水文統(tǒng)計.ppt

1、 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 研究對象：研究對象：頻率計算、相關(guān)分析頻率計算、相關(guān)分析 研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：頻率計算，包括隨機(jī)變量及其概率分布、水文頻率曲線、水文頻頻率計算，包括隨機(jī)變量及其概率分布、水文頻率曲線、水文頻 率計算適線法。率計算適線法。 相關(guān)分析，包括兩變量直線相關(guān)、兩變量曲線相關(guān)、復(fù)相關(guān)。相關(guān)分析，包括兩變量直線相關(guān)、兩變量曲線相關(guān)、復(fù)相關(guān)。 研究目的：研究目的：從已知資料尋求河川徑流變化規(guī)律，一方面可用成因分析的方法從已知資料尋求河川徑流變化規(guī)律，一方面可用成因分析的方法 從徑流形成的角度去研究徑流的變化規(guī)律；另一方面，就是用水從徑流形成

2、的角度去研究徑流的變化規(guī)律；另一方面，就是用水 文統(tǒng)計（數(shù)理統(tǒng)計）的方法，去尋求水文現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。研究文統(tǒng)計（數(shù)理統(tǒng)計）的方法，去尋求水文現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。研究 河川徑流的統(tǒng)計變化規(guī)律，預(yù)估徑流未來的變化趨勢，以滿足水河川徑流的統(tǒng)計變化規(guī)律，預(yù)估徑流未來的變化趨勢，以滿足水 利水電工程規(guī)劃、設(shè)計、施工和運(yùn)行管理的需要。利水電工程規(guī)劃、設(shè)計、施工和運(yùn)行管理的需要。 第六章第六章 水文統(tǒng)計水文統(tǒng)計 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.1 概述概述 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 水文現(xiàn)象的兩重性，概率論與數(shù)理統(tǒng)計水文現(xiàn)象的兩重性，概率論與數(shù)理統(tǒng)計 （水文統(tǒng)計），水文統(tǒng)計的任

3、務(wù)（水文統(tǒng)計），水文統(tǒng)計的任務(wù) 學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求： 了解水文現(xiàn)象既有必然性一面，又有偶然性了解水文現(xiàn)象既有必然性一面，又有偶然性 一面；一面； 認(rèn)識水文偶然性亦即隨機(jī)性可以用數(shù)理統(tǒng)計理認(rèn)識水文偶然性亦即隨機(jī)性可以用數(shù)理統(tǒng)計理 論進(jìn)行研究，數(shù)理統(tǒng)計在此被稱為水文統(tǒng)計；了解水文論進(jìn)行研究，數(shù)理統(tǒng)計在此被稱為水文統(tǒng)計；了解水文 統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特 性，為水利水電工程的規(guī)劃、設(shè)計、施工、運(yùn)行提供科性，為水利水電工程的規(guī)劃、設(shè)計、施工、運(yùn)行提供科 學(xué)依據(jù)。學(xué)依據(jù)。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃

4、國如 水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它既具有必然性的一面，也具有偶然性的水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它既具有必然性的一面，也具有偶然性的 一面。一面。 1、必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué)是指事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué) 中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。例如，流域上的降雨必然沿著中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。例如，流域上的降雨必然沿著 流域的不同路徑，流入河流、湖泊，最終回歸海洋。流域的不同路徑，流入河流、湖泊，最終回歸海洋。 2、偶然現(xiàn)象偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn) 象，偶然現(xiàn)象也

5、稱隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng)象，偶然現(xiàn)象也稱隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng) 計規(guī)律。例如，河流上任一斷面的流量每年每月都不相同。計規(guī)律。例如，河流上任一斷面的流量每年每月都不相同。 6.1.1 水文現(xiàn)象的二重特性水文現(xiàn)象的二重特性 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并 以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定 量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、

6、施工以及運(yùn)營期間的需要。量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運(yùn)營期間的需要。 v 例子：在流域上設(shè)計一個水庫，為保證水庫防洪安全，就必須了解例子：在流域上設(shè)計一個水庫，為保證水庫防洪安全，就必須了解 水庫運(yùn)營期內(nèi)可能發(fā)生的最大洪水。水庫運(yùn)營期一般在水庫運(yùn)營期內(nèi)可能發(fā)生的最大洪水。水庫運(yùn)營期一般在100年以上年以上 ，要預(yù)測這么長時期內(nèi)可能發(fā)生的最大洪水，顯然成因分析法是不，要預(yù)測這么長時期內(nèi)可能發(fā)生的最大洪水，顯然成因分析法是不 可能的。在這種情況下，只能以水文統(tǒng)計方法加以研究。就是憑借可能的。在這種情況下，只能以水文統(tǒng)計方法加以研究。就是憑借 長期觀測的洪水資料，探索洪水統(tǒng)計規(guī)律，由此估計

7、出在水庫運(yùn)營長期觀測的洪水資料，探索洪水統(tǒng)計規(guī)律，由此估計出在水庫運(yùn)營 期內(nèi)可能出現(xiàn)的洪水，作為水庫防洪安全的重要依據(jù)。期內(nèi)可能出現(xiàn)的洪水，作為水庫防洪安全的重要依據(jù)。 6.1.2 水文統(tǒng)計的任務(wù)水文統(tǒng)計的任務(wù) 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點(diǎn)：水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點(diǎn)： 1、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計算，推求指、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計算，推求指 定頻率的水文特征值；定頻率的水文特征值； 2、研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長、研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長 、插補(bǔ)

8、水文特征值和作水文預(yù)報；、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報； 3、根據(jù)誤差理論，估計水文計算中的隨機(jī)誤差范圍。、根據(jù)誤差理論，估計水文計算中的隨機(jī)誤差范圍。 6.1.3 水文統(tǒng)計的基本方法和研究內(nèi)容水文統(tǒng)計的基本方法和研究內(nèi)容 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.2 概率的基本概念概率的基本概念 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 事件；概率；頻率事件；概率；頻率 學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求： 1、了解事件的定義及其分類；、了解事件的定義及其分類； 2、了解概率是對事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)；、了解概率是對事件出現(xiàn)可能性大小的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)； 3、掌握頻率的含義，它與概率的關(guān)系；、掌握頻率的

