概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì) 2 對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測、試驗(yàn)， 以取得有代表性的觀測值 對已取得的觀測值進(jìn)行整理、 分析,作出推斷、決策,從而 找出所研究的對象的規(guī)律性 數(shù)數(shù) 理理 統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)計(jì) 的的 分分 類類 描述統(tǒng)計(jì)學(xué) 推斷統(tǒng)計(jì)學(xué) 第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 3 參數(shù)估計(jì) (第七章) 假設(shè)檢驗(yàn) (第八章) 回歸分析 (第十一章) 方差分析 (第九章) 推斷 統(tǒng)計(jì)學(xué) 4 總體總體 研究對象全體元素組成的集合 所研究的對象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指 標(biāo)的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量(或多維隨機(jī) 變量).記為X . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的 分布函數(shù)和數(shù)字特征. 總體和樣本 6.1

2、 基本概念基本概念 5 樣本樣本 從總體中抽取的部分個(gè)體. 稱 為總體 X 的一個(gè)容量為n 的樣本觀測值,或稱樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn). ),( 21n xxx ),( 21n XXX 用 表示, n 為樣本容量. 樣本空間樣本空間 樣本所有可能取值的集合. 個(gè)體個(gè)體 組成總體的每一個(gè)元素 即總體的每個(gè)數(shù)量指標(biāo),可看作隨機(jī) 變量 X 的某個(gè)取值.用 表示. i X 6 若總體 X 的樣本 滿足:),( 21n XXX 一般,對有限總體,放回抽樣所得到的樣 本為簡單隨機(jī)樣本,但使用不方便,常用 不放回抽樣代替.而代替的條件是 n XXX, 21 (1) 與X 有相同的分布 n XXX, 21 (2) 相互

3、獨(dú)立 ),( 21n XXX 則稱 為簡單隨機(jī)樣本. 簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本 N / n 10. 總體中個(gè)體總數(shù)總體中個(gè)體總數(shù)樣本容量樣本容量 7 設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為F (x),則樣本 n i in xFxxxF 1 21 )(),( 總 若總體X 的密 d.f.為 f( x),則樣本 n i in xfxxxf 1 21 )(),( 總 的聯(lián)合 d.f.為 ),( 21n XXX的聯(lián)合分布函數(shù)為 8 設(shè) 是取自總體X 的一個(gè) 樣本, ),( 21n XXX ),( 21n rrrg ),( 21n xxxg 為一實(shí)值連續(xù)函數(shù),且不含有未知參數(shù), ),( 21n XXXg則稱隨機(jī)變量為

4、統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量. ),( 21n xxx若是一個(gè)樣本值, 稱 ),( 21n XXXg的一個(gè)樣本值 為統(tǒng)計(jì)量 定義定義 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 9 例例 是未知參數(shù), 22 , ),(NX 若 , 已知,則為統(tǒng)計(jì)量. 是一樣本,),( 21n XXX n i i n i i XX n SX n X 1 2 2 1 1 1 , 1 是統(tǒng)計(jì)量, 其中),( 2 NX i 則 但 n i i X 1 2 2 1 不是統(tǒng)計(jì)量. 10 常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量 n i i X n X 1 1 ) 1 (為樣本均值樣本均值 n i i XX n S 1 2 2 1 1 )2(為樣本方差樣本方差 n i i XX n

5、S 1 2 1 1 為樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 ),( 21n XXX設(shè) 是來自總體 X 的容量 為 n 的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量 11 n i k ik X n A 1 1 ) 3 (為樣本的k 階原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 n i k ik XX n B 1 1 ) 4( 為樣本的k 階中心矩中心矩 例如 2 1 2 2 2 1 11 n n i i SXX n S n n B XA 12 (5) 順序統(tǒng)計(jì)量與極差順序統(tǒng)計(jì)量與極差 設(shè)),( 21n XXX為樣本, ),( 21n xxx為樣本值,且 * 2 * 1n xxx 當(dāng) ),( 21n XXX取值為),( 21n xxx 時(shí), 定義 r.v. nkxX k

