定積分北師大版選修

1、定積分的背景面積 與路程問題 高二數(shù)學(xué)選修2-1第四章定積分 以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計算？以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計算？ 探究點2 估計曲邊梯形的面積 我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓 的方法 (即“以直代曲”的思想 ) 計算出了圓的面積，能否也用直 邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方 法求陰影部分的面積呢？ 割圓術(shù)割圓術(shù) 一、定積分問題舉例 ?曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間 a,b上非負(fù)、連續(xù).由直線x?a、x?b、 y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱 為曲邊. 1.曲邊梯形的面積 問題1 圖中陰影部分由拋物線，直線 及 x軸圍成的平面圖形，試估計這個

2、曲邊梯形的 面積 S。 2 xy?1?x x o y 1 2 xy? x o y 1 (1) 將區(qū)間0，1平均分成 5 份，如圖所示。 1 S 圖 (1) 中，所有小矩形面積之和顯然大于所 求曲邊梯形的面積，我們稱為 S 的過剩估計值， 則有 1 S 1 S 44. 02. 0)18. 06. 04. 02. 0( 22222 1 ?S x o y 1 (2) 圖 (2) 中，所有小矩形面積之和顯然小于所 求曲邊梯形的面積，我們稱為 S 的不足估計值， 則有 1 s 1 s 1 s 24. 02. 0)8. 06. 04. 02. 00( 22222 1 ?s x o y 1 (3) 我們可以

3、用或近似表示 S，但是都存在 誤差，二者之差為，但是無論是用還 是來表示曲邊梯形的面積， 誤差都不會超過 0.2 ， 如圖(3)所示。 1 S 1 s 2. 0 11 ? sS 1 S 1 s x o y 1 (4) 為減小誤差，我們將區(qū)間 0，110等分，則 所求面積的過剩估計值為 385. 01. 0)12. 01. 0( 222 ? 2 S 285. 01. 0)9. 02. 01. 00( 2222 ? 2 s 不足估計值為 二者的差值為，此時，無 論用還是來表示 S，誤差都不超過0.1。 1. 0 2 ? 2 sS 2 S 2 s 區(qū)間分的越細(xì)，誤差越小。當(dāng)所 分隔的區(qū)間長度趨于 0

4、，過剩估計值 和不足估計值都趨于曲邊梯形面積。 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和

5、與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時， 矩形面積和與曲邊梯形面

6、積的關(guān)系 學(xué)習(xí)目 標(biāo)： 當(dāng)分割點無限增多時，小矩形的面積和 =曲邊梯形的面積 概括 前面，我們通過“以直代曲”的逼近方法解決了求 曲邊梯形的面積的問題，它們的步驟： 分割區(qū)間 過剩估計值 不足估計值 逼近所求面積 所分區(qū)間長度 0 估計值所求值 練一練： 求曲線y=x 3與直線x=1,y=0所圍成的平面圖 形的面積的估計值，并寫出估計誤差 .（把區(qū)間 0 ，1 5等分來估計） 解析 把區(qū)間 0，1 5等分，以每一個小區(qū)間 左右端點的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足 估計值和過剩估計值，如下： 估計誤差不會超過- =0.2 探究點3 估計變速運動的路程 已知勻速運動物體的速度 v和運動的時間t,

7、我們可以求出它走過的路程 s=vt ,那么如何求非 勻速運動的物體走過的路程呢？ 問題2想象這樣一個場景：一輛汽車的司機猛踩剎車， 汽車滑行5 s后停下，在這一過程中，汽車的速度 v （單位：m/s )是時間 t 的函數(shù)： 請估計汽車在剎車過程中滑行的距離 s . 分析：由已知，汽車在剛開始剎車時的速度是 v(0)=25m/s,我們可以用這個速度來近似替代汽車在 這段時間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離： s=255=125(m) 但顯然，這樣的誤差太大了 . 為了提高精確度，我們可以采用分割滑行時間的方法 來估計滑行距離. 首先，將滑行的時間 5s平均分成5份. 我們分別用v(0),v(1)

