北京市東城區(qū)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、北京市東城區(qū)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）第4頁，共11頁、選擇題（本大題共10小題，共40.0分）1. 已知復(fù)數(shù)么x的取值范圍是為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，那A.B.C.D.【答案】【解析】解：復(fù)數(shù) ，解得那么x的取值范圍是故選：A.利用復(fù)數(shù)的幾何意義、不等式的解法即可得出.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,2. 已知 ，那么下列不等式中一定成立的是A. B.C.D.-【答案】D【解析】解：若，則，則，故A錯(cuò)誤，不一定成立，貝U C不成立，-,- ，則-

2、，成立，故D正確，故選：D.根據(jù)a, b飛符號(hào)和范圍，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.本題主要考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ).3.已知等差數(shù)列的前15項(xiàng)和，那么等于A. 6B. 10C. 12D. 15【答案】A【解析】解：等差數(shù)列的前15項(xiàng)和故選：A.推導(dǎo)出一一，由此能求出的值.本題考查等差數(shù)列中兩項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.4. i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)一等于A.B.C.D.【答案】B【解析】解:故選：B.直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算. 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，

3、是基礎(chǔ)題.5. 已知橢圓一的一個(gè)焦點(diǎn)是，那么實(shí)數(shù)A.B.C. 3D. 5【答案】D【解析】解：因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是所以所以故選：D.，利用a, b, c的關(guān)系，求出k的值即可.通過橢圓的焦點(diǎn)，確定本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6. 已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么A.B.C.D.【答案】C【解析】解：時(shí)，可得：，化為時(shí)，數(shù)列從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列，公比為2,首項(xiàng)為那么故選：C.利用數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.7. “直線 平面”是“直線在平面 夕卜”的A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.

4、充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：“直線I與平面平行” “直線I在平面夕卜”“直線I在平面 夕卜”則直線I與平面 平行或相交，故“直線I在平面 夕卜”不能推出 “直線I與平面平行”故“直線I與平面 平行”是“直線I在平面 夕卜”的充分非必要條件故選：A.根據(jù)直線I在平面外則直線I與平面平行或相交可判定“直線 I與平面平行”與“直 線I在平面 夕卜”的關(guān)系.本題主要考查了線面的位置關(guān)系，以及充要條件的判定，同時(shí)考查了分析問題的能力， 屬于基礎(chǔ)題.8. 已知為直線 說法中：I的方向向量，分別為平面，的法向量不重合那么下列確的有;正A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】

5、B【解析】解：平面，不重合；平面，的法向量平行 垂直 等價(jià)于平面，平行 垂直； 正確；直線I的方向向量平行 垂直于平面的法向量等價(jià)于直線I垂直平行于平面 都錯(cuò)誤.故選：B.可以想象圖形即可判斷每個(gè)說法的正誤.考查平面法向量的概念，直線方向向量的概念.9.三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，,N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在 上，且滿足，當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角取最大值時(shí)，的值為A. -B. -C. D.【答案】A【解析】解:如圖，以AB, AC,分別為x, y, z軸,建立空間直角坐標(biāo)系0,平面ABC的一個(gè)法向量為0,-時(shí),，此時(shí)角最大為場(chǎng)Cl故選：A.建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量的夾角公式， 求出直線PN

6、與平面ABC所成的角，即可 求得結(jié)論.本題考查使線面角的最大值的實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量 法的合理運(yùn)用.10.已知數(shù)列1，1, 接下來的兩項(xiàng)是1, 2，4，1, 2, 4，8,，再接下來的三項(xiàng)是1, 2， 4，8, 16,其中第一項(xiàng)是 ，依此類推那么該數(shù)列的前第4頁，共11頁50項(xiàng)和為A. 1044B. 1024C.1045D. 1025【答案】A【解析】解：將已知數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為 即：第一組：，1,第二組： ，第三組： ，第 k 組：，根據(jù)等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式， 求得每項(xiàng)和分別為：每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1, 2, 3, , k,總共的項(xiàng)數(shù)為時(shí),故該數(shù)列的前5

7、0項(xiàng)和為故選：A.將已知數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1,第一組:，第二組:,，第三組：，, 第k組：，根據(jù)等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式，能求出該數(shù)列的前50項(xiàng)和.本題考查類比推理，考查等比數(shù)列、分組求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論 證能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題.二、填空題（本大題共 6小題，共24.0分）11.命題，的否定是.【答案】，【解析】解：原命題為：，原命題為全稱命題其否定為存在性命題，且不等號(hào)須改變?cè)}的否定為：，故答案為：，根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫出原命題的否定本題考查命題的否定的寫法，常見的命題的三種形式寫否定：“若A,則B”的否定為“若，則”；全稱命

