matlab矩陣運(yùn)算

1、2021/2/121 Matlab基礎(chǔ) 向量與矩陣運(yùn)算向量與矩陣運(yùn)算 2021/2/122 q 向量與矩陣的生成向量與矩陣的生成 向量與矩陣運(yùn)算向量與矩陣運(yùn)算 u 向量的生成向量的生成 直接輸入直接輸入: a=1,2,3,4 冒號(hào)冒號(hào)運(yùn)運(yùn)算符算符 a=1:4 = = a=1, 2, 3, 4 b=0:pi/3:pi = b=0, 1.0472, 2.0944, 3.1416 c=6:-2:0 = = c = 6, 4, 2, 0 例例： 從矩陣中抽取行或列從矩陣中抽取行或列 2021/2/123 q 向量與矩陣的生成（續(xù)）向量與矩陣的生成（續(xù)） 向量與矩陣運(yùn)算向量與矩陣運(yùn)算 u 矩陣的生成矩陣

2、的生成 直接輸入直接輸入: A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 由向量生成由向量生成 由函數(shù)生成由函數(shù)生成 通過編寫通過編寫m文件生成文件生成 例例： x=1,2,3;y=2,3,4; A=x,y, B=x;y 例例: : C=magic(3) 2021/2/124 常見矩陣生成函數(shù)常見矩陣生成函數(shù) zeros(m,n)生成一個(gè)生成一個(gè) m 行行 n 列的零矩陣列的零矩陣,m=n 時(shí)可簡寫為時(shí)可簡寫為 zeros(n) ones(m,n)生成一個(gè)生成一個(gè) m 行行 n 列的元素全為列的元素全為 1 的矩陣的矩陣, m=n 時(shí)可寫為時(shí)可寫為 ones(n) eye(m,n)生

3、成一個(gè)主對角線全為生成一個(gè)主對角線全為 1 的的 m 行行 n 列矩陣列矩陣, m=n 時(shí)可簡寫為時(shí)可簡寫為 eye(n),即為即為 n 維單位矩陣維單位矩陣 diag(X)若若 X 是矩陣是矩陣,則則 diag(X) 為為 X 的主對角線向量的主對角線向量 若若 X 是向量是向量,diag(X) 產(chǎn)生以產(chǎn)生以 X 為主對角線的對角矩陣為主對角線的對角矩陣 tril(A)提取一個(gè)矩陣的下三角部分提取一個(gè)矩陣的下三角部分 triu(A)提取一個(gè)矩陣的上三角部分提取一個(gè)矩陣的上三角部分 rand(m,n)產(chǎn)生產(chǎn)生 01 間均勻分布的隨機(jī)矩陣間均勻分布的隨機(jī)矩陣 m=n 時(shí)簡寫為時(shí)簡寫為 rand(

4、n) randn(m,n)產(chǎn)生均值為產(chǎn)生均值為0,方差為方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣 m=n 時(shí)簡寫為時(shí)簡寫為 randn(n) 2021/2/125 矩陣操作矩陣操作 q 提取矩陣的部分元素：提取矩陣的部分元素： 冒號(hào)運(yùn)算符冒號(hào)運(yùn)算符 u A(:) A的所有元素的所有元素 u A(:,:) 二維矩陣二維矩陣A的所有元素的所有元素 u A(:,k) A的第的第 k 列，列， A(k,:) A的第的第 k 行行 u A(k:m) A的第的第 k 到第到第 m 個(gè)元素個(gè)元素 u A(:,k:m) A的第的第 k 到第到第 m 列組成的子矩陣列組成的子矩陣 A(:) 與與 A

5、(:,:) 的區(qū)別的區(qū)別 ? 如何獲得由如何獲得由 A 的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？的第一、三行和第一、二列組成的子矩陣？ 自己動(dòng)手 2021/2/126 矩陣操作矩陣操作 q 矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn) u fliplr(A) 左右旋轉(zhuǎn)左右旋轉(zhuǎn) u flipud(A) 上下旋轉(zhuǎn)上下旋轉(zhuǎn) u rot90(A) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度度; rot90(A,k) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) k90 度度 例例： A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A) C=flipud(A) D=rot90(A), E=rot90(A,-1) 2021/2/127 矩陣操作矩陣操作 q 矩陣的轉(zhuǎn)置