9、含義，它與概率的關(guān)系； 4、了解概率的加法與乘法定理。、了解概率的加法與乘法定理。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 在概率論中，對隨機(jī)現(xiàn)象的觀測叫做隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件在概率論中，對隨機(jī)現(xiàn)象的觀測叫做隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為事件 。事件可以是數(shù)量性質(zhì)的，例如某河段某斷面處最大洪峰流量值；也可以。事件可以是數(shù)量性質(zhì)的，例如某河段某斷面處最大洪峰流量值；也可以 是屬性性質(zhì)的，例如刮風(fēng)、下雨等。事件可以分為必然事件、不可能事件是屬性性質(zhì)的，例如刮風(fēng)、下雨等。事件可以分為必然事件、不可能事件 和隨機(jī)事件三種。和隨機(jī)事件三種。 v 必然事件：在每次試

10、驗(yàn)中一定會出現(xiàn)的事件。最大洪峰大于零。必然事件：在每次試驗(yàn)中一定會出現(xiàn)的事件。最大洪峰大于零。 v 不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不會出現(xiàn)的事件，例如降雨量小于零。不可能事件：在任何一次試驗(yàn)中都不會出現(xiàn)的事件，例如降雨量小于零。 v 隨機(jī)事件：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，例如某斷面隨機(jī)事件：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，例如某斷面 每年出現(xiàn)的最大洪峰流域可能大于某一數(shù)值，也可能小于該值。每年出現(xiàn)的最大洪峰流域可能大于某一數(shù)值，也可能小于該值。 6.2.1 事件事件 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 在在同等可能的條件下，隨機(jī)事件

11、在試驗(yàn)的結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能同等可能的條件下，隨機(jī)事件在試驗(yàn)的結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能 不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)或不出現(xiàn)的可能性不同。隨機(jī)事件的概率就是不出現(xiàn)，但其出現(xiàn)或不出現(xiàn)的可能性不同。隨機(jī)事件的概率就是 用來量化隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小。用來量化隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小。 v 隨機(jī)事件的概率計算公式隨機(jī)事件的概率計算公式 p(a)=k/n 式中：式中：p(a)為在一定的條件組合下出現(xiàn)隨機(jī)事件為在一定的條件組合下出現(xiàn)隨機(jī)事件a的概率的概率 ；k為為 出現(xiàn)隨機(jī)事件出現(xiàn)隨機(jī)事件a的結(jié)果數(shù)；的結(jié)果數(shù)；n為在試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。為在試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。 該式只適用于古典型隨機(jī)試驗(yàn)，即試驗(yàn)的所有可能

12、結(jié)果都是等可該式只適用于古典型隨機(jī)試驗(yàn)，即試驗(yàn)的所有可能結(jié)果都是等可 能的，且試驗(yàn)可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。三種基本事件的概率依能的，且試驗(yàn)可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。三種基本事件的概率依 次為次為1、0和和01。 6.2.2 概率概率 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 設(shè)隨機(jī)事件設(shè)隨機(jī)事件a在重復(fù)在重復(fù)n次試驗(yàn)中出現(xiàn)了次試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則稱次，則稱 p(a)=m/n 為事件為事件a在在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不大次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不大 時，事件的頻率有明顯的隨機(jī)性，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠時，事件的頻率有明顯的隨機(jī)性，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠 大時，隨機(jī)事

13、件大時，隨機(jī)事件a出現(xiàn)的頻率具有一定的穩(wěn)定性。隨出現(xiàn)的頻率具有一定的穩(wěn)定性。隨 著試驗(yàn)的無限增大，隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定在某一個數(shù)著試驗(yàn)的無限增大，隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定在某一個數(shù) 附近，此時頻率趨于概率。因此，對于水文現(xiàn)象，可附近，此時頻率趨于概率。因此，對于水文現(xiàn)象，可 以頻率作為概率的近似值。以頻率作為概率的近似值。 6.2.3 頻率頻率 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 互斥事件：互斥事件：在多種事件中，若同時只能出現(xiàn)一種事件，而其它事件在多種事件中，若同時只能出現(xiàn)一種事件，而其它事件 均不能發(fā)生者稱為互斥事件。例如，投擲一顆骰子，投擲一次只能均不能發(fā)生者稱

14、為互斥事件。例如，投擲一顆骰子，投擲一次只能 得一種點(diǎn)子，其余五種點(diǎn)子都不可能出現(xiàn)。得一種點(diǎn)子，其余五種點(diǎn)子都不可能出現(xiàn)。 v 兩事件和的概率（加法定理）：兩事件和的概率（加法定理）：兩個互斥事件兩個互斥事件a、b出現(xiàn)的概率等于出現(xiàn)的概率等于 這兩個事件的概率的和，即這兩個事件的概率的和，即 p（a+b）=p（a）+p（b） 式中：式中：p(a+b)為實(shí)現(xiàn)事件為實(shí)現(xiàn)事件a或事件或事件b的概率；的概率；p(a)為事件為事件a的概率；的概率； p(b)為事件為事件b的概率。的概率。 v 例如，一顆骰子投擲一次，出現(xiàn)例如，一顆骰子投擲一次，出現(xiàn)1或或2的概率為的概率為 p（1點(diǎn)或點(diǎn)或2點(diǎn)）點(diǎn)）p（1

15、點(diǎn)）點(diǎn)）p（2點(diǎn)）點(diǎn)）=1/6+1/6=1/3 6.2.4 頻率加法定理和乘法定理頻率加法定理和乘法定理 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 條件概率：條件概率：若若a、b是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)s的兩個事件，在事件的兩個事件，在事件a發(fā)生的前提下，事件發(fā)生的前提下，事件 b發(fā)生的概率為事件發(fā)生的概率為事件b在條件在條件a下事件下事件b條件概率，記為條件概率，記為 p(b|a)。例如，在上。例如，在上 游某支流發(fā)生洪峰的條件下，要預(yù)報下游站發(fā)生最多洪峰的可能性，便是條游某支流發(fā)生洪峰的條件下，要預(yù)報下游站發(fā)生最多洪峰的可能性，便是條 件概率問題。件概率問題。 v