6、k , 2 , 1, * )( 則稱統(tǒng)計(jì)量 )()2()1( , n XXX為順序統(tǒng)計(jì)量順序統(tǒng)計(jì)量. 其中,max,min 1 )( 1 )1(k nk nk nk XXXX 稱 )1()( XXD nn 為極差極差 13 注注 樣本方差樣本方差 與樣本二階中心矩與樣本二階中心矩 的不同的不同 2 n S 2 S n i n i i n i i XXXX 1 2 11 2 2 22 1 2 2XnXnX n i i 2 1 2 XnX n i i )( 2 2 XAn 故 2 2 2 2 1 )( 1 n S n n XA n n S 2 22 XAB n i ii n i i XXXXXX

7、1 2 2 1 2 )2()( 推導(dǎo)推導(dǎo) 關(guān)系式關(guān)系式 22 1 n S n n S 1） 14 推導(dǎo)推導(dǎo) 設(shè) 2 )(,)(XDXE則 n i i X n EXE 1 1 2 1 n XD 2） 22 1 )( n n SE n 22 )(SE 2 2 2 )(XEEASE n XEXDX n E n i i 2 1 2 1 2222 1 n 2 1 n n 22 1 )( n S n n ESE 22 1 n ES n n 15 例例1 1 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取 10件, 測得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235

8、, 200, 199 求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn) 矩與二階中心矩. 解解),( 1021 xxx令 )199,200,235,196,228 ,215,240,185,243,210( 16 43.433)( 9 1 10 1 22 i i xxs 10 1 2 2 5 .47522 10 1 i i xA 0 .390)( 10 1 10 9 10 1 22 2 i i xxsB 19.217 )199200235196228 215240185243230( 10 1 x 則則 17 例例2 2 在總體 中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量 為36的樣本,求樣本均值 落在50.8到53.8 之間的

9、概率. )3 . 6,52( 2 N X 解解 )36/3 . 6,52( 2 NX 故 6/ 3 . 6 528 .50 6/ 3 . 6 528 .53 )8 .538 .50( XP 8239. 0 )1429. 1()7143. 1 ( 18 例例3 3 設(shè)總體X 的概率密度函數(shù)為 10 1 )( x xx xf 為總體的樣本,求),( 5021 XXX (1)(1)X的數(shù)學(xué)期望與方差 (2) )( 2 SE (3) )02. 0(XP 解解(1)0d)()( 1 1 xxxXEXE 100 1 d2 50 1 )( 50 1 )( 50 1 )( 1 0 2 2 xxx XEXDXD

10、 19 8414. 0 )01. 0 , 0( NX 近似近似 (3) 由中心極限定理 (2) . 2/1)()()( 22 XEXDSE 2 . 012 1 . 0 002. 0 12 )02. 0(1)02. 0(XPXP 20 確定統(tǒng)計(jì)量的分布確定統(tǒng)計(jì)量的分布 是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本 問題之一問題之一 正態(tài)總體是最常見的總體正態(tài)總體是最常見的總體, 本節(jié)介紹本節(jié)介紹 的幾個(gè)抽樣分布均對正態(tài)總體而言的幾個(gè)抽樣分布均對正態(tài)總體而言. 21 (1)(1) 正態(tài)分布正態(tài)分布 則 n i ii n i ii n i ii aaNXa 1 22 11 , 特別地, n NX n X n i

11、 i 2 1 , 1 則 統(tǒng)計(jì)中常用分布統(tǒng)計(jì)中常用分布 n XXX, 21 ),( 2 NXi 若 i.i.d. 若 n XXX, 21 ),( 2 ii N 22 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù) 正態(tài)分布的上 分位數(shù). 定義定義 正態(tài)分布的雙側(cè) 分位數(shù). 若 , 則稱 為標(biāo)準(zhǔn) 2 zXP 2 Z 若 P Xz ,則稱z 為標(biāo)準(zhǔn) 23 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)圖形 575. 2 96. 1 645. 1 005. 0 025. 0 05. 0 z z z -2-112 0.1 0.2 0.3 0.4 z 常用 數(shù)字 -2-112 0.1 0.2 0.3 0.4 /2 -z/2=z1-/2 /2 z/2