6、與共軛轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置 u 共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置 u . 轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛轉(zhuǎn)置，矩陣元素不取共軛 例例： A=1 2;2i 3i B=A C=A. 點(diǎn)與單引號(hào)之間不能有空格點(diǎn)與單引號(hào)之間不能有空格! 2021/2/128 矩陣操作矩陣操作 q 改變矩陣的形狀改變矩陣的形狀:reshape reshape(A,m,n): 將矩陣元素按將矩陣元素按 列方向列方向 進(jìn)行重組進(jìn)行重組 重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù)重組后得到的新矩陣的元素個(gè)數(shù) 必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等必須與原矩陣元素個(gè)數(shù)相等! 2021/2/129 矩陣操作矩陣操作 q 查看矩陣的大小查看矩陣的大小:size u size(A

7、) 列出矩陣列出矩陣 A 的的行數(shù)和列數(shù)行數(shù)和列數(shù) u size(A,1) 返回矩陣返回矩陣 A 的的行數(shù)行數(shù) u size(A,2) 返回矩陣返回矩陣 A 的的列列數(shù)數(shù) 例例： A=1 2 3; 4 5 6 size(A) size(A,1) size(A,2) u length(x) 返回返回向量向量 X 的的長度長度 u length(A) 等價(jià)于等價(jià)于 max(size(A) 2021/2/1210 矩陣基本運(yùn)算矩陣基本運(yùn)算 q 矩陣的加減矩陣的加減:對應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算對應(yīng)分量進(jìn)行運(yùn)算 要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有要求參與加減運(yùn)算的矩陣具有 相同的維數(shù)相同的維數(shù) 例例： A=1 2 3;

8、4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4 C=A+B; D=A-B; q 矩陣的普通乘法矩陣的普通乘法 要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘要求參與運(yùn)算的矩陣滿足線性代數(shù)中矩陣相乘的的原則原則 例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=2 1; 3 4; C=A*B 2021/2/1211 矩陣基本運(yùn)算矩陣基本運(yùn)算 q 矩陣的矩陣的除法除法:/、 右除和左除右除和左除 若 A 可逆方陣,則 AB A 的逆左乘的逆左乘 B = inv(A)*B B/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A) X=AB A*X=B X=B/A X*A=B 通常,矩陣除法可以理解為 當(dāng)當(dāng) A 和和 B

9、行數(shù)相等行數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行時(shí)即可進(jìn)行左除左除 當(dāng)當(dāng) A 和和 B 列數(shù)相等列數(shù)相等時(shí)即可進(jìn)行時(shí)即可進(jìn)行右除右除 2021/2/1212 線性代數(shù)運(yùn)算的線性代數(shù)運(yùn)算的MATLAB命令命令 MATLAB是矩陣化程序設(shè)計(jì)語言,所以處理矩陣和向量運(yùn)算特別方 便。關(guān)于矩陣和向量的一些基本運(yùn)算命令已在前面有所介紹,常用的 命令和函數(shù)還有 zeros 生成0矩陣 eig 特征值、特征向量 ones 生成1矩陣 diag 對角矩陣 eye 生成單位矩陣 trace 方陣的跡 linspace 生成等距行向量 rank 矩陣的秩 rand 生成隨機(jī)矩陣 rref 行最簡形 det 方陣的行列式 orth 正交規(guī)

10、范 inv 方陣的逆 null 求基礎(chǔ)解系 norm 范數(shù) jordan Jordan 分解 cond 方陣的條件數(shù) 2021/2/1213 X=AB A*X=B X=B/A X*A=B q當(dāng)A為方陣,其結(jié)果與inv(A)*B基本一致; q當(dāng)A不為方陣,除法將分三種情況自動(dòng)檢測:若為超 定方程組（既無解）除法將給出最小二乘意義上的近 似解,即使向量AX-B的長度最小;若為不定方程組（即 無窮多解）,除法將給出一個(gè)具有最多零元素的特解 （不是通解）;若為唯一解,除法將給出這個(gè)解。用戶 對結(jié)果應(yīng)有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)。 2021/2/1214 例例: 解下列方程組 1 1( 4 21 2 324 21