8、題的否定為存在性命題，存在性命題的否定為全稱命題；切命題的否定為或命題，或命題的否定為切命題本題考查第二種形式，屬簡(jiǎn)單題12.當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，函數(shù)-取得最小值.【答案】-【解析】解：由于，由基本不等式可得-，當(dāng)且僅當(dāng)-，即當(dāng)-時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：-.利用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立，即-時(shí)，得出x的值.本題考查基本不等式的應(yīng)用，使用基本不等式注意三個(gè)條件“一正、二定、三相等”， 考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【解析】解：由題意可設(shè)拋物線C的方程為準(zhǔn)線方程為，-，解得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：由題意可設(shè)拋物線 C的方程為，由

9、已知準(zhǔn)線方程為可解得p，則拋物線方程可求.本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.14.不等式的解集為.【答案】【解析】解：不等式等價(jià)為，即，即，則不等式的解集為，故答案為：將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，進(jìn)行求解即可.本題主要考查分式不等式的求解，利用轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為一元二次不等式是解決本題的關(guān)鍵.15.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A, B兩點(diǎn),若是等邊三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是 【答案】-，焦距【解析】解：是正三角形,直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，是正三角形的高，中，設(shè)，因此，橢圓的長(zhǎng)軸橢圓的離心率為-一一 故答案為：-根據(jù)是正三角形，且直線AB與橢圓長(zhǎng)軸垂直，

10、得到是正三角形的高，在中，設(shè)，可得-，所以，用勾股定理算出一，得到橢圓的長(zhǎng)軸，焦距一，所以橢圓的離心率為一二.本題給出橢圓過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦和另一焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求橢圓的離心率重考查了橢圓的基本概念和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖所示，四棱錐中， 底面ABCD ,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是棱PB的中點(diǎn)，M是棱PC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線PA與直線BEM所成的角為 時(shí)，那么線段PM的長(zhǎng)度是 【答案】一【解析】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 0, ,0, ,2,是棱PB的中點(diǎn)，1，設(shè) m，則解得 -，故答案為:建立空間直角坐標(biāo)系，易得各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可得向量，代入異面直線所

11、成角公式可得點(diǎn) M的坐標(biāo)，問題得解.此題考查了異面直線所成角，空間坐標(biāo)系等，難度適中.三、解答題（本大題共 4小題，共36.0 分）17.等差數(shù)列中，I求數(shù)列的通項(xiàng)公式；n若，分別是等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】解：I在等差數(shù)列中，由，n在等比數(shù)列中，有，公比一 ，則【解析】I在等差數(shù)列中，由已知求得d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；n在等比數(shù)列中，分別求得第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，進(jìn)一步求得公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案.第8頁，共11頁本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.18. 已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的拋物線 C經(jīng)過點(diǎn)I求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；n經(jīng)過拋

12、物線C的焦點(diǎn)且斜率為2的直線I交拋物線C于A, B兩點(diǎn)，求線段AB 的長(zhǎng).【答案】解： I由題意設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；n拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；過焦點(diǎn)且斜率為 2的直線I方程為，由，消去y,整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，線段AB的長(zhǎng)為【解析】I利用待定系數(shù)法求出 p的值，寫出拋物線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程;n寫出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,寫出過焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消去 y得關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得的值，再求線段AB的長(zhǎng).本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與弦長(zhǎng)問題，是中檔題.19. 如圖，在三棱錐中， 底面AB

13、C,點(diǎn)D, E分別為棱PA, PC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BC的中點(diǎn)，I求證：平面BDE ;n求直線MN到平面BDE的距離；川求二面角的大小.【答案】證明：i在三棱錐中， 底面ABC,點(diǎn)D , E分別為棱PA, PC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BC的 中點(diǎn)，,以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，第8X0,0,4,2,0,0,2,2,0,2,設(shè)平面BDE的法向量y,則，取,平面BDE,平面BDE .建立空間直角坐標(biāo)系,n,0,，得直線 MN到平面BDE的距離:第11頁，共11頁川平面BDE的法向量0,平面DEP的法向量0，設(shè)二面角的大小為，二面角的大小為-.【解析

14、】I以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量法能證明平面BDE .n求出0,利用向量法得直線 MN到平面BDE的距離 .川求出平面BDE的法向量和平面 DEP的法向量，利用向量法能求出二面角 的大小.本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.20. 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，短軸長(zhǎng)為一，離心率為一.I求橢圓C的方程；n若過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，且P點(diǎn)平分線段AB,求直線AB的方程；川一條動(dòng)直線I與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M ,N,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為一求證：為定值.【答案】解：I設(shè)橢圓方程為即有即由，可得則橢圓方程為n設(shè)，由可得即有直線AB的方程為川證明：設(shè)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí), 由? ,即卩，點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，可得，相減可得-，化為，則M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，即的面積為匚，可得-即有一，可得當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為代入橢圓方程，可得可得，可得O到直線I的距離為則-化為即有則，綜上可得，為定值5.【解析】I設(shè)橢圓方程為一 一，由題意可得b,運(yùn)用離心率公式和a, b, c的關(guān)系可得b,進(jìn)而得到橢圓方程；n設(shè)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公