12、-z/2 zXP 2 zXP 24 (2)(2)( 2 n分布分布 ( n為自由度 ) 定義定義 設(shè) n XXX, 21 相互獨(dú)立, 且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1),則 n i i nX 1 22 )( n = 1 時(shí),其密度函數(shù)為 0, 0 0, 2 1 )( 22 1 x xex xf x 246810 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 25 n = 2 時(shí),其密度函數(shù)為 0, 0 0, 2 1 )( 2 x xe xf x 為參數(shù)為1/2的指數(shù)分布. 246810 0.1 0.2 0.3 0.4 26 22 2 1 2 1 ,0 2( ) ( ) 0,0 xn n n e

13、xx f x x 一般 其中， 0 1 )(dtetx tx 在x 0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì) )(!) 1( )2/1 (, 1) 1 (),() 1( Nnnn xxx )( 2 n 的密度函數(shù)為自由度為 n 的 27 510152025 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15 28 nnDnnE2)(,)(1 22 例如例如 05. 0307.18)10( 307.18)10( 2 2 05. 0 P )( ,),(),(2 21 2 21 212 2 21 2 1 nnXX XXnXnX 則 相互獨(dú)立，若 正態(tài)分布時(shí)，)(3 2 n

14、n 分位數(shù)有表可查分布的上)(4 2 n 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì))( 2 n 20.05(10) 5101520 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 n = 10 29 n XXX, 21 相互獨(dú)立, 證證 1設(shè) n i ii niNXXn 1 22 , 2 , 1) 1 , 0()( 則1)(, 1)(, 0)( 2 iii XEXDXE nXEnE n i i 1 22 )( 3d 2 1 )( 2 2 44 xexXE x i 2)()()( 2242 iii XEXEXD nXDnD n i i 2)( 1 22 30 (3) (3) t t 分布分布 (Student 分布

15、) 定義定義 則稱 T 服從自由度為 n 的T 分布. 其密度函數(shù)為 n Y X T t n t n n n tf n 2 1 2 1 2 2 1 )( ),(, ) 1 , 0 ( 2 nYNX X ,Y相互獨(dú)立, 設(shè) 31 t 分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布) n = 1 n=20 -3-2-1123 0.1 0.2 0.3 0.4 32 t 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 1f n(t)是偶函數(shù), 2 2 2 1 )()(, t n ettfn 2T 分布的上 分位數(shù) t 與雙測 分位數(shù) t/2 均 有表可查. 33 -3-2-1123 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.

16、35 n = 10 1 tt tTP 0.05 1.81250.05(10) 1.8125P Tt t-t 1.81250.05,1.81250.95P TP T 8125. 1)10( 95. 0 t 34 2/ 2/ 2 )( tTP tTP -3-2-1123 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 t/2-t/2 2281.2)10( 05.02281.2 025.02281.2 025.0 t TP TP /2 /2 35 (4) F 分布分布 則稱 F 服從為第一自由度第一自由度為n ,第二自由第二自由 度度為 m 的F 分布分布. . 0, 0 01 22

17、 2 ), ( 2 1 2 2 t tt m n t m n m n mn mntf mn n n 其密度函數(shù)為 定義定義),(),( 22 mYnXX, Y 相互獨(dú)立，設(shè) mY nX F / / 令 36 123456 0.2 0.4 0.6 0.8 123456 0.2 0.4 0.6 0.8 m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10 37 F 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 1 ( , ),1/ ( , )FF n mFF mn 若則 123456 0.1 0.2 0

18、.3 0.4 0.5 0.6 例如 19. 5)5 , 4( 05. 0 F ),( 1 ),( 1 nmF mnF 事實(shí)上, 19. 5 1 ) 5 , 4 ( 1 ) 4 , 5 ( 05. 0 95. 0 F F故 ),( :),(),(2 mnFFP mnFmnF有表可查分位數(shù)的上 求 ?)4 , 5( 95. 0 F F(n,m) 38 ),( 1 mnFFP ),( 11 1 mnFF P故 ),( 1 nmF F 由于 ),( 11 1 1 mnFF P 1 ),( ),( 1 1 nmF mnF 因而 ),( 11 1 mnFF P 例例1 1 證明 ),( 1 ),( 1 n