8、,v(2),v(3),v(4) 近似替代汽車在 01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速度， 求出滑行距離s1： 由于v是下降的，所以顯然s1大于s,我們稱它為汽 車在5 s內(nèi)滑行距離的過剩估計值 . 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分別近似替代汽車 在01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速 度，求出汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值： 不論用過剩估計值s1還是不足估計值 表示s， 誤差都不超過： 要對區(qū)間多少等分時，才能保證估計誤差小于0.1？ 為了得到更加精確的估計值，可以將滑行時間分 得更細(xì)些，因為我們知道，滑行時間的間隔越小， 用其中一點的速度代替這段

9、時間內(nèi)的平均值，其 速度誤差就越小. 比如，將滑行時間 5s平均分成10份. 用類似的方法得到汽車在 5s內(nèi)滑行距離的過剩估 計值s2： 結(jié)論滑行時間等分得越細(xì)，誤差越小 .當(dāng)滑行時間 被等分后的小時間間隔的長度趨于 0時，過剩估計值 和不足估計值就趨于汽車滑行的路程 . 汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值： 無論用s2還是 表示汽車的滑行距離 s，誤差都不超過 變式練習(xí)變式練習(xí) 汽車作變速直線運動，在時刻 t的速度為的速度為 v(t)=-t 2+2,（單位：km/h),那么它在0t1(單 位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程 s是多少？（將行駛 的時間1h平均分成10份） 解析 分別用v(0)， v(

10、0.1)， v(0.2)， v(0.9)近似替代汽車在00.1h，0.10.2h， 0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽車 在1h時行駛的路程的過剩估計值 = v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+ +v(0.9) 0.1 =1.715(km). 分別用v(0.1)，v(0.2) ，v(0.3) ， v(1)近似替代近似替代 汽車在00.1h，0.10.2h， 0.8 0.9h,0.9 1h的平均速度，求出汽車在 1h時行駛的路程的不足 估計值 = v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+v(1) 0.1 =1.615(km) 無論用 還是 估計汽車行駛的路程 s,估計誤差都

11、不會 超過1.715-1.615=0.1 （km） 1.1.曲邊梯形的定義：曲邊梯形的定義： 分割區(qū)間 過剩估計值 不足估計值 逼近所求值 2.求面積和路程問題的步驟：求面積和路程問題的步驟： 我們把由直線 x = a，x = b (a b)，y = 0和曲 線 y = f(x) 所圍成的圖形叫作曲邊梯形 . 回顧本節(jié)課你有什么收獲？回顧本節(jié)課你有什么收獲？ 第四章 定積分的定義 求由連續(xù)曲線y?f(x)對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2)取近似求和:任取xi?xi?1, xi，第i個小曲邊梯形的面積用高為 f(xi)而寬為Dx的 小矩形面積f(xi)Dx近似之。 (3)取極限:

12、，所求曲邊梯形的面積S為 xi y=f(x) x y O ba xi+1 xi 1 lim( ) n i n i Sfxx ? ? ?D ? 1 ( ) n i i Sfxx ? ?D ? (1)分割:在區(qū)間0,1 0,1 上等間隔地插入n-1個點,將它等分成 n個小區(qū)間: ? ? 11211 , iin a xx xxxxb ? LL nniin xfxfxfxfSD?D?D?D?)()()()( 2211 xxxx 如果趨近于0（亦即）時,上述和式 無限的趨近某個常數(shù)A（即曲邊梯形面積）.稱A是 i xD?n 函數(shù)在區(qū)間上的定積分.)( xfy ? , ba nniin xfxfxfxfS

13、D? ? ?D? ? ?D?D?)()()()( 2211 xxxx 其中， 叫作積分號， 叫作積分的下限， 叫作積分 ab ? 的上限，叫作被積函數(shù)， 叫作積分變量，) (x fx , ba 叫作積分區(qū)間. 記作,即() b a fx dx ? ? A () b a fx dx ? 一、基本概念 二、概念說明 （1）.定積分是一個常數(shù)，即時，( ) b a f x dx ? ?n n S 無限接近的常數(shù)A,而不是. n S （2）.用定義求積分的一般方法是： 分割近似代替求和取極限 （3）. 曲邊梯形面積： 變速運動路程： ? ? b a Sfx dx? ? 2 1 ( ) t t Sv t