11、3324( 2 21 4 242 xy xy xyz xyz xy xy xy xy xy （）定解方程組） （ ）（不定方程組） （ ）超定方程組） （ ）（奇異方程組） 2021/2/1215 解解: A=1 1;1 -1;B=1;4;x=AB x = 2.5000 -1.5000 求得唯一解。 A=1 2 1;3 -2 1;B=1;4;x=AB x = 1.2500 -0.1250 0 僅求得一個(gè)特解。 A=1 2;3 -2;1 -1;B=1;4;2;x=AB x = 1.2838 -0.1757 求得一最小二乘近似解。 2021/2/1216 A=1 2;2 4;B=1;2;x=AB

12、Warning: Matrix is singular to working precision. (Type warning off MATLAB:singularMatrix to suppress this warning.) x = Inf Inf 可見,不能直接求解。 A=1 2;2 4;0 0;B=1;2;0;x=AB %增加0 x+0y=0,使A不為方陣 Warning: Rank deficient, rank = 1 tol = 2.9790e-015. x = 0 0.5000 仍可求一特解。 2021/2/1217 例例:求線性方程組的通解 解解:在有無窮多解的情況可用三

13、種方法求得通解。 1234 1234 1234 1 1 221 xxxx xxxx xxxx 2021/2/1218 方法一方法一:用rref化為行最簡形以后求解。 clear;a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; rank(a),rank(a,b) ans = 2 2秩相等且小于,說明有無窮多解 rref(a,b) ans = 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 即通解為:小x1=x2,x3=x4+1(x2,x4自由) 2021/2/1219 方法二方法二:先用除法求出一個(gè)特解,再用null求得齊次組的基礎(chǔ)解系。 cl

14、ear;a=1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1;b=1;1;-1; x0=ab;x=null(a) Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 2.1756e-015. x = -0.7071 0 -0.7071 0 -0.0000 0.7071 -0.0000 0.7071 通解為k1*x(:,1)+k2*x(:,2)+x0 方法三方法三:使用solve求解。（見第章） 2021/2/1220 特征值和特征向量特征值和特征向量 V,D=eig(A) 返回方陣A的特征值和特征向量。其中D為特 征值構(gòu) 成的對角陣，每個(gè)特征值對應(yīng)的V的為

15、屬于該特征值的一個(gè) 特征向量，每個(gè)特征向量都是單位向量，并且屬于同一特 征值 的線性無關(guān)特征向量已正交化。 eig(A) 返回方陣A的特征值構(gòu)成的列向量。 2021/2/1221 例例: A=1 2 3;2 3 4;2 4 5;V,D=eig(A),t=eig(A) V = -0.3957 -0.2167 + 0.5832i -0.2167 - 0.5832i -0.5765 0.6313 0.6313 -0.7149 -0.3914 - 0.2471i -0.3914 + 0.2471i D = 9.3329 0 0 0 -0.1665 + 0.2818i 0 0 0 -0.1665 - 0

16、.2818i t = 9.3329 -0.1665 + 0.2818i -0.1665 - 0.2818i 2021/2/1222 矩陣的乘方矩陣的乘方 u A 是方陣，p 是正整數(shù) Ap 表示 A 的 p 次冪，即 p 個(gè) A 相乘。 u 若 A 是方陣，p 不是正整數(shù) Ap 的計(jì)算涉及到的計(jì)算涉及到 A 的特征值分解，即若的特征值分解，即若 A = V*D*V-1 則 Ap=V*(D.p)/V 2021/2/1223 矩陣的乘方矩陣的乘方 u 若 a 是標(biāo)量,A 是方陣,且 V,D = eig(A),則 aA V*(aD)/V u 若 A, P 均是矩陣,則 AP 無定義 u 若 a 是標(biāo)

