高考復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)精華總結(jié)

1、復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)的概念：（1 ）虛數(shù)單位 i；（2 ）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi ，(a, b R)；（3 ）復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)。2復(fù)數(shù)集有整數(shù)實(shí) 數(shù) ( b 0)理 數(shù)分?jǐn)?shù)復(fù) 數(shù) a bi ( a , bR )無理數(shù) (無 限不循環(huán)小數(shù) )虛 數(shù) (b0)純 虛數(shù) ( a0)數(shù) ( a0)非 純 虛3復(fù)數(shù) a+bi(a, bR)由兩部分組成，實(shí)數(shù) a 與 b 分別稱為復(fù)數(shù) a+bi 的實(shí)部與虛部， 1 與 i分別是實(shí)數(shù)單位和虛數(shù)單位，當(dāng) b=0 時(shí)， a+bi就是實(shí)數(shù)，當(dāng) b 0時(shí)， a+bi 是虛數(shù)，其中a=0 且 b 0 時(shí)稱為純虛數(shù)。應(yīng)特別注意， a=0僅是復(fù)數(shù) a+bi 為純虛

2、數(shù)的必要條件，若 a=b=0，則 a+bi=0 是實(shí)數(shù)。4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算若兩個(gè)復(fù)數(shù) z1=a1+b1i，z2=a2+b2i ，（1 ）加法： z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2 ）減法： z1 z2=(a1 a2)+(b1 b2)i ；（3 ）乘法： z1 z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i；z1 (a1a2bb12 ) (a2 b1a1b2 )i（4）除法： z2a22b22；（5）四則運(yùn)算的交換率、結(jié)合率；分配率都適合于復(fù)數(shù)的情況。（6）特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算： i n (n 為整數(shù) )的周期性運(yùn)算； (1 i)2 = 2i ；1 3 若=- 2 + 2 i ，

3、則 3=1 ，1+ + 2=0.5共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模（1）若 z=a+bi ，則 z abi ， zz 為實(shí)數(shù)， zz 為純虛數(shù) (b 0).22222（2）復(fù)數(shù) z=a+bi的模 |Z|=ab , 且 z z| z |= a+b .6. 根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，設(shè)a, b, c, d R，兩個(gè)復(fù)數(shù) a+bi和 c+di相等規(guī)定為aca0a+bi=c+dibd . 由這個(gè)定義得到 a+bi=0b0 .兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，只能由定義判斷它們相等或不相等。4復(fù)數(shù) a+bi 的共軛復(fù)數(shù)是 abi ，若兩復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則它們所表示的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱。若 b=0 ，則實(shí)數(shù) a 與實(shí)數(shù) a 共軛，表示點(diǎn)

4、落在實(shí)軸上。5復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算基本上沒有區(qū)別，最主要的是在運(yùn)算中將2i =1 結(jié)合到實(shí)際運(yùn)算過程中去。如(a+bi)(a bi)= a2+b26復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)乘法的逆運(yùn)算將滿足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0) 的復(fù)數(shù) x+yi 叫做復(fù)數(shù) a+bi 除以復(fù)數(shù) c+di 的商。由于兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的除法可以通過將分母實(shí)化得到，即a bi(abi )(cdi )ac bd(bc ad )ic di( cdi )(cdi )c2d 2.7復(fù)數(shù) a+bi 的模的幾何意義是指表示復(fù)數(shù)a+bi 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（二）典型例題講解1復(fù)數(shù)的概念例 1

5、實(shí)數(shù) m 取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù) z=m+1+(m 1)i 是（ 1）實(shí)數(shù)？（ 2 ）虛數(shù)？（ 3）純虛數(shù)？（ 4）對應(yīng)的點(diǎn) Z 在第三象限？解：復(fù)數(shù) z=m+1+(m 1)i 中，因?yàn)?m R，所以 m+1 ，m 1 都是實(shí)數(shù)，它們分別是z 的實(shí)部和虛部， （1 ）m=1時(shí)， z 是實(shí)數(shù)；（ 2）m 1 時(shí)， z 是虛數(shù)；m10（3 ）當(dāng) m 10 時(shí)，即 m= 1 時(shí)， z 是純虛數(shù)；m10（4 ）當(dāng) m10 時(shí)，即 m 1時(shí)， z 對應(yīng)的點(diǎn) Z 在第三象限。例 2 已知 (2x 1)+i=y (3y)i ，其中 x, y R，求 x, y.2x 1y5解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組1(3y