16、兩事件乘的概率（乘法定理）：兩事件乘的概率（乘法定理）：兩事件積的概率，等于其中一事件的概率乘兩事件積的概率，等于其中一事件的概率乘 以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率。以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率。 p(ab)p(a).p(b|a) v 例如，設(shè)例如，設(shè)100件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有5件次品，任意從中抽取一件不放回，再從中抽件次品，任意從中抽取一件不放回，再從中抽 取一件，求解兩次抽取都是合格產(chǎn)品的概率。取一件，求解兩次抽取都是合格產(chǎn)品的概率。 設(shè)設(shè)a為第一次抽得合格產(chǎn)品的事件，為第一次抽得合格產(chǎn)品的事件，b為第二次抽得合格產(chǎn)品的事件，則為第二次抽得合格產(chǎn)品的事件，

17、則 p(a)=95/100。由于第一次抽得的一件合格產(chǎn)品未放回，故第二次抽取時產(chǎn)。由于第一次抽得的一件合格產(chǎn)品未放回，故第二次抽取時產(chǎn) 品總數(shù)是品總數(shù)是100-199，合格產(chǎn)品數(shù)應(yīng)該是，合格產(chǎn)品數(shù)應(yīng)該是95-194。故此。故此p(b|a)=94/99。則。則 p(ab)=95/100*94/99=0.902 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 如果兩個事件是相互獨(dú)立的，即任一事件的發(fā)生不影響如果兩個事件是相互獨(dú)立的，即任一事件的發(fā)生不影響 另一事件發(fā)生的概率，則另一事件發(fā)生的概率，則p(b|a)=p(a)或或p(a|b)=p(b) v 兩個獨(dú)立事件共同出現(xiàn)的概

18、率等于事件兩個獨(dú)立事件共同出現(xiàn)的概率等于事件a的概率乘以事的概率乘以事 件件b的概率，即的概率，即 p（ab）p（a）p（b） v 例如，一顆骰子連擲例如，一顆骰子連擲2次，均得次，均得1點(diǎn)的概率為點(diǎn)的概率為 v p(連得連得2次次1點(diǎn)點(diǎn))p（1點(diǎn)）點(diǎn)）p（1點(diǎn)）點(diǎn)）1/6*1/6=1/36 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.3 隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量及其概率分布 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的概率分布，隨機(jī)變隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的概率分布，隨機(jī)變 量的統(tǒng)計參數(shù)量的統(tǒng)計參數(shù) 學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求： 1、了解隨機(jī)變量及其分類；、了解隨機(jī)變量及其分

19、類；2、了解隨機(jī)變量與概率的、了解隨機(jī)變量與概率的 關(guān)系，了解分布曲線（函數(shù)）、密度曲線（函數(shù)）的含義關(guān)系，了解分布曲線（函數(shù)）、密度曲線（函數(shù)）的含義 及其之間的關(guān)系；及其之間的關(guān)系；3、了解隨機(jī)變量的概率分布曲線（在水、了解隨機(jī)變量的概率分布曲線（在水 文上稱為頻率曲線），它有超過制概率與不及制概率之分，文上稱為頻率曲線），它有超過制概率與不及制概率之分， 常用的是超過制概率。常用的是超過制概率。4、掌握統(tǒng)計參數(shù)的含義和計算方法。、掌握統(tǒng)計參數(shù)的含義和計算方法。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果一般為一個數(shù)量。若結(jié)果不是數(shù)量，可以通隨機(jī)試

20、驗(yàn)的結(jié)果一般為一個數(shù)量。若結(jié)果不是數(shù)量，可以通 過適當(dāng)方式，轉(zhuǎn)換為數(shù)量表示。這樣的量隨著試驗(yàn)的重復(fù)進(jìn)過適當(dāng)方式，轉(zhuǎn)換為數(shù)量表示。這樣的量隨著試驗(yàn)的重復(fù)進(jìn) 行可以取得不同的數(shù)值，而且?guī)в须S機(jī)性，則將這種隨機(jī)試行可以取得不同的數(shù)值，而且?guī)в须S機(jī)性，則將這種隨機(jī)試 驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)結(jié)果x稱為隨機(jī)變量，簡單地說，隨機(jī)變量是在隨機(jī)試驗(yàn)稱為隨機(jī)變量，簡單地說，隨機(jī)變量是在隨機(jī)試驗(yàn) 中測量到的數(shù)量。中測量到的數(shù)量。 v 水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量一般是指某種水文特征值，例如洪峰水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量一般是指某種水文特征值，例如洪峰 流量、最高水位等。流量、最高水位等。 v 隨機(jī)變量可分為兩類：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量

21、。隨機(jī)變量可分為兩類：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。 6.3.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 離散型隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量僅能取得一個有限區(qū)間內(nèi)的如果隨機(jī)變量僅能取得一個有限區(qū)間內(nèi)的 某些間斷的離散數(shù)值，則稱為離散型隨機(jī)變量。例如，投擲某些間斷的離散數(shù)值，則稱為離散型隨機(jī)變量。例如，投擲 一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)只可能是一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)只可能是1、2、3、4、5、6共共6種數(shù)種數(shù) 值，不能出現(xiàn)任何其它值，這些值，不能出現(xiàn)任何其它值，這些“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)”就是隨機(jī)變量就是隨機(jī)變量 。 v 連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變

22、量：如果隨機(jī)變量可以取得一個有限區(qū)間的任如果隨機(jī)變量可以取得一個有限區(qū)間的任 何數(shù)值，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如，河流水何數(shù)值，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量。例如，河流水 文站的流量和水位，可以在文站的流量和水位，可以在0到極限值之間變化。到極限值之間變化。 v 水文學(xué)中的隨機(jī)變量類型大多為連續(xù)性隨機(jī)變量。水文學(xué)中的隨機(jī)變量類型大多為連續(xù)性隨機(jī)變量。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 隨機(jī)變量可以取所有可能值中的任何一個值，但是取某隨機(jī)變量可以取所有可能值中的任何一個值，但是取某 一可能值的機(jī)會是不同的，有的機(jī)會大，有的機(jī)會小，一可能值的機(jī)會是不