17、量， n d d d D 00 00 00 2 1 n da da da Da 00 00 00 2 1 則 2021/2/1224 矩陣的矩陣的 Kronecker 乘乘積積 q 矩陣矩陣 Kronecker 乘積乘積的定義的定義 設(shè)A是nm矩陣，B是pq矩陣，則A與B的kronecker乘積為： m m nnnm a Ba BaB a Ba BaB CAB a Ba BaB 11121 21222 12 q Kronecker 乘積乘積的性質(zhì)的性質(zhì) u 是是 npmq 矩陣；矩陣；通常通常 BAABBA u 任何兩個(gè)矩陣都有任何兩個(gè)矩陣都有 Kronecker 乘積乘積 u Matlab

18、中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣中實(shí)現(xiàn)兩個(gè)矩陣 Kronecker 相乘的函數(shù)為相乘的函數(shù)為 kron(A,B) Kronecker乘積有時(shí)也稱張量積乘積有時(shí)也稱張量積 2021/2/1225 矩陣的數(shù)組運(yùn)算矩陣的數(shù)組運(yùn)算 q 數(shù)組運(yùn)算數(shù)組運(yùn)算:對應(yīng)元素進(jìn)行運(yùn)算 點(diǎn)與算術(shù)運(yùn)算符之間不能有空格! u 數(shù)組運(yùn)算包括數(shù)組運(yùn)算包括:點(diǎn)乘點(diǎn)乘、點(diǎn)除點(diǎn)除、點(diǎn)冪點(diǎn)冪 u 相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為相應(yīng)的數(shù)組運(yùn)算符為: “.* ” , “./ ” , “. ” 和和 “ . ” 參與運(yùn)算的對象必須具有相同的形狀參與運(yùn)算的對象必須具有相同的形狀! 例例： A=1 2 3; 4 5 6; B=3 2 1; 6 5 4; C=A.*B; D

19、=A./B; E=A.B; F=A.B; 2021/2/1226 函數(shù)取值函數(shù)取值 設(shè)設(shè) x 是變量是變量, f 是一個(gè)函數(shù)是一個(gè)函數(shù) u 當(dāng)當(dāng) x = a 是標(biāo)量時(shí)是標(biāo)量時(shí),f(x) = f(a)也是一個(gè)標(biāo)量也是一個(gè)標(biāo)量 u 當(dāng)當(dāng) x = a, b, , c 是向量時(shí)是向量時(shí),f(x)= f(a), f(b), , f(c) q 函數(shù)作用在矩陣上的取值函數(shù)作用在矩陣上的取值 u 若若 A 是矩陣是矩陣,則則 f(A) 是一個(gè)與是一個(gè)與 A 同形狀的矩陣同形狀的矩陣 f 作用在作用在 x 的的每個(gè)分量上每個(gè)分量上 2021/2/1227 函數(shù)取值函數(shù)取值 怎樣計(jì)算怎樣計(jì)算 eA ? 例例： x

20、=0:pi/4:pi; A=1 2 3; 4 5 6; y1=sin(x); y2=exp(A); y3=sqrt(A); )exp()exp()exp( )exp()exp()exp( )exp()exp()exp( )exp( 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa A 例例： 2021/2/1228 矩陣的超越函數(shù)矩陣的超越函數(shù) q Matlab 提供了三種矩陣函數(shù):expm、sqrtm、logm 詳情參見聯(lián)機(jī)幫助（詳情參見聯(lián)機(jī)幫助（help expm / sqrtm / logm ） q 更一般的矩陣函數(shù)： funm u funm(A,fun) 參數(shù)參數(shù) fun 的可以是的可以是 exp,，log，cos，sin，cosh，sinh 2021/2/1229 數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪數(shù)與數(shù)組的點(diǎn)冪 x.y =14,25,36=1,32,729 x.2 =12,22,32=1,4,9 2 .x = ? . 前面留個(gè)空格前面留個(gè)空格 例例: :x=1 2 3; y=4 5 6; 2 .x;y= ? Matlab中的所有中的所有 標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須在標(biāo)點(diǎn)符號(hào)必須在 英文狀態(tài)下輸入英文狀態(tài)