6、) ，得 x=2 , y=4.2m23m 2例 4 當(dāng) m 為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù) zm225+(m2+3m10)i ；（ 1）是實(shí)數(shù)；（ 2）是虛數(shù)；（ 3）是純虛數(shù)解：此題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及方程（組）的解法m23m 10 0（ 1） z 為實(shí)數(shù)，則虛部 m2+3m10=0 ，即m2250，解得 m=2 ， m=2 時(shí)， z 為實(shí)數(shù)。m23m100（2 ）z 為虛數(shù)，則虛部 m2+3m 10 0，即m2250，2m23m20m23m100解得 m 2 且 m 5.當(dāng) m 2 且 m 5 時(shí)， z 為虛數(shù)m2250，11解得 m= 2 , 當(dāng) m= 2 時(shí)， z 為純虛數(shù)詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)分

7、別為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)時(shí)相應(yīng)必須具備的條件，還應(yīng)特別注意分母不為零這一要求例 8 使不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的實(shí)數(shù) m .解：此題主要考查復(fù)數(shù)能比較大小的條件及方程組和不等式的解法 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10, 且虛數(shù)不能比較大小，m2m210| m | 103m0m0或 m3 m24m30 ，解得 m3或 m1 ， m=3.當(dāng) m 3 時(shí)，原不等式成立詮釋：本題應(yīng)抓住復(fù)數(shù)能比較大小時(shí)必須都為實(shí)數(shù)這一條件。例 10 已知 x 為純虛數(shù)， y 是實(shí)數(shù)，且 2x 1 i y(3 y)i ，求 x、y 的值解：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

8、，實(shí)數(shù)與 i 的運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，方程組的解法設(shè) xti (t R，且 t 0），則 2x 1i y(3 y)i 可化為2ti 1 iy (3 y)i ，即 (2t 1)i 1=y (3y)i ，2t 1(3 y)551y, y= 1, t= 2, x= 2 i.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算z 1例 4 復(fù)數(shù) z 滿足 (z+1)( z +1)=| z |2 ，且 z 1 為純虛數(shù)，求 z.解：設(shè) z=x+yi (x, yR)，則(z+1)(z 1z 1 =z +1)=| (z 1)(z (z 1)(zz |2+z+z +1=|1)| z |2z z1)| z1|21z |2， z+ z +1=0

9、 ， z+ z = 1， x= 2 . 1 x2 y2 x yi x yi 1=| z1|2為純虛數(shù)，31313 x2+y2 1=0, y= 2, z= 2+2i 或 z= 2 2 i.例 5 復(fù)數(shù) z 滿足 (1+2i)z+(3 10i) z =4 34i ，求 z.解：設(shè) z=x+yi (x, y R)，則 (1+2i)(x+yi)+(310i)(x yi) =4 34i ，整理得 (4x 12y) (8x+2y)i=4 34i.4x12y4x48x2 y34, 解得y1, z=4+i.1例 6 設(shè) z 是虛數(shù)， =z+ z 是實(shí)數(shù)，且 1 2 ，1z（1）求 |z| 的值及 z 的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè) u= 1z ，求證 u 為 純虛數(shù)；（3）求 u2 的最小值。解：（ 1）設(shè) z=a+bi (a, b R, b 0)，則( aa2 )(bb2 )ia2b2b，=a，由于 是實(shí)數(shù)且 b 0 ， a2+b2=11即|z|=1 ，由 =2a, 1 0，則 u2 223=1 ，1當(dāng) a+1=a1 , 即 a=0時(shí)，上式取等號