23、同的，有的機(jī)會大，有的機(jī)會小， 隨機(jī)變量的取值與其概率有一定的對應(yīng)關(guān)系。一般將這隨機(jī)變量的取值與其概率有一定的對應(yīng)關(guān)系。一般將這 種對應(yīng)關(guān)系稱為隨機(jī)變量的概率分布。種對應(yīng)關(guān)系稱為隨機(jī)變量的概率分布。 v 通常隨機(jī)變量用大寫字母通常隨機(jī)變量用大寫字母x x表示，它的種種可能取值用表示，它的種種可能取值用 相應(yīng)的小寫字母相應(yīng)的小寫字母x x表示。表示。 若取若取n個，個， 則則xx1，x=x2 ， ，xxn。一般將。一般將x1，x2 ，xn稱為系列。而稱為系列。而 可能取值出現(xiàn)的概率用可能取值出現(xiàn)的概率用p表示。表示。 6.3.2 隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概率分布 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃

24、國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 1、離散型隨機(jī)變量的概率分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布 離散型隨機(jī)變量的概率分布一般以分布列表示。離散型隨機(jī)變量的概率分布一般以分布列表示。 其中：其中：pi為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量x取值取值xi(i=1,2,n)的概率。它滿的概率。它滿 足下列條件足下列條件 （1）pi 0;（2） pi=1 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 2、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 v對于連續(xù)型隨機(jī)變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個對于連續(xù)型隨機(jī)變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個 區(qū)間的概率，或是研究事件區(qū)間的概率，

25、或是研究事件xx的概率，以及事件的概率，以及事件x x 的概率的概率 ，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換。水文學(xué)習(xí)慣研究，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換。水文學(xué)習(xí)慣研究xx 的概率及其分的概率及其分 布。布。 （1）分布函數(shù)）分布函數(shù) 如果事件如果事件xx 的概率用的概率用p（xx）來表示，它是隨隨機(jī)變量）來表示，它是隨隨機(jī)變量 取值取值x而變化的，所以而變化的，所以p（xx）是）是x的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量x的的 分布函數(shù)，記為分布函數(shù)，記為f（x），即），即f(x)=p(xx) 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v f(x)=p(xx) 代表隨機(jī)變量代表隨機(jī)變量x

26、大于等大于等 于某一取值于某一取值x的概率。其幾何圖形如的概率。其幾何圖形如 右圖所示，右圖所示， 圖中縱坐標(biāo)表示變量圖中縱坐標(biāo)表示變量x， 橫坐標(biāo)表示概率分布函數(shù)值橫坐標(biāo)表示概率分布函數(shù)值f(x)，在，在 數(shù)學(xué)上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng)數(shù)學(xué)上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng) 計中稱為隨機(jī)變量的累積頻率曲線，計中稱為隨機(jī)變量的累積頻率曲線， 簡稱頻率曲線。簡稱頻率曲線。 v 在圖中，當(dāng)取在圖中，當(dāng)取x=xp時，由分布曲線上時，由分布曲線上 查得查得f(x)=p(x x)=p，這說明隨機(jī)變，這說明隨機(jī)變 量大于量大于xp的可能性是的可能性是p(%)。 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù) 華南理工大學(xué)水利水電工

27、程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 （2）分布密度）分布密度 分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)的負(fù)值稱為密度函數(shù)，記為分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)的負(fù)值稱為密度函數(shù)，記為 f(x)，即：，即： 密度函數(shù)的幾何曲線稱密度曲線。水文中習(xí)慣密度函數(shù)的幾何曲線稱密度曲線。水文中習(xí)慣 以縱坐標(biāo)表示變量以縱坐標(biāo)表示變量x，橫坐標(biāo)表示概率密度函，橫坐標(biāo)表示概率密度函 數(shù)值數(shù)值f(x) ，如右圖所示。，如右圖所示。 實(shí)際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分實(shí)際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分 的關(guān)系。因此，已知的關(guān)系。因此，已知f(x) ，則：，則：概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) x xf xfxf d )(d )()( x xxfxxpxf

28、d)()()( 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v不及制累積概率不及制累積概率 當(dāng)研究事件當(dāng)研究事件x x 的概率時，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中常用的概率時，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中常用 分布函數(shù)分布函數(shù)g(x)表示表示 v 稱不及制累積概率形式，相應(yīng)的水文統(tǒng)計用的分布稱不及制累積概率形式，相應(yīng)的水文統(tǒng)計用的分布 函數(shù)函數(shù)f(x)稱為超過制累積概率形式，兩者之間有如稱為超過制累積概率形式，兩者之間有如 下關(guān)系：下關(guān)系： )()(xxpxg )(1)(xgxf 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 在統(tǒng)計學(xué)中，隨機(jī)變量的概率分布曲線和分布函數(shù)完整地描述在統(tǒng)

29、計學(xué)中，隨機(jī)變量的概率分布曲線和分布函數(shù)完整地描述 了隨機(jī)現(xiàn)象。但在實(shí)際中分布函數(shù)難以確定或不必要，舉例年了隨機(jī)現(xiàn)象。但在實(shí)際中分布函數(shù)難以確定或不必要，舉例年 降水量或最高水位。降水量或最高水位。 v 說明隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)說明隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù) 。水文現(xiàn)象的統(tǒng)計參數(shù)反映隨機(jī)變量基本的統(tǒng)計規(guī)律，能概括。水文現(xiàn)象的統(tǒng)計參數(shù)反映隨機(jī)變量基本的統(tǒng)計規(guī)律，能概括 水文現(xiàn)象的基本特性和分布特點(diǎn)。水文現(xiàn)象的基本特性和分布特點(diǎn)。 v 統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)之分?？傮w是某隨機(jī)統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)之分?？傮w是某隨機(jī)

30、變量所有取值的全體，樣本則是從總體中任意抽取的一部分。變量所有取值的全體，樣本則是從總體中任意抽取的一部分。 樣本中所包括的項數(shù)則稱為樣本容量。水文學(xué)中利用樣本統(tǒng)計樣本中所包括的項數(shù)則稱為樣本容量。水文學(xué)中利用樣本統(tǒng)計 參數(shù)來估計總體統(tǒng)計參數(shù)。參數(shù)來估計總體統(tǒng)計參數(shù)。 6.3.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù) 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和 偏態(tài)系數(shù)。偏態(tài)系數(shù)。 （1）均值：）均值：均值表示系列中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀均值表示系列