14、 dt? ? 定積分是一個數(shù)值,它只與被積函數(shù)及積分區(qū) 間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即 ? b a f(x)dx ? b a f (t)dt ? ? b a f(u)du 。 三、定積分的幾何意義 ： Ox y ab y?f (x) ? b a f (x)dx ? c a f (x)dx? ? b c f (x)dx。 x?a、x?b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)?0 時，積分 dxxf b a )( ? 在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) a?b時，有 ? b a f (x)dx ?0。 當(dāng)f(x)?0時，由y?f (x)、x?a、x?b 與 x 軸所圍成的 曲

15、邊梯形位于 x 軸的下方， x y O dxxfS b a )(? ? ? ， dxxf b a )( ? ab y?f (x) y?f (x) dxxfS b a )(? ? ? b a f (x)dx ? c a f (x)dx? ? b c f (x?S 上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義： 積分? b a f (x)dx在幾何上表示 ? b a f (x)dx ? c a f (x)dx? ? b c f (x)dx。 ?S ,0)(?xf( ) b a f x xA? ? d曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 ,0)(?xf d ( ) b a f x xA? ? 曲邊梯形的面積的

16、負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值 1234 ( ) b a f xxAAAA? ? d? 即： 3 A 4 A 2 A 1 A ? ab y x O 例：說明下列定積分所表示的幾何意義，并根據(jù) 其意義求出定積分的值. (1) ? 1 0 2dx (2) (3) ? 2 1 xdx ; ; dxx ? ? ? 1 1 2 1 . ; o y x 2?y 1 解（1）：? 1 0 2dx 中所示長方形的面積， 表示的是圖 由于這個長方形的面 積為2.所以 22 1 0 ? ? dx 2 o y x xy ? 1 解（解（2）：）： 中所示梯形的面積， 表示的是圖表示的是圖 由于這個梯形的面 所以 ? 2

17、1 xdx 1 2 2 積為. 2 3 ? 2 1 xdx? 2 3 o 解（3）： 半徑為1的半圓的面 表示的是圖中所示 由于這個半圓 所以 o y x 1-1 1 dxx ? ? ? 1 1 2 1 的面積為. 2 ? ? dxx ? ? ? 1 1 2 1 2 ? 2 1xy? 積， 成立。 說明等式利用定積分的幾何意義0sin 2 2 ? ? ? xdx ? ? 例 2： 解： 所以 并有上，在 上，上連續(xù)，且在，在 在右圖中，被積函數(shù) , , 0sin 2 0 , 0sin 0 2 22 sin)( 21 AA xx xxf ? ? ? ? ? ? 0)( 12 2 2 ? ? ?

18、AAdxxf ? ? 2 ? ? 2 ? 2 A 1 A x y f(x)=sinx 1 -1 四、定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1. dx)x(g)x(f b a ? ? ? ? b a b a dx)x(gdx)x(f 性質(zhì)2. ? b a dx)x(kf ? ? b a dx)x(fk abdx b a ? ? 1 性質(zhì)3. ab a b y?f (x) Ox y 1 ) b a Sfdx? ? ( )yg x? 2 ( ) b a Sg x dx? ? 12 ( )( ) bb aa S S Sf xdxg xdx? ? 三: 定積分的基本性質(zhì) 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性 ? ? b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)4. ? ? 2 12 1 c c b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f 思考：從定積分的幾何 意義解釋性質(zhì) ab y=f(x) ? b a f (x)dx ? c a f (x)dx? b c f (x)dx。 b a f (x)dx ? c a f (x)dx? b c f (x)dx。 b a f (x)dx ? c a f (x)dx? b c f (x)dx。 c O