藝體沖刺ai第22講等比數(shù)列學(xué)生

1、 第22講等比數(shù)列 玩前必備 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 定義： 如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù) (不為零)，那么這個(gè)數(shù)列 就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，叱 =q. an 說(shuō)明：等比數(shù)列中沒(méi)有為 0的項(xiàng)，其公比也不為 0. 等比中項(xiàng)： 如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).即: G是a與b的等比中項(xiàng)？ a, G, b 成等比數(shù)列？ G2= ab? G= ab . 說(shuō)明：任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)， 但與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng).兩 個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù). 2.等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)

2、通項(xiàng)公式：an= a1qn (2)前n項(xiàng)和公式：3 = n a1, q = 1, a1 (1 qn) a1 anq =,q 工 1 q1 q 3.等比數(shù)列的性質(zhì) 已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.(m, n, p, q, _ * r, k N ) (1)若 m+ n = p+ q = 2r，貝U am an= ap aq= a2; 玩轉(zhuǎn)典例 題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 例1(1) (2017新課標(biāo)川)設(shè)等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1 a2 1 , 3玄33，則玄4 = (2017北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列 bn滿(mǎn)足4 b11, a4b4 8, 則 a2=. b2 39 例2已知等比數(shù)列an的

3、前n項(xiàng)和為Sn, a3 = ?, S3= ?,則公比q =() 1 1 1 A. 1 或2 B. 2C. 1D. 1 或 2 第1頁(yè)共7頁(yè) 天幕數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)跟蹤 1. （2015安徽）已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，印a49,a2a38，則數(shù)列a.的 前n項(xiàng)和等于. 2. （2015新課標(biāo)全國(guó)I, 13）在數(shù)列an中，ai = 2, an+1 = 2an, Sn為an的前n項(xiàng) 和若 Sn = 126，貝U n =. 3. （北京）若等比數(shù)列 an滿(mǎn)足a2 a4=20, a? a5 =40，則公比q=；前n項(xiàng)和 Sn =. 4.（天津）設(shè)an是首項(xiàng)為a1,公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和.若S1

4、, S2, S4成等比 數(shù)列，貝V a1的值為. 題型二等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 例3已知an為等比數(shù)列. （1）若 an0, a2a4 + 2a3a5+ a4a6= 25, 求 a3 + a5； （2）若 an0, a5a6 = 9，求 Iog3a1+ log3a2+ log3a10 的值. 玩轉(zhuǎn)跟蹤 1. （廣東）等比數(shù)列 an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 a1a5 4，則 log2 a1+log 2 a2 +log 2a3+log 2 a4 +log 2 a 二. 1 2.（新課標(biāo)全國(guó)U, 9）已知等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1 = 4，a3a5= 4 1）,則a2 =（） 1 1 A.2B.1C.qD.8 題

5、型三等比數(shù)列綜合應(yīng)用 例4（四川，16）設(shè)數(shù)列an（n= 1, 2, 3,）的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn= 2an a1, 且a1, a2 + 1, a3成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 1 （2）設(shè)數(shù)列一的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求Tn. 例5( 2019全國(guó)2卷理19)已知數(shù)列偸和bn滿(mǎn)足ai=1,bi=0,4an13anbn4 , 4bn 13 bn an 4. (1 )證明：an + bn是等比數(shù)列，an -bn是等差數(shù)列； (2)求 an和 bn的通項(xiàng)公式. 玩轉(zhuǎn)跟蹤 1.(北京，15)已知an是等差數(shù)列，滿(mǎn)足a = 3, a4= 12,數(shù)列bn滿(mǎn)足b1 = 4, b4 =20,且bn

6、an為等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式； 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和. 2.(福建，17)在等比數(shù)列an中，a2= 3, a5 = 81. (1)求 an； 設(shè)bn= log3an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Si. 玩轉(zhuǎn)練習(xí) 1 2 1.（ 2019全國(guó)1理14）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a, a4 a6，則 3 S5=. 2. （2019全國(guó)3理5）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)為和為15,且as=3a3+4a1, 則a3= A. 16B. 8C. 4D. 2 3. （2018北京）十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比 例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了

7、重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依 次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比 都等于12 2 .若第一個(gè)單音的頻率為 f，則第八個(gè)單音的頻率為 A. 3 2fB. 3 2 fC. 12 25 fD. 12 27 f 4. （2017新課標(biāo)n）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題: 遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅 光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈? ”意思是：一座7層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層共有燈 A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞 5. （2015新課標(biāo)n）等比數(shù)列an滿(mǎn)足印

8、 a3 a521，則 a3 a5 a7 = A. 21 B. 42 C. 63 D. 84 6.（大綱全國(guó)，8）設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為 Sn.若 S2= 3 , S4= 15,則 S6 =( A.31 B.32 C.63 D.64 7. （2017江蘇）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù), 其前n項(xiàng)的和為Sn,已知S3 63 4， 則 a8= &（2016年浙江）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn .若S? 4 , an 1 2Sn 1 , n N*，則 a1 =一 ,S5 = 9. （2015安徽）已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1 a4 9,a2a3 8，則數(shù)列a.的 前n項(xiàng)和等于 10.已知等差數(shù)

9、列an滿(mǎn)足a2= 2, a5= 8. (1)求an的通項(xiàng)公式； 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 bn中，bl= 1 , b2+ b3= a4,求bn的前n項(xiàng)和Tn. 11.(2018全國(guó)卷川)等比數(shù)列an中，ai 1, a5 4a3 . 求an的通項(xiàng)公式； 記Sn為an的前n項(xiàng)和.若Sm 63，求m . a 12. (2018全國(guó)卷I)已知數(shù)列an滿(mǎn)足a, 1, na. 1 2(n 1總，設(shè)g -. n (1)求 b1, b2, b3 ； 判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由； (3) 求an的通項(xiàng)公式. 13. (2017北京)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列 bn滿(mǎn)足a1 d 1, a? a4 10 , db4 a5. (I)求an的通項(xiàng)公式； (n)求和：bi b3 b5 K b2n 1 . 第7頁(yè)共7頁(yè) 天幕數(shù)學(xué) 14.(2016新課標(biāo)全國(guó)I,17)已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿(mǎn)足 1 匕二1 , b2= 3， anbn 1 bn 1 ng, 求an的