31、中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀 測系列（樣本）為測系列（樣本）為x1，x2， ,xn ，則其均值為：，則其均值為： （2）均方差：）均方差：均值能反映系列中各變量的平均情況，但不能反映均值能反映系列中各變量的平均情況，但不能反映 系列中各變量值集中或離散的程度。系列中各變量值集中或離散的程度。 例如：第例如：第1系列系列 5，10，15；第；第2系列系列 1，10，19 第第1系列的均方差為系列的均方差為4.08，第，第2系列的均方差為系列的均方差為7.35。 n i i n x nn xxx x 1 21 1 n xx n i i 1 2 )( 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大

32、學(xué)水利水電工程系黃國如 （3）變差系數(shù)：）變差系數(shù)：均方差雖然能說明系列的離散程度，但對均值不同的兩個系均方差雖然能說明系列的離散程度，但對均值不同的兩個系 列，用均方差來比較離散程度就不合適了。例如有兩個系列：列，用均方差來比較離散程度就不合適了。例如有兩個系列： 第第1：5，10，15，均值，均值10；第；第2：995，1000，1005，均值，均值1000。得到的均。得到的均 方差都為方差都為4.08，說明這兩個系列的絕對離散程度是相同的，但因其均值一，說明這兩個系列的絕對離散程度是相同的，但因其均值一 個是個是10，另一個是，另一個是1000，它們對均值的相對離散程度就很不相同。，它們

33、對均值的相對離散程度就很不相同。 v 為了克服以均方差衡量系列離散程度這種缺點(diǎn)，用均方差與均值之比作為為了克服以均方差衡量系列離散程度這種缺點(diǎn)，用均方差與均值之比作為 衡量系列相對離散程度的一個參數(shù)，稱為變差系數(shù)衡量系列相對離散程度的一個參數(shù)，稱為變差系數(shù)cv。 v cv1=0.408；cv2=0.00408。說明第。說明第1系列的變化程度遠(yuǎn)比第系列的變化程度遠(yuǎn)比第2系列大。系列大。 v 對水文現(xiàn)象來說，對水文現(xiàn)象來說，cv的大小反映了河川徑流在多年中的變化情況。由于南的大小反映了河川徑流在多年中的變化情況。由于南 方河流水量豐沛，豐水年和枯水年的年徑流相對來說變化較小，南方河流方河流水量豐沛

34、，豐水年和枯水年的年徑流相對來說變化較小，南方河流 的的cv比北方河流的要小。比北方河流的要小。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 （4）偏態(tài)系數(shù)：）偏態(tài)系數(shù)：變差系數(shù)只能反映系列的離散程度，它不能反映系列在均值兩變差系數(shù)只能反映系列的離散程度，它不能反映系列在均值兩 邊的對稱程度。在水文統(tǒng)計中，采用偏態(tài)系數(shù)邊的對稱程度。在水文統(tǒng)計中，采用偏態(tài)系數(shù)cs作為衡量系列不對稱（偏態(tài)）程作為衡量系列不對稱（偏態(tài)）程 度的參數(shù)。度的參數(shù)。 v當(dāng)系列對于均值對稱時，當(dāng)系列對于均值對稱時，cs=0，無偏；，無偏； 當(dāng)系列中正離差的立方占優(yōu)勢時，當(dāng)系列中正離差的立方占優(yōu)勢時，c

35、s0，正偏；，正偏； 當(dāng)系列中負(fù)離差的立方占優(yōu)勢時，當(dāng)系列中負(fù)離差的立方占優(yōu)勢時，cs0，分析原因，大于均值和小于均值的，分析原因，大于均值和小于均值的 離散立方比較。離散立方比較。 v對于概率密度曲線而言，曲線下的面積以均值為界，對對于概率密度曲線而言，曲線下的面積以均值為界，對cs=0，左邊等于右邊；對，左邊等于右邊；對 cs0，左邊大于右邊；對，左邊大于右邊；對cs0， 0。這三個參數(shù)與總體的三個。這三個參數(shù)與總體的三個 統(tǒng)計參數(shù)有下列關(guān)系統(tǒng)計參數(shù)有下列關(guān)系 6.4.3 皮爾遜皮爾遜型曲線型曲線 )(1 0 0 e)( )( )( ax axxf ) 2 1 ( , 2 , 4 0 2

36、s v svs c c xa ccxc 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 2、皮爾遜、皮爾遜型頻率曲線及其繪制型頻率曲線及其繪制 水文計算中，一般需要求出指定頻率水文計算中，一般需要求出指定頻率p所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值xp ，也就是通過對密度曲線進(jìn)行積分，即，也就是通過對密度曲線進(jìn)行積分，即 直接由上式計算直接由上式計算p值非常麻煩，實(shí)際做法是通過變量轉(zhuǎn)換，變換成下值非常麻煩，實(shí)際做法是通過變量轉(zhuǎn)換，變換成下 面的積分形式面的積分形式 式中被積函數(shù)只含有一個待定參數(shù)式中被積函數(shù)只含有一個待定參數(shù)cs，其它兩個參數(shù)均值，其它兩個參數(shù)均值 、cv都

37、都 包含在包含在 中。中。 是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱為離均系數(shù)，是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱為離均系數(shù)， 的均值為的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn) 差為差為1。 xaxxxpp p x ax p de)( )( )( )(1 0 0 d ) ,()( p sp cfp x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 3、皮爾遜、皮爾遜型頻率曲線的應(yīng)用型頻率曲線的應(yīng)用 v 因此，只需要假定一個因此，只需要假定一個cs值，便可由上式通過積分求出值，便可由上式通過積分求出cs與與 之間之間 的關(guān)系。對于若干個給定的的關(guān)系。對于若干個給定的cs值，值， 和和p的對應(yīng)數(shù)值表，已先后由美的對應(yīng)數(shù)值表，已先后由美