19、mF mnF 證證 39 證證 2 XY 22 1 (|( )|)( )P XtnP Xt n 有 例例2 2), 1()( 2 1 2 nFnt 證明： )()( 2 1 22 22 ntYPntXP ), 1 ()( 2 1 2 nFnt 即 設(shè) 令 n n n n G )( 1 ) 1 ( )( 2 2 2 2 ), 1 (nF 2( ) ( ) ,(0,1) n XT nXGGN n 40 抽抽樣分布的某些結(jié)論樣分布的某些結(jié)論 ()() 一個(gè)正態(tài)總體一個(gè)正態(tài)總體 ) 1( ) 1( 2 2 1 2 2 n XXSn n i i 2 2 ) 1( Sn 與 X 相互獨(dú)立 設(shè)總體 1 ,

20、n XX,樣本為( )， ),( 2 n NX ) 1 , 0( N n X ) 1( nT n S XS n X (1) (2) 2 ( ,)XN 41 ( II ) 兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體 相互獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本. n i i n i i XX n S X n X 1 22 1 1 )( 1 1 1 令 m j j m j j YY m S Y m Y 1 22 2 1 )( 1 1 1 設(shè) n XXX, 21 與 m YYY, 21 分別是來 ),( 2 11 NX自正態(tài)總體),( 2 22 NY與的 42 則 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 2 1 2

21、 1 m Sm n Sn ) 1, 1( 2 2 2 2 2 1 2 1 mnF S S 若 21 則 ) 1, 1( 2 2 2 1 mnF S S (3) 43 則 ),( 1 ),( 1 2 2 1 2 1 1 m NY m Y n NX n X m j j n i i )1 , 0( )()( 22 21 N mn YX ),( 22 21 mn NYX 相互獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本. 設(shè) n XXX, 21 與 m YYY, 21 分別是來 2 1 ( ,)XN 自正態(tài)總體 2 2 (,)YN 與的 44 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 2 1 m Sm n

22、 Sn 2 2 2 2 2 1 ) 1() 1( SmSn ) 2( 2 mn YX 與 2 2 2 2 2 1 ) 1() 1( SmSn 相互獨(dú)立 45 2 ) 1() 1( )()( 2 2 2 2 2 1 22 21 mn SmSn mn YX 2 ) 1() 1(11 )()( 2 2 2 1 21 mn SmSn mn YX ) 2(mnt (4) 46 的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少? 例例3 3設(shè)(72 ,100)XN ,為使樣本均值大于70 解解 設(shè)樣本容量為 n , 則 ) 100 ,72( n NX 故 )70(1)70(XPXP n 10 7270 1n2 .

23、 0 令9 . 02 . 0n得 29. 12 . 0n 即6025.41n所以取42n 47 例例4 4 從正態(tài)總體),( 2 NX 中，抽取了 n = 20的樣本 1220 (,)X XX (1) 求 2 20 1 2 2 76. 1 20 1 37. 0 i i XXP (2) 求 2 20 1 2 2 76. 1 20 1 37. 0 i i XP 解解 (1) )19( 119 2 20 1 2 22 2 i i XX S 即 ) 1( ) 1( 2 2 2 n Sn 48 2 20 1 2 2 76. 1 20 1 37. 0 i i XXP 故 2 .35 1 4 . 7 20

24、1 2 2 i i XXP 2 .35 1 4 . 7 1 20 1 2 2 20 1 2 2 i i i i XXPXXP 98. 001. 099. 0 查表 49 (2) (2) )20( 2 20 1 2 i i X 2 20 1 2 2 76. 1 20 1 37. 0 i i XP故 2 .354 . 7 20 1 2 i i X P 2 .354 . 7 20 1 2 20 1 2 i i i i X P X P 97. 0025. 0995. 0 50 例例5 5 設(shè)r.v. X 與Y 相互獨(dú)立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡單隨機(jī)樣本, 求 統(tǒng)計(jì)量 129 222 1216 XXX Z YYY 所服從的分布. 解解)169, 0( 921 NXXX )1, 0()( 43 1 921 NXXX 51 16, 2 , 1,)1 , 0( 3 1 iNYi )16( 3 1 2 2 16 1 i i Y 16 3 1 43 1 16 1 2 921 i i Y XXX )16( t 2 16 2 2 2 1 921 YYY XXX 從而 52 例例6 6 設(shè)總體 的樣本, 2 654 2 321 )()(XXXXXXY )1 , 0( NX 16 ,XX為總體 X