè)點P的坐標為P，則，分以下幾種情況討論：i）若PAC90，則 解得：，（舍去） 點ii）若PCA90，則 解得：（舍去） 點iii）由圖象觀察得，當點P在對稱軸右側(cè)時，所以邊AC的對角APC不可能是直角（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此時未知頂點坐標是點D（1，2）， 以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標是E，F(xiàn) 圖a 圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，1）求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x

16、軸的交點的個數(shù)解：根據(jù)題意，得a21. a1 這個二次函數(shù)解析式是因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點坐標是（0，2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面111000的比例圖上，跨度AB5 cm，拱高OC0.9 cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DEAB，如圖（1）在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1 cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如圖（2） （1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域； （2）如果DE與AB的距離OM0.45 cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果精確到1

17、米）解：（1）由于頂點C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為 因為點A（，0）（或B（，0）在拋物線上， 所以，得因此所求函數(shù)解析式為 （2）因為點D、E的縱坐標為， 所以，得 所以點D的坐標為（，），點E的坐標為（，）所以因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為 （米）16.已知在平面直角坐標系內(nèi)，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖二次函數(shù)（a0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C（1）a、c的符號之間有何關(guān)系?（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b4，求a、c的值解:（1）a、c同號 或當a0時，c0；當a0時，c0（2）證明：設(shè)點A的坐標為（，0），點B的坐標為（，0），則 ， 據(jù)題意，、是方程的兩個根 由題意，得，即 所以當線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時，a、c互為倒數(shù)（3）當時，由（2）知， a0解法一：ABOBOA， ， 得 c2. 解法二：由求根公式， ， ， ，得 c217.如圖，直線分別與x軸、y軸交于點A、B，E經(jīng)過原點O及A、B兩點（1）C是E上一點，連結(jié)BC交OA于點D，若CODCBO，求點A、B、C的坐標；（2）求經(jīng)過O、C、A三點的拋物線的解析式：（3）若延長BC到P，使DP2，連結(jié)AP