38、國福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來。國福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來。 v 在頻率計算時，由已知的在頻率計算時，由已知的cs值，查值，查 值表得出不同的值表得出不同的p的的 值，然后值，然后 利用已知的均值利用已知的均值 、cv，通過式，通過式 即可求出與各種即可求出與各種p 相應(yīng)的相應(yīng)的x值，從而可繪制出皮爾遜值，從而可繪制出皮爾遜型頻率曲線。型頻率曲線。 )1 ( v cxx x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 當(dāng)當(dāng)cs等于等于cv的一定倍數(shù)時，的一定倍數(shù)時，p-型頻率曲線的模比系數(shù)型頻率曲線的模比系數(shù)kp 也已制成也已制成 表格。頻率計算時，由已知的表格。

39、頻率計算時，由已知的cs和和cv可以從中查出與各種頻率可以從中查出與各種頻率p相相 對應(yīng)的對應(yīng)的kp值，然后即可算出與各種頻率對應(yīng)的值，然后即可算出與各種頻率對應(yīng)的 。有了。有了p和和x 的一些對應(yīng)值，即可繪制出皮爾遜的一些對應(yīng)值，即可繪制出皮爾遜型頻率曲線。型頻率曲線。 p kxx p kxx 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 上述各種頻率曲線都是用數(shù)學(xué)方程式來表示的，屬于理論頻率曲線上述各種頻率曲線都是用數(shù)學(xué)方程式來表示的，屬于理論頻率曲線 。在水文計算中還有一種經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，是由實(shí)測資料繪制而成的。在水文計算中還有一種經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，是由實(shí)測資料繪制而成

40、的 ，它是水文頻率計算的基礎(chǔ)，具有一定的實(shí)用性。，它是水文頻率計算的基礎(chǔ)，具有一定的實(shí)用性。 1、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的繪制、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的繪制 根據(jù)實(shí)測水文資料，按從大到小的順序排列，如下圖所示。根據(jù)實(shí)測水文資料，按從大到小的順序排列，如下圖所示。 6.4.4 經(jīng)驗(yàn)頻率曲線經(jīng)驗(yàn)頻率曲線 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率。對經(jīng)驗(yàn)頻率用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率。對經(jīng)驗(yàn)頻率 的計算，目前我國水文計算上廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式的計算，目前我國水文計算上廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式 v 式中：式中：p為大于

41、等于為大于等于xm的經(jīng)驗(yàn)頻的經(jīng)驗(yàn)頻 率；率；m為為xm的序號，即大于等于的序號，即大于等于 xm的項數(shù)；的項數(shù)；n為系列的總項數(shù)。為系列的總項數(shù)。 v 以水文變量以水文變量x為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn) 頻率頻率p為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率 點(diǎn)據(jù)，根據(jù)點(diǎn)群趨勢繪出一條平點(diǎn)據(jù)，根據(jù)點(diǎn)群趨勢繪出一條平 滑的曲線，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，上圖為某站年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻滑的曲線，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，上圖為某站年最大洪峰流量經(jīng)驗(yàn)頻 率曲線。有了它即可在曲線上求得指定頻率率曲線。有了它即可在曲線上求得指定頻率p的水文變量值的水文變量值 。 p kxx 100 1 n m p 華南理工大學(xué)水利

42、水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 2、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問題、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問題 經(jīng)驗(yàn)頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便經(jīng)驗(yàn)頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便 ，但受實(shí)測資料所限，往往難以滿足設(shè)計上的需要。，但受實(shí)測資料所限，往往難以滿足設(shè)計上的需要。 為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)，這就是為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)，這就是 水文頻率計算適線（配線）法。水文頻率計算適線（配線）法。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率p的

43、設(shè)計值的設(shè)計值xp。由。由 于于“頻率頻率”較為抽象，水文上常用較為抽象，水文上常用“重現(xiàn)期重現(xiàn)期”來代替來代替“頻率頻率”。所。所 謂重現(xiàn)期是指某隨機(jī)變量的取值在長時期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次，謂重現(xiàn)期是指某隨機(jī)變量的取值在長時期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次， 又稱多少年一遇。根據(jù)研究問題的性質(zhì)不同，頻率又稱多少年一遇。根據(jù)研究問題的性質(zhì)不同，頻率p與重現(xiàn)期與重現(xiàn)期t的關(guān)的關(guān) 系有兩種表示方法。系有兩種表示方法。 （1）當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問題時，一般設(shè)計頻率）當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問題時，一般設(shè)計頻率p50，則，則 t=1/p 式中：式中：t為重現(xiàn)期，年；為重現(xiàn)期，年；p為頻率，。為頻率，。 （2）

44、當(dāng)考慮水庫興利調(diào)節(jié)研究枯水問題時，設(shè)計頻率）當(dāng)考慮水庫興利調(diào)節(jié)研究枯水問題時，設(shè)計頻率p50，則，則 t=1/(1-p) v 例如：對于例如：對于p=80%0.8的枯水流量，將的枯水流量，將p=0.80代入上式，得到代入上式，得到t=5 ，成為，成為5年一遇的枯水流量。年一遇的枯水流量。 6.4.5 頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.5 頻率曲線參數(shù)估計方法頻率曲線參數(shù)估計方法 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 矩法，權(quán)函數(shù)法矩法，權(quán)函數(shù)法 學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求： 1、掌握矩法推求統(tǒng)計參數(shù)的基本原理與、掌握矩法推求統(tǒng)計參數(shù)的基本原理與

45、 方法方法 2、了解權(quán)函數(shù)法推求統(tǒng)計參數(shù)的原理與、了解權(quán)函數(shù)法推求統(tǒng)計參數(shù)的原理與 方法方法 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 在概率分布函數(shù)中都含有一些表示分布特征的參數(shù)在概率分布函數(shù)中都含有一些表示分布特征的參數(shù), 例如皮爾遜例如皮爾遜iii 型分布曲線中就包含有均值型分布曲線中就包含有均值 、cv、cs三個參數(shù)。水文頻率曲線線三個參數(shù)。水文頻率曲線線 型選定之后型選定之后, 為了具體確定出概率分布函數(shù)為了具體確定出概率分布函數(shù), 就得估計出這些參數(shù)。就得估計出這些參數(shù)。 由于水文現(xiàn)象的總體通常是無限的，無法獲得，這就需要用有限的由于水文現(xiàn)象的總體通常是

46、無限的，無法獲得，這就需要用有限的 樣本觀測資料去估計總體分布線型中的參數(shù)，稱為參數(shù)估計。樣本觀測資料去估計總體分布線型中的參數(shù)，稱為參數(shù)估計。 v 目前，由樣本估計總體參數(shù)的方法主要有矩法、權(quán)函數(shù)法等。我國目前，由樣本估計總體參數(shù)的方法主要有矩法、權(quán)函數(shù)法等。我國 工程水文學(xué)界一般使用適線法，而其他方法估計的參數(shù)，一般作為工程水文學(xué)界一般使用適線法，而其他方法估計的參數(shù)，一般作為 適線法的初始值。適線法的初始值。 x 6.5.1 概述概述 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計矩法是用樣本矩估計總體矩，

47、并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計 頻率曲線參數(shù)的一種方法。頻率曲線參數(shù)的一種方法。 v 前述，一階原點(diǎn)矩的計算公式就是均值前述，一階原點(diǎn)矩的計算公式就是均值 ，均方差，均方差的計算式為二的計算式為二 階中心矩開方，偏態(tài)系數(shù)階中心矩開方，偏態(tài)系數(shù)cs計算式中的分子則為三階中心矩。計算式中的分子則為三階中心矩。 但是但是 ，我們希望由樣本系列計算出來的統(tǒng)計參數(shù)與總體更接近些，因此，我們希望由樣本系列計算出來的統(tǒng)計參數(shù)與總體更接近些，因此 ，需要將上述公式加以修正，修正后的參數(shù)計算式為，需要將上述公式加以修正，修正后的參數(shù)計算式為 v 水文計算上習(xí)慣稱上述公式為無偏估值公式，并用它們估算總體參水文計

48、算上習(xí)慣稱上述公式為無偏估值公式，并用它們估算總體參 數(shù)，作為配線法的參考數(shù)值。數(shù)，作為配線法的參考數(shù)值。 6.5.2 矩法矩法 n i i x n x 1 1 1 )( 1 2 n xx n i i 1 ) 1( 1 2 n k c n i i v 3 1 3 ) 3( ) 1( v n i i s cn k c x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 當(dāng)樣本容量較小時，用矩法估計參數(shù)，產(chǎn)生一定的計算誤差，其中當(dāng)樣本容量較小時，用矩法估計參數(shù)，產(chǎn)生一定的計算誤差，其中 尤以尤以cs的計算誤差較大。為提高的計算誤差較大。為提高cs計算精度，近年來提出了不少方計

49、算精度，近年來提出了不少方 法，其中以權(quán)函數(shù)法比較有效。權(quán)函數(shù)法的實(shí)質(zhì)在于用一、二階權(quán)法，其中以權(quán)函數(shù)法比較有效。權(quán)函數(shù)法的實(shí)質(zhì)在于用一、二階權(quán) 函數(shù)矩來推求函數(shù)矩來推求cs ，具體計算式如下，具體計算式如下 v 式中：式中： (xi)為權(quán)函數(shù)，一般用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)來描述；為權(quán)函數(shù)，一般用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)來描述；e 和和g分別為一階和二階加權(quán)中心矩。分別為一階和二階加權(quán)中心矩。 v 權(quán)函數(shù)的引入使估計權(quán)函數(shù)的引入使估計cs只用到二階矩，和矩法相比下降了，提高精只用到二階矩，和矩法相比下降了，提高精 度。權(quán)函數(shù)增加了靠近均值各項的權(quán)重，消弱了遠(yuǎn)離均值權(quán)重。度。權(quán)函數(shù)增加了靠近均值各

50、項的權(quán)重，消弱了遠(yuǎn)離均值權(quán)重。 6.5.3 權(quán)函數(shù)法權(quán)函數(shù)法 g e cxc vs 4 n i ii xxx n e 1 )()( 1 n i ii xxx n g 1 2 )()( 1 2 )( 2 1 e 2 1 )( ii xx i x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.6 水文頻率計算適線法水文頻率計算適線法 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 目估適線法、優(yōu)化適線法目估適線法、優(yōu)化適線法 學(xué)習(xí)要求：學(xué)習(xí)要求： 1、掌握目估適線法的作法和基本步驟、掌握目估適線法的作法和基本步驟 2、掌握統(tǒng)計參數(shù)的變化對頻率曲線的影響、掌握統(tǒng)計參數(shù)的變化對頻率曲線的影響 3、了解優(yōu)

51、化適線法的基本原理、了解優(yōu)化適線法的基本原理 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 1、目估配線法的作法與步驟、目估配線法的作法與步驟 目估配線法又稱目估適線法，是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們目估配線法又稱目估適線法，是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們 選配一條符合較好的理論頻率曲線，并以此來估計水文要素總體的選配一條符合較好的理論頻率曲線，并以此來估計水文要素總體的 統(tǒng)計規(guī)律。具體步驟如下：統(tǒng)計規(guī)律。具體步驟如下： v 將實(shí)測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗(yàn)頻率，在頻率格紙上點(diǎn)將實(shí)測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗(yàn)頻率，在頻率格紙上點(diǎn) 繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，

52、橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率）繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率） v 選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜型）。型）。 v 先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)的初估值先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)的初估值 、cv，而，而 cs憑經(jīng)驗(yàn)初選為憑經(jīng)驗(yàn)初選為cv的倍數(shù)。的倍數(shù)。 6.6.1 目估適線法目估適線法 x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 根據(jù)擬定的根據(jù)擬定的 、cv和和cs，查表，查表 計算計算xp 值。以值。以xp為縱坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)， p 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。即可得到頻率

53、曲線。 將此線畫在繪有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上將此線畫在繪有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上 ，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況 。若。若 不理想，可通過調(diào)整不理想，可通過調(diào)整 、cv和和cs 點(diǎn)繪頻率曲線。 點(diǎn)繪頻率曲線。 v 根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好 的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。 v 求指定頻率的水文變量設(shè)計值。求指定頻率的水文變量設(shè)計值。 x x 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系

54、黃國如 2、統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響、統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響 v 為了避免配線時調(diào)整參數(shù)的盲目性，為了避免配線時調(diào)整參數(shù)的盲目性， 必須了解皮爾遜必須了解皮爾遜型分布的統(tǒng)計參數(shù)對型分布的統(tǒng)計參數(shù)對 頻率曲線的影響。頻率曲線的影響。 v 均值對頻率曲線的影響均值對頻率曲線的影響 當(dāng)皮爾遜當(dāng)皮爾遜型頻率曲的兩個參數(shù)型頻率曲的兩個參數(shù)cv和和 cs不變時，由于均值不變時，由于均值 的不同，可以使頻的不同，可以使頻 率曲線發(fā)生很大的變化，如右圖所示。率曲線發(fā)生很大的變化，如右圖所示。 均值大的頻率曲線比均值小的陡。均值大的頻率曲線比均值小的陡。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工

55、程系黃國如 v 變差系數(shù)對頻率曲線的影響變差系數(shù)對頻率曲線的影響 為了消除均值的影響，以模為了消除均值的影響，以模 比系數(shù)比系數(shù)k為變量繪制頻率曲線，為變量繪制頻率曲線， 如右圖所示。圖中如右圖所示。圖中cs=1.0。 cv=0時，時，隨機(jī)變量的取值都等隨機(jī)變量的取值都等 于均值，此時頻率曲線即為于均值，此時頻率曲線即為k=1 的一條水平線，隨著的一條水平線，隨著cv的增大的增大 ，頻率曲線的偏離程度也隨之，頻率曲線的偏離程度也隨之 增大，曲線顯得越來越陡。增大，曲線顯得越來越陡。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 偏態(tài)系數(shù)對頻率曲線的影響偏態(tài)系數(shù)對頻率曲線

56、的影響 下圖表示下圖表示cv=0.1時種種不同的時種種不同的cs對頻率曲線的影響情況。從圖中可對頻率曲線的影響情況。從圖中可 以看出，正偏情況下，以看出，正偏情況下，cs愈大，均值（即圖中愈大，均值（即圖中k=1）對應(yīng)的頻率愈小，）對應(yīng)的頻率愈小， 頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩。頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩。 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 v 優(yōu)化適線法是在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下優(yōu)化適線法是在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下 ，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù)，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù) 的

57、方法。的方法。 v 優(yōu)化適線法按不同的適線準(zhǔn)則分為三種，即離差平優(yōu)化適線法按不同的適線準(zhǔn)則分為三種，即離差平 方和最小準(zhǔn)則（方和最小準(zhǔn)則（ols）、離差絕對值和最小準(zhǔn)則（）、離差絕對值和最小準(zhǔn)則（ abs）、相對離差平方和最小準(zhǔn)則（）、相對離差平方和最小準(zhǔn)則（wls），其中），其中 以離差平方和最小準(zhǔn)則（以離差平方和最小準(zhǔn)則（ols）最為常用。）最為常用。 6.6.2 優(yōu)化適線法優(yōu)化適線法 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 6.7 相關(guān)分析相關(guān)分析 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： 相關(guān)關(guān)系概念，簡直線相關(guān)相關(guān)關(guān)系概念，簡直線相關(guān) 曲線相關(guān)，復(fù)相關(guān)曲線相關(guān)，復(fù)相關(guān) 學(xué)習(xí)要求

58、：學(xué)習(xí)要求： 1、了解變量之間存在哪幾種關(guān)系，各有何特點(diǎn)；、了解變量之間存在哪幾種關(guān)系，各有何特點(diǎn)； 2、掌握簡直線相關(guān)分析的基本原理和分析方法；、掌握簡直線相關(guān)分析的基本原理和分析方法； 3、掌握曲線相關(guān)分析的一般原理和分析方法；、掌握曲線相關(guān)分析的一般原理和分析方法； 4、了解復(fù)相關(guān)分析的一般原理和分析方法、了解復(fù)相關(guān)分析的一般原理和分析方法 華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 1、相關(guān)關(guān)系的意義與應(yīng)用、相關(guān)關(guān)系的意義與應(yīng)用 v 自然界中有許多現(xiàn)象之間是有一定聯(lián)系的。按數(shù)理統(tǒng)計法建立自然界中有許多現(xiàn)象之間是有一定聯(lián)系的。按數(shù)理統(tǒng)計法建立 上述兩個或多個隨機(jī)變量

59、之間的聯(lián)系，稱之為近似關(guān)系或相關(guān)上述兩個或多個隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱之為近似關(guān)系或相關(guān) 關(guān)系。把對這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。關(guān)系。把對這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。 v 在水文計算中，經(jīng)常遇到某一水文要素的實(shí)測資料系列很短，在水文計算中，經(jīng)常遇到某一水文要素的實(shí)測資料系列很短， 而與其有關(guān)的另一要素的資料比較長，這樣就可以通過建立相而與其有關(guān)的另一要素的資料比較長，這樣就可以通過建立相 關(guān)關(guān)系將短期序列延長。此外，在水文預(yù)報中也經(jīng)常采用相關(guān)關(guān)關(guān)系將短期序列延長。此外，在水文預(yù)報中也經(jīng)常采用相關(guān) 分析方法。分析方法。 6.7.1 相關(guān)分析的概念相關(guān)分析的概念 華南理工大學(xué)水利水電工程

60、系黃國如華南理工大學(xué)水利水電工程系黃國如 2、相關(guān)的種類、相關(guān)的種類 根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況：根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況： 即完全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計相關(guān)。即完全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計相關(guān)。 - 完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系） 兩變量兩變量x與與y之間，如果每給定一個之間，如果每給定一個 x 值，就有一個完全確定的值，就有一個完全確定的y 值與之值與之 對應(yīng)，則這兩個變量之間的關(guān)系就是對應(yīng)，則這兩個變量之間的關(guān)系就是 完全相關(guān)（或稱函數(shù)相關(guān)）。完全相完全相關(guān)（或稱函數(shù)相關(guān)）。完全相 關(guān)的形式有直線關(guān)系和曲線關(guān)系兩種。關(guān